A SIMPLE PROOF OF CARMICHAELfS THEO

A SIMPLE PROOF OF CARMICHAELf
S THEOREM
ON PRIMITIVE DIVISORS
Minora Yabuta
46-35 Senriokanaka Suita-sl, Osaka 565-0812, Japan
(Submitted September 1999-Final Revision March 2000)
1. INTRODUCTION
For arbitrary positive integer «, numbers of the form Dn = {an
-pn
)l{a-fJ) are called the
Lucas numbers, where a and fi are distinct roots of the polynomial f(z) = z
2 -Lz + M, and L
and Mare integers that are nonzero. The Lucas sequence (D): Dh D2, D3,... is called real when
a and ft are real. Throughout this paper, we assume that L and M are coprime. Each Dn is an
integer. A prime p is called a primitive divisor of Dn ifp divides Dn but does not divide Dm for
0 0 in this paper.
In 1913, Carmichael [2] established the following.
Theorem 1 (Carmichael): If a and /} are real and n & 1,2,6, then Dn contains at least one primitive
divisor except when « = 12, L = M = -l,
In 1974, Schinzel [6] proved that if the roots off are complex and their quotient is not a root
of unity and if n is sufficiently large then the w* term in the associated Lucas sequence has a
primitive divisor. In 1976, Stewart [7] proved that if n - 5 or n > 6 there are only finitely many
Lucas sequences that do not have a primitive divisor, and they may be determined. In 1995,
Voutier [8] determined all the exceptional Lucas sequences with n at most 30. Finally, Bilu,
Hanrot, and Voutier [1] have recently shown that there are no other exceptional sequences that
do not have a primitive divisor for the w* term with n larger than 30.
The aim of this paper is to give an elementary and simple proof of Theorem 1. To prove that
Theorem 1 istrue for all real Lucas sequences, it is sufficient to discuss the two special sequences,
namely, the Fibonacci sequence and the so-called Fermat sequence.
2* A SUFFICIENT CONDITION THAT Dn HAS A PRIMITIVE DIVISOR
Let n > 1 be an integer. Following Ward [9], we call the numbers

n
(r,n)=l
the cyclotomic numbers associated with the Lucas sequence, where a, fi are the roots of the
polynomial f(z) = z
2
-Lz + M and the product is extended over all positive integers less than n
and prime to n. Each Qn is an integer, and Dn = Hd
Qm where the product is extended over all
divisors d of n. Hence, p is a primitive divisor of Dn if and only lip is a primitive divisor of Qn.
Lemma 1 below was shown by several authors (Carmichael, Durst, Ward, and others).
2001] 439
A SIMPLE PROOF OF CARMICHAEL'S THEOREM ON PRIMITIVE DIVISORS
Lemma 1: Let/? be prime and let k be the least positive value of the index i such that/? divides
Dr If n ^ 1,2,6 and if/? divides Qn and some Qm with 0plp2--PiProof:
We prove the contraposition. Suppose that Dn has no primitive divisors. lip is an
arbitrary prime factor of Qn, thenp divides some Qm with 0 2 be an arbitrary fixed integer. If a and J3 are real, then gw has its least value
either when L = 1 and M = -1 or when Z = 3 and M = 2.
Proof: Take an arbitrary #r and fix it. Since n > 2, we have 0 < 0r < 4. Thus, if M < 0, we
have L2 - M0r >l + 0r, with equality holding only in the case L = 1, M = - 1 . When M > 0, consider
the cases M = 1, M > 1. In the first case we have L > 3, so that
Z2 -M0 r > 9 - 0 r > 9 - 2 l 9 r .
Now assume M > 1. Then, since L2 > 4M+1, we have
Z2 -M^ r > 4M+ l-Mi 9 r = 9 - 2 ^ r + ( M - 2 )( 4 - ^ r ) > 9 - 2 ^ r
with equality holding only in the case M = 2, L.= 3. Hence, by formula (3), we have completed

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

A SIMPLE PROOF OF CARMICHAELfS THEOREMON PRIMITIVE DIVISORSMinora Yabuta46-35 Senriokanaka Suita-sl, Osaka 565-0812, Japan(Submitted September 1999-Final Revision March 2000)1. INTRODUCTIONFor arbitrary positive integer «, numbers of the form Dn = {an-pn)l{a-fJ) are called theLucas numbers, where a and fi are distinct roots of the polynomial f(z) = z2 -Lz + M, and Land Mare integers that are nonzero. The Lucas sequence (D): Dh D2, D3,... is called real whena and ft are real. Throughout this paper, we assume that L and M are coprime. Each Dn is aninteger. A prime p is called a primitive divisor of Dn ifp divides Dn but does not divide Dm for0Durst [4] observed, in the study of primitive divisors, it suffices to take L>0. Therefore, weassume L > 0 in this paper.In 1913, Carmichael [2] established the following.Theorem 1 (Carmichael): If a and /} are real and n & 1,2,6, then Dn contains at least one primitivedivisor except when « = 12, L = M = -l,In 1974, Schinzel [6] proved that if the roots off are complex and their quotient is not a rootof unity and if n is sufficiently large then the w* term in the associated Lucas sequence has aprimitive divisor. In 1976, Stewart [7] proved that if n - 5 or n > 6 there are only finitely manyLucas sequences that do not have a primitive divisor, and they may be determined. In 1995,Voutier [8] determined all the exceptional Lucas sequences with n at most 30. Finally, Bilu,Hanrot, and Voutier [1] have recently shown that there are no other exceptional sequences thatdo not have a primitive divisor for the w* term with n larger than 30.The aim of this paper is to give an elementary and simple proof of Theorem 1. To prove thatTheorem 1 istrue for all real Lucas sequences, it is sufficient to discuss the two special sequences,namely, the Fibonacci sequence and the so-called Fermat sequence.2* A SUFFICIENT CONDITION THAT Dn HAS A PRIMITIVE DIVISORLet n > 1 be an integer. Following Ward [9], we call the numbers<>r<>n(r,n)=lthe cyclotomic numbers associated with the Lucas sequence, where a, fi are the roots of thepolynomial f(z) = z2-Lz + M and the product is extended over all positive integers less than nand prime to n. Each Qn is an integer, and Dn = Hd
Qm where the product is extended over alldivisors d of n. Hence, p is a primitive divisor of Dn if and only lip is a primitive divisor of Qn.Lemma 1 below was shown by several authors (Carmichael, Durst, Ward, and others).2001] 439 A SIMPLE PROOF OF CARMICHAEL'S THEOREM ON PRIMITIVE DIVISORSLemma 1: Let/? be prime and let k be the least positive value of the index i such that/? dividesDr If n ^ 1,2,6 and if/? divides Qn and some Qm with 0n~prk with r >1.Now suppose that n has a prime-power factorization n = p*lp22..*Pil, where Pi,p2,---,Pi a r edistinct primes and £1? e2,...,el are positive integers. Lemma 1 leads us to the following lemma(cf. Halton [5], Ward [9]).Lemma 2: Let n & 1,2,6. A sufficient condition that Dn contains at least one primitive divisor isthat Qn>plp2--PiProof:We prove the contraposition. Suppose that Dn has no primitive divisors. lip is anarbitrary prime factor of Qn, thenp divides some Qm with 0p2 does not divide Q,. Hence, Qn divides PiP2...ph so Qn < pP2—Pi- •Our proof of CarmichaePs theorem is based on the following.Theorem 2: If n * 1,2,6 and if both the rfi1 cyclotornic number associated with z2 - z -1 and thatassociated with z2-3z + 2 are greater than the product of all prime factors of n, then, for everyreal Lucas sequence, Dn contains at least one primitive divisor.Now assume that n is an integer greater than 2 and that a and fi are real, that is, I? - AM ispositive. As Ward observed,Q,(a,fi) =X(a-?P){a-CrP) (1)= U((cc+fi)2-am + Cr+ C% (2)where C,-e2mln and the products are extended over all posjtive integers less than nil and primeton. Since a --p~L and aj3 = M, by putting 0r = 2 +gr +£~r, we haveQn = Qn(a^) = Il(L2-M0ry (3)Fix an arbitrary n > 2. Then Qn can be considered as the function of variables L and M. We shalldiscuss for what values ofZ and M the 71th cyclotornic number Qn has its least value.Lemma 3: Let /1 > 2 be an arbitrary fixed integer. If a and J3 are real, then gw has its least valueeither when L = 1 and M = -1 or when Z = 3 and M = 2.Proof: Take an arbitrary #r and fix it. Since n > 2, we have 0 < 0r < 4. Thus, if M < 0, wehave L2 - M0r >l + 0r, with equality holding only in the case L = 1, M = - 1 . When M > 0, considerthe cases M = 1, M > 1. In the first case we have L > 3, so thatZ2 -M0 r > 9 - 0 r > 9 - 2 l 9 r .Now assume M > 1. Then, since L2 > 4M+1, we haveZ2 -M^ r > 4M+ l-Mi 9 r = 9 - 2 ^ r + ( M - 2 )( 4 - ^ r ) > 9 - 2 ^ rwith equality holding only in the case M = 2, L.= 3. Hence, by formula (3), we have completed

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานที่เรียบง่ายของ CARMICHAELf
S ทฤษฎีบท
ON หารดั้งเดิม
minora Yabuta
46-35 Senriokanaka Suita-SL โอซาก้า 565-0812, ญี่ปุ่น
(Submitted กันยายน 1999 สุดท้าย Revision มีนาคม 2000)
1 บทนำสำหรับจำนวนเต็มบวกโดยพล«ตัวเลขของรูปแบบ Dn = {ที่ -pn) ลิตร {a-FJ) จะเรียกว่าตัวเลขลูคัสซึ่งเป็นสายและมีรากที่แตกต่างกันของฉพหุนาม (ซี) = ซี 2 -Lz + M และ L และจำนวนเต็ม Mare ที่มีเลข ลำดับที่ลูคัส (D): Dh D2, D3, ... เรียกว่าจริงเมื่อและฟุตเป็นจริง ตลอดบทความนี้เราคิดว่า L และ M มี coprime Dn แต่ละคนเป็นจำนวนเต็ม พีสำคัญที่เรียกว่าตัวหารดั้งเดิมของ Dn IFP แบ่ง Dn แต่ไม่ได้แบ่ง Dm สำหรับ0








กล้า [4] สังเกตในการศึกษาของตัวหารดั้งเดิมก็พอเพียงที่จะใช้ L> 0 ดังนั้นเรา. ถือว่า L> 0 ในเอกสารนี้ในปี1913 คาร์ไมเคิ [2] ที่จัดตั้งขึ้นดังต่อไปนี้. ทฤษฎีบทที่ 1 (คาร์ไมเคิ): ถ้าและ /} เป็นจริงและ n และ 1,2,6 แล้ว Dn มีอย่างน้อยหนึ่ง ดั้งเดิมหารยกเว้นเมื่อ« = 12, L = M = -l, ในปี 1974, Schinzel [6] ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้ารากออกมีความซับซ้อนและความฉลาดของพวกเขาไม่ได้เป็นรากของความสามัคคีและถ้าn คือขนาดใหญ่พอจากนั้นกว้าง * การ ระยะในลำดับที่ลูคัสที่เกี่ยวข้องมีตัวหารดั้งเดิม ในปี 1976 สจ๊วต [7] ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้า n - 5 หรือ n> 6 มีเพียงขีดหลายลำดับลูคัสที่ไม่ได้มีตัวหารดั้งเดิมและพวกเขาอาจได้รับการพิจารณา ในปี 1995 Voutier [8] กำหนดลำดับทั้งหมดที่ลูคัสที่โดดเด่นด้วย n ที่มากที่สุด 30. สุดท้าย Bilu, Hanrot และ Voutier [1] เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้แสดงให้เห็นว่าไม่มีลำดับที่โดดเด่นอื่น ๆ ที่ไม่ได้มีตัวหารดั้งเดิมสำหรับนW * ยาวกับ n มีขนาดใหญ่กว่า 30 จุดมุ่งหมายของการวิจัยนี้คือการให้หลักฐานเบื้องต้นและเรียบง่ายของทฤษฎีบท 1. เพื่อพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท1 istrue สำหรับลำดับลูคัสจริงทั้งหมดก็จะเพียงพอที่จะหารือเกี่ยวกับลำดับสองพิเศษได้แก่ ลำดับฟีโบนักชีและลำดับของแฟร์มาต์ที่เรียกว่า. 2 * เงื่อนไขที่เพียงพอที่ Dn มีตัวหารดั้งเดิมให้n> 1 เป็นจำนวนเต็ม ต่อไปนี้วอร์ด [9] เราเรียกตัวเลข <> R <> n (R, n) = ลิตรตัวเลขcyclotomic ที่เกี่ยวข้องกับการลำดับลูคัสซึ่งเป็นสายรากของฉพหุนาม(ซี) = z ที่2 -Lz + M กับสินค้าจะขยายมากกว่า integers บวกทั้งหมดน้อยกว่า n และที่สำคัญถึง n Qn แต่ละคนเป็นจำนวนเต็มและ Dn = Hd n Qm สินค้าที่จะขยายไปทั่วตัวหารของd n ดังนั้นพีเป็นตัวหารดั้งเดิมของ Dn ถ้าและริมฝีปากเพียง แต่เป็นตัวหารดั้งเดิมของ Qn. บทแทรกที่ 1 ด้านล่างแสดงให้เห็นโดยผู้เขียนหลายคน (คาร์ไมเคิกล้าวอร์ดและอื่น ๆ ). 2001] 439 หลักฐานที่เรียบง่ายของ CARMICHAEL ของทฤษฎีบท ON ดั้งเดิม หารบทแทรก1: Let /? เป็นสำคัญและให้ k เป็นค่าบวกน้อยที่สุดของฉันเช่นดัชนีที่ /? แบ่งดรถ้า n ^ 1,2,6 และถ้า /? แบ่ง Qn และบาง Qm 0




























n ~ ราคา
k กับอา> 1.
ตอนนี้คิดว่า n มีตัวประกอบที่สำคัญพลังงาน n = * p ลิตร
p2
2
.. * Pil
ที่ Pi, p2, ---, Pi
เป็นช่วงเวลาที่แตกต่างกันและ£ 1 e2, ... , เอลเป็นจำนวนเต็มบวก บทแทรก 1 ทำให้เราแทรกดังต่อไปนี้
(cf Halton [5] วอร์ด [9]).
บทแทรกที่ 2: ให้ n และ 1,2,6 เงื่อนไขเพียงพอที่ Dn มีอย่างน้อยหนึ่งตัวหารดั้งเดิมคือว่า Qn > plp2 - PiProof: เราพิสูจน์ contraposition สมมติว่ามีใคร Dn หารดั้งเดิม ริมฝีปากเป็นปัจจัยสำคัญโดยพลการของ Qn, thenp แบ่ง Qm บางอย่างกับ 0


พี
2 ไม่ได้แบ่ง Q ,. ดังนั้น Qn แบ่ง PiP2 ... ค่า pH เพื่อ Qn <p -P2 Pi-
•หลักฐานของเราทฤษฎีบทCarmichaePs ขึ้นอยู่กับการต่อไป.
ทฤษฎีบทที่ 2: ถ้า n * 1,2,6 และถ้าทั้งสอง rfi1 cyclotornic จำนวน ที่เกี่ยวข้องกับซี
2 - ซี -1
และที่เกี่ยวข้องกับซี
2
-3z + 2 มีมากขึ้นกว่าผลิตภัณฑ์ของปัจจัยที่สำคัญทั้งหมดของ n
แล้วสำหรับทุกลำดับลูคัสจริงDn มีอย่างน้อยหนึ่งตัวหารดั้งเดิม.
ตอนนี้คิดว่า n เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 2 และและสายเป็นจริงที่ผม? - AM
เป็นบวก ขณะที่วอร์ดสังเกตคิว (มีสาย) = X (a-? P) {a-Cr P) (1) = U ((ซีซี + FI) 2 -am Cr + + C% (2) ที่ C , -e2mln และผลิตภัณฑ์ที่มีการขยายมากกว่าจำนวนเต็ม posjtive ทั้งหมดน้อยกว่าศูนย์และที่สำคัญ. ตันตั้งแต่ - p - ~ L และ M = aj3 โดยวาง 0r = 2 กรัม + + £ ~ อาเรามีQn = Qn ( a ^) = Il (L2 -M0ry (3) แก้ไขโดยพล n> 2. จากนั้น Qn ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปร L เมตรและเราจะหารือเกี่ยวกับสิ่งที่มีค่าOFZ และ M 71 ชั้นจำนวน cyclotornic Qn มีของ ค่าน้อย. บทแทรก 3: Let / 1> 2 เป็นจำนวนเต็มคงที่โดยพลการและหาก J3 เป็นจริงแล้ว GW มีค่าน้อยของ. ทั้งเมื่อ L = 1 และ M = -1 หรือเมื่อ Z = 3 และ M = 2 พิสูจน์: ใช้เวลา smilie # R โดยพลการและแก้ไขได้ตั้งแต่ n> 2 เรามี 0 <0r <4. ดังนั้นหาก M <0 เรา. มี L2 - M0r> L + 0r มีความเท่าเทียมกันถือเฉพาะในกรณีที่ L = 1, M = -. 1 เมื่อ M> 0 พิจารณากรณีM = 1 M> 1. ในกรณีแรกที่เรามี L> 3 เพื่อให้Z2 -M0 R> 9-0 อา> 9-2 ลิตร 9 . อาร์ตอนนี้ถือว่าM> 1 แล้วตั้งแต่ L2> 4M + 1, เรามีZ2 -M ^ R> 4M + l-Mi 9 r = 9-2 ^ R + (M - 2) (4 - ^ R)> 9-2 ^ อาร์ที่มีความเท่าเทียมกันถือเฉพาะในกรณีM = 2 ลิตร = 3 ดังนั้นจากสูตร (3) เราได้เสร็จสิ้น