to achieve constant time update, th

to achieve constant time update, though. Say that we encounter a new rectangle and hence need to insert an interval
[y1, y2] with y1 < y2 into the structure. We compute the lowest common ancestor v of the leaves corresponding to y1
and y2 in the tree (as the tree is full there exists a simple arithmetic formula for that) and call v responsible for [y1, y2].
v corresponds to an interval [α2, (α + 2)2) such that y1 ∈ [α2, (α + 1)2) and y2 ∈ [(α + 1)2, (α + 2)2). For each
inner vertex we store its interval stack. To insert [y1, y2] we simply push it on the interval stack of the responsible vertex.
Note that because the collection is valid, all intervals I1, I2,..., Ik stored on the same interval stack at a given moment are
nested, i.e., I1 ⊆ I2 ⊆···⊆ Ik. To remove an interval we locate the responsible vertex and pop the topmost element from its
interval stack. The only nontrivial part is detecting an interval containing a given point x. First traverse the path starting at
the corresponding leaf. This gives us a sequence of log M interval stacks. Observe that for a fixed interval stack it is enough
to check if its bottom element (if any) contains x, hence O(log M) query time follows.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เพื่อให้การปรับปรุงเวลาคง แม้ว่า กล่าวว่า เราพบสี่เหลี่ยมใหม่ และดังนั้นจึง จำเป็นต้องแทรกช่วง
[y1, y2] กับ y1 < y2 เป็นโครงสร้าง เราคำนวณ v บรรพบุรุษร่วมสุดของใบไม้ที่สอดคล้องกับ y1
และ y2 ในแผนภูมิ (เป็นต้นไม้เต็ม มีสูตรคณิตศาสตร์ง่าย ๆ ว่า) และเรียก v ชอบ [y1, y2]
v ตรงกับช่วง [α2 (Α 2) 2) ที่ y1 ∈ [α2, (α 1) 2) และ y2 ∈ [(α 1) 2, (α 2) 2 สำหรับแต่ละ
เราเก็บเรียงช่วงจุดภายใน การแทรก [y1, y2] เราก็ผลักดันเรื่องกองช่วงของรับผิดชอบจุด
หมายเหตุเนื่องจากคอลเลกชันที่ถูกต้อง ช่วงทั้งหมด Ik I1, I2,..., เก็บไว้ในกองซ้อนช่วงเดียวกันในช่วงเวลาที่กำหนด
ซ้อนกัน เช่น I1 ⊆ I2 ⊆···⊆ Ik เอาช่วงเราค้นหาจุดความรับผิดชอบ และปรากฏองค์ประกอบอยู่ด้านบนสุดจากนั้น
ช่วงกอง ส่วน nontrivial เท่ากำลังตรวจหาช่วงที่ประกอบด้วยจุดกำหนด x ท่องไปตามเส้นทางเริ่มต้นที่แรก
ใบไม้สอดคล้องกัน นี้ทำให้เราลำดับของไพ่ช่วงล็อก M สังเกตว่า สำหรับกองช่วงเวลาคงที่ จึงพอ
การตรวจสอบว่า ประกอบด้วยองค์ประกอบของด้านล่าง (ถ้ามี) x ดังนั้นเวลา O (ล็อก M) แบบสอบถามดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพื่อให้บรรลุการปรับปรุงเวลาคงที่แม้ว่า กล่าวว่าเราพบใหม่สี่เหลี่ยมผืนผ้าและด้วยเหตุนี้ต้องแทรกช่วง
y1 y2 ] กับ [ , y1 < Y2 ในโครงสร้าง เราคำนวณค่าบรรพบุรุษร่วม 5 ใบที่สอดคล้องกันและ y1
Y2 ในต้นไม้ ( ต้นไม้เต็ม มีสูตรการคำนวณง่ายสำหรับที่ ) และเรียกรับผิดชอบ [ y1 y2 V , ] .
5 สอดคล้องกับช่วงเวลาα  [ 2 ,( α 2  ) ที่∈ y1 [ α 2  ( α 1 ) 2  ) และ∈ y2 [ ( α 1 ) 2  ( α 2  ) สำหรับแต่ละจุดยอดเรา
ภายในร้านช่วงสแต็ค แทรก [ y1 , Y2 ] เราก็ผลักมันในช่วงกองซ้อนของ VERTEX รับผิดชอบ .
ทราบว่าเพราะคอลเลกชันใช้ได้ทุกช่วงเวลา i1 I2 , . . . , ฉันเก็บไว้ในกองเดียวกันที่ให้ช่วงขณะ
ซ้อนกัน เช่น ⊆ I1 I2 ⊆···⊆อิคเอาช่วงเวลาที่เราค้นหา ยอดที่รับผิดชอบและป๊อปองค์ประกอบสูงสุดจาก
ช่วงสแต็ค เฉพาะส่วนที่เป็นการนอนทริเวียล ช่วงที่มีจุดที่กําหนด X แรกท่องเส้นทางเริ่มต้นที่
ใบที่สอดคล้องกัน นี้จะช่วยให้เราบันทึกลำดับของ M ช่วงกอง . สังเกตว่าในช่วงเวลาคงที่กองก็พอ
เพื่อตรวจสอบว่าองค์ประกอบด้านล่างของมัน ( ถ้ามี ) มี X จึงเป็น O ( log ) เวลา query ดังนี้