Theorem 4.4. Let X be a weakly posi

Theorem 4.4. Let X be a weakly positive implicative BCH-algebra. Then R

y =
R

y ◦R

y = (R

y )2.
Proof. Since X is weakly positive implicative, therefore x∗y =((x∗y)∗y)∗(0∗y).
Thus


x∗y
∗

0∗y
=


x∗y
∗y
∗

0∗y∗

0∗y
=


x∗y
∗

0∗y∗y
∗

0∗y
. (4.1)
Hence
R

y (x) = R

y


x∗y
∗

0∗y = R

y


R

y (x)
= R

y ◦R

y (x) =

R

y
2
(x) (4.2)
for all x,y ∈ X. This completes the proof.
The following example shows that the converse of the above theorem is not true.
Example 4.5. Let X = {0,a,b, c} in which ∗ is defined by:
∗ 0 a b c
0 0 0 b b
a a 0 b b
b b b 0 0
c c b a 0
Then X is a BCI-algebra. Further X is not weakly positive implicative because a =
c∗b ≠ ((c∗b)∗b)∗(0∗b) = (a∗b)∗(0∗b) = b∗b = 0. Moreover, easy calculations
give that
R

0 =

R

0
2
, R

a =

R

a
2
, R

b =

R

b
2
, R

c =

R

c
2
. (4.3)
This shows that the converse of Theorem 4.4 does not hold for the class of BCHalgebras,
because it does not hold for BCI-algebras.
We now pose another open problem.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 4.4 ให้ X เป็นสูญบวก implicative BCH พีชคณิตได้ แล้ว Ry =Ry ◦Ry = (Ry) 2หลักฐานการ เนื่องจาก X เป็นสูญบวก implicative ดังนั้น x∗y = ((x∗y)∗y)∗(0∗y)ดังนั้น
x∗y∗
0∗y= x∗y∗y∗
0∗y∗0∗y= x∗y∗
0∗y∗y∗
0∗y. (4.1)ดังนั้นRy (x) = Ryx∗y∗
0∗y = Ry
Ry (x)= Ry ◦Ry (x) =Ry2(x) (4.2)สำหรับทุก x, y ∈ X เสร็จสิ้นการพิสูจน์ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงว่า ไม่เป็นความจริงตรงกันข้ามของทฤษฎีบทข้างต้นตัวอย่างที่ 4.5 ให้ X = { 0, a, b, c } ใน∗ซึ่งถูกกำหนดโดย:∗ 0 b c0 0 0 บีบีเป็นบีบี 0บีบีบี 0 0b c c เป็น 0แล้ว X เป็น BCI-พีชคณิต ต่อ X ไม่บวก implicative สูญเนื่องจากการ =c∗b ≠ ((c∗b)∗b)∗(0∗b) = (a∗b)∗(0∗b) = b∗b = 0 นอกจากนี้ คำนวณง่ายให้ที่R0 =
R02, Ra =
Rมี2, Rb =
Rบี2, Rc =
Rc2. (4.3)ฟิลด์นี้แสดงว่า ตรงกันข้ามของทฤษฎีบท 4.4 ไม่ถือสำหรับคลาส BCHalgebrasเนื่องจากมันไม่ได้ถือใน BCI-algebrasเราตอนนี้ก่อให้เกิดปัญหาอื่นเปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 4.4 ให้ X เป็น implicative บวกอย่างอ่อน BCH พีชคณิต จากนั้น R Y = R y ที่◦R Y = (R y) 2. หลักฐาน ตั้งแต่ X คือ implicative บวกนิดหน่อยดังนั้น x * y ที่ = ((x * y) * y) * (0 * y). ดังนั้น? x * y ที่*? 0 * Y = ??? x * y ที่* Y *? 0 * * * * * * * * y ที่? 0 * Y = ??? x * y ที่*? 0 * Y * Y *? 0 * y ที่ (4.1) ดังนั้นR Y (x) = R y ที่?? x * y ที่*? 0 * Y = R y ที่? R Y (x) = R y ที่◦R Y (x) = R y ที่2 (x) (4.2 ) สำหรับทุก x, y ∈เอ็กซ์เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน. ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าการสนทนาของทฤษฎีบทดังกล่าวไม่เป็นความจริง. ตัวอย่าง 4.5 ขอให้ X = {0, b, c} * ที่ถูกกำหนดโดย: * 0 abc 0 0 0 bb AA 0 bb BBB 0 0 ค cba 0 แล้ว X เป็น BCI พีชคณิต นอกจาก X ไม่ implicative บวกนิดหน่อยเพราะ = ค≠ b * ((c * ข) * ข) * (0 b *) = (a * b) * (0 b *) = b * ข = 0 นอกจากนี้ การคำนวณง่ายให้ที่R 0 = R 0 2, R ใหม่ =? R 2, R ข = R ข2, R c =? R ค2 (4.3) นี้แสดงให้เห็นว่าการสนทนาของทฤษฎีบท 4.4 ไม่ได้ถือสำหรับการเรียนของ BCHalgebras ที่เพราะมันไม่ได้ค้างไว้BCI-algebras. ตอนนี้เราก่อให้เกิดอีกปัญหาเปิด