DOI: 10.1007=s00453-001-0048-0Algor

DOI: 10.1007=s00453-001-0048-0
Algorithmica (2001) 31: 442–457 Algorithmica
© 2001 Springer-Verlag New York Inc.
Stochastic Analysis of Shell Sort
R. T. Smythe1 and J. Wellner2
Abstract. We analyze the Shell Sort algorithm under the usual random permutation model. Using empirical
distribution functions, we recover Louchard’s result that the running time of the 1-stage of .2; 1/-Shell Sort has
a limiting distribution given by the area under the absolute Brownian bridge. The analysis extends to .h; 1/-
Shell Sort where we find a limiting distribution given by the sum of areas under correlated absolute Brownian
bridges.Avariation of .h; 1/-Shell Sort which is slightly more efficient is presented and its asymptotic behavior
analyzed.
Key Words. Empirical distribution functions, Brownian bridge, Sorting algorithm, Random permutation
model, Asymptotic distribution.
1. Introduction. Shell Sort is an algorithm that generalizes the method of sorting by
insertion. It is essentially several stages of insertion sort. The algorithm was proposed
in Shell (1959). The method received considerable attention over the past quarter of a
century after Knuth’s 1973 book popularized it (Knuth, 1973). From a practical point of
view, the interest in Shell Sort stems from the fact that it is a rather practicable method of
in situ sorting with little overhead and can be implemented with ease. From a theoretical
standpoint, the interest is that insertion sort has an average of 2.n2/ running time to sort n
random keys, whereas the appropriate choice of the parameters of the stages of Shell Sort
can bring down the order of magnitude. For instance, by a certain choice of the structure
of the stages, a 2-stage Shell Sort can sort in O.n5=3/ average running time. Ultimately,
an optimized choice of the parameter can come close to the information-theoretic lower
bound of O.n ln n/ average case.
The analysis of Shell Sort has stood as a formidable challenge. Most research on
Shell Sort has gone in the direction of making good choices for the parameters of
the stages to obtain good worst-case behavior (see, for example, the review paper of
Sedgewick (1996)). We propose here to take the research along a different axis and
to analyze the stochastic structure of the algorithm. We rederive the limit result of
Louchard (1986) for .2; 1/-Shell Sort, which he proved by essentially combinatoric
arguments, and we generalize the approach to the analysis of .h; 1/-Shell Sort. The
integrated alsolute value of the Brownian bridge appears in the limiting distributions;
the moments of the distribution of this random variable were found by Shepp (1982),
and Johnson and Killeen (1983) gave an explicit characterization of the distribution
function.
1 Department of Statistics, Oregon State University, Corvallis, OR 97331, USA.
2 Department of Statistics, University of Washington, Seattle, WA 98195, USA.
Received June 6, 2000; revised September 27, 2000. Communicated by K. Kemp and H. Prodinger.
Online publication August 9, 2001.
Stochastic Analysis of Shell Sort 443
Section 2 gives a brief description of the algorithm; readers in search of more detail are
advised to consult a source such as Sedgewick (1988), Sedgewick and Flajolet (1996),
or Mahmoud (2000). In Section 3 the limiting distribution of the running time of .2; 1/-
Shell Sort is derived using order statistics and empirical distribution functions. This is
extended in Section 4 to .h; 1/-Shell Sort. Section 5 introduces a variation of .h; 1/-Shell
Sort and gives the asymptotic distribution of its running time. In Section 6 we make some
brief observations about .h; k; 1/-Shell Sort.
2. The Algorithm. To sort by insertion, one progressively adds keys to an already
sorted file. This is achieved by identifying the rank of the next key by searching the
available sorted list. The search can, of course, be done in many different ways. We
restrict our attention to linear search, since it is a form that integrates easily into Shell Sort.
Shell Sort performs several stages of insertion sort and is well suited to arrays. We
assume the data reside in a host linear array structure of size n. If the chosen Shell Sort
uses k stages, a k-long integer sequence decreasing down to 1 is chosen to achieve a
faster sort than plain insertion as follows. Suppose the sequence is tk ; tk¡1; : : : ; t1 D 1.
In sorting n keys, the first stage sorts keys that are tk positions apart in the list. Thus
tk subarrays of length at most dn=tke each are sorted by plain insertion. In the second
stage the algorithm uses the increment tk¡1 to sort tk¡1 subarrays of keys that are tk¡1
positions apart (each subarray is of length at most dn=tk¡1e), and so on, down to the last
stage, where an increment of 1 is used to insert-sort the whole array. Thus, in the last
stage the algorithm executes plain insertion sort.
As an example, .2; 1/-Shell Sort sorts the array
3 2 6 5 9 8 1 4 7
in two stages. In the first stage the increments of 2 are used—the subarray of odd indexes
is sorted by regular insertion sort, and the subarray of even indexes is sorted by regular
insertion sort. The two interleaved arrangements
sorted odd positions: 1 3 6 7 9
sorted even positions: 2 4 5 8
are then sorted by one run of the regular insertion sort on the whole array. The stage of
Shell Sort that uses the increment tj will be referred to as the tj -stage of the algorithm.
We use the usual notation Z. j / to denote the j th order statistic among Z1; : : : ; Zr .
(Technically, we should use Z. j : r / since Z. j : r / and Z. j : s/ may differ for s 6D r ; however,
when the second subscript is understood, we drop it for simplicity.)
The notion of an inversion in a permutation is at the core of our analysis. Let
.¼1; : : : ; ¼n/ be a permutation of f1; : : : ; ng. One says that the pair .¼i; ¼j / is an inversion
if ¼i > ¼j , for i < j , that is when ¼i and ¼j are out of their natural order.
3. Analysis of .2; 1/-Shell Sort. Our goal in this paper is to discuss the stochastic
behavior of Shell Sort when it operates on an array of n raw data. The usual probability
model is the random permutation model, whereby the ranks of the data are equally likely
444 R. T. Smythe and J. Wellner
to be any of the permutations of f1; : : : ; ng, each occurring with probability 1=n!. This
model is natural and is used as the standard for the analysis of sorting algorithms. The
model covers a wide variety of real-world data models; for instance the entire class of
data drawn from any continuous distribution follows the random permutation probability
model. Henceforth the term random will specifically refer to data from this model. In
this section we consider only .2; 1/-Shell Sort.
The difficulty in the stochastic analysis of Shell Sort lies in the fact that after the first
stage the resulting data are no longer random. Instead, tk sorted subarrays are interleaved.
The second and subsequent stages may not then appeal to the results known for insertion
sort. For example, the second stage of the .2; 1/-Shell’s sort does not sort a random array
of size n. The first stage somewhat orders the array as a whole, and many inversions are
removed (some new ones may appear, though; see for example the positions of 5 and 6
before and after the 2-stage of our example).
Suppose our data are n real numbers from a continuous probability distribution.
Because ordering is preserved by the probability integral transform, we may (and do)
assume that the probability distribution is uniform on .0; 1/.We call the elements in odd
positions X’s and those in the even position Y ’s. Thus, if n is odd, initially our raw array
prior to any sorting is
X1; Y1; X2; Y2; : : : ; Ybn=2c; Xdn=2e;
and if n is even the initial raw array is
X1; Y1; X2; Y2; : : : ; Xn=2; Yn=2:
The 2-stage of the algorithm puts the X’s in order among themselves and the Y ’s in
order among themselves. Let Sn be the number of comparisons that .2; 1/-Shell Sort
makes to sort n random keys, and let Cn be the number of comparisons that insertion
sort makes to sort n random keys. The 2-stage of .2; 1/-Shell Sort makes two runs of
insertion sort on the subarrays X1; : : : ; Xdn=2e and Y1; : : : ; Ybn=2c, thus requiring
Cdn=2e © QC
bn=2c
comparisons, where QC
j
DD
Cj , and for all feasible i and j , Ci is independent of QC
j .
The 1-stage now comes in, requiring additional comparisons to remove the remaining
inversions. When we are about to insert Y. j /, we place it among
fX.1/; : : : ; X. j /g [ fY.1/; : : : ; Y. j¡1/g:
Because the 2-stage has sorted the Y ’s, fY.1/; : : : ; Y. j¡1/g do not have any inversions with
Y. j /. Only fX.1/; : : : ; X. j /g can introduce inversions. It is well known that the so-called
sentinel version of insertion sort makes
C.5n/ D n C I .5n/
comparisons to sort a permutation 5n with I .5n/ inversions. Let Vj be the number of
inversions Y. j / makes with all the elements that precede it, that is
Vj D 1fX.1/>Y. j /g C¢ ¢ ¢C1fX. j />Y. j /g;
Stochastic Analysis of Shell Sort 445
for j D 1; : : : ; bn=2c. A symmetric argument applies to the insertion of X. j /; define Wj
as the number of inversions X. j / makes with all the elements that precede it:
Wj D 1fY.1/>X. j /g C¢ ¢ ¢C1fY. j¡1/>X. j /g;
for j D 1; : : : ; dn=2e. The number of inversions after the 2-stage is thus
In D
dXn=2e
jD1
Vj C
bXn=2c
jD1
Wj :
The 1-stage then requires n C In comparisons
The overall number of comparisons Sn of .2; 1/-Shell Sort is therefore given by the
convolution
Sn D Cdn=2e © QC
(1) bn=2c © n © In:
Lent and Mahmoud (1996) developed Gaussian laws for the entire class of treegrowing
search strategies, which includes linear search, the search method of Shell Sort.
In particular, Cn, the number of comparisons that insertion sort performs to sort n random
keys, is asymptotically normally distributed:
Cn ¡ 14
n2
n3=2
D ¡! N.0; 1
36 /:
We focus on the limiting distribution of In. To avoid working with clumsy floors and
ceilings, we assume n is even.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ดอย: 10.1007 = s00453-001-0048-0Algorithmica (2001) 31:442-457 Algorithmica© 2001 springer Verlag นิวยอร์ก อิงค์เปลือกเรียงวิเคราะห์แบบเฟ้นสุ่มอาร์ต. Smythe1 และ J. Wellner2บทคัดย่อ เราวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีการเรียงเปลือกภายใต้รูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มปกติ ใช้ผลกระจายฟังก์ชัน เรากู้คืน Louchard ของผลที่ 1-ขั้นตอนของเวลาทำงาน. 2 1 / -เชลล์เรียงลำดับได้กระจายจำกัดโดยบริเวณใต้สะพาน Brownian สัมบูรณ์ การวิเคราะห์ที่ขยายไปถึง.h 1 / -ที่เราพบการกระจายข้อจำกัดที่กำหนด โดยผลรวมของพื้นที่ที่แบบบราวน์แบบ correlated เรียงเปลือกสะพาน Avariation .h นำเสนอ 1 / -เชลล์มีประสิทธิภาพมากขึ้นเล็กน้อย และลักษณะการทำงานของ asymptoticวิเคราะห์คำสำคัญ ฟังก์ชันการกระจายผล สะพาน Brownian อัลกอริทึมการเรียงลำดับ สุ่มเรียงสับเปลี่ยนแบบจำลอง กระจาย Asymptotic1. บทนำ เปลือกเรียงลำดับเป็นขั้นตอนวิธีที่ generalizes วิธีการเรียงลำดับแทรก เรียงลำดับแบบแทรกเป็นหลายขั้นตอนได้ อัลกอริทึมถูกเสนอในเปลือก (1959) วิธีการได้รับความสนใจมากเกินไตรมาสผ่านมาของการศตวรรษหลังจากจอง 1973 ของ Knuth popularized มัน (Knuth, 1973) จากการปฏิบัติของดู สนใจในเปลือกเรียงมาจากความจริงที่ว่ามันเป็นวิธีค่อนข้าง practicableการเรียงลำดับใน situ กับค่าใช้จ่ายในน้อย และสามารถนำมาใช้ได้อย่างง่ายดาย จากทฤษฎีการอัน ดอกเบี้ยเป็นการเรียงลำดับแบบแทรกมีราคาโดยเฉลี่ยใช้เวลาในการเรียงลำดับ n 2.n2/คีย์แบบสุ่ม ในขณะที่พารามิเตอร์ของขั้นตอนของการเรียงเปลือกเลือกที่เหมาะสมสามารถนำมาลงขนาดของใบสั่ง โดยทางโครงสร้างเช่นขั้นตอน การเรียงลำดับขั้นตอน 2 เปลือกสามารถเรียงใช้เวลาเฉลี่ย O.n5=3/ ในที่สุดการเลือกพารามิเตอร์ให้เหมาะสามารถเข้าใกล้ด้านล่างข้อมูล theoreticผูกของ O.n ln กรณี n / เฉลี่ยการวิเคราะห์ของเชลล์เรียงได้ยืนเป็นความท้าทายที่น่ากลัว วิจัยส่วนใหญ่เปลือกเรียงได้ไปในทิศทางที่ทำให้ตัวเลือกที่ดีสำหรับพารามิเตอร์ของขั้นรับจรรยา worst-case (ดู เช่น กระดาษตรวจทานของSedgewick (1996)) เราเสนอการวิจัยตามแนวแกนต่าง ๆ และการวิเคราะห์โครงสร้างแบบเฟ้นสุ่มของอัลกอริทึมการ เรา rederive ผลจำกัดLouchard (1986) สำหรับการ 2 1 / -เชลล์เรียง ซึ่งเขาพิสูจน์โดยหลัก combinatoricทั่วไปวิธีการวิเคราะห์ของ.h อาร์กิวเมนต์ และเรา 1 / -เชลล์เรียง ที่alsolute รวมค่าของสะพาน Brownian ปรากฏในการกระจายข้อจำกัดช่วงเวลาของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มนี้พบ โดย Shepp (1982),Johnson และคิลลีน (1983) ให้มีคุณสมบัติที่ชัดเจนของการกระจายฟังก์ชันการแผนก 1 Corvallis, OR 97331 สหรัฐอเมริกา มหาวิทยาลัยรัฐ สถิติภาคที่ 2 วิชาสถิติ มหาวิทยาลัยวอชิงตัน ซีแอตเทิล WA 98195 สหรัฐอเมริกา6 มิถุนายน 2000 ได้รับ แก้ไข 27 กันยายน 2000 สื่อสาร โดยคุณ Kemp และ H. Prodingerออนไลน์ประกาศ 9 สิงหาคม ค.ศ. 2001วิเคราะห์แบบเฟ้นสุ่มของเชลล์เรียง 4432 ส่วนให้คำอธิบายโดยย่อของอัลกอริทึม มีผู้อ่านในการค้นหารายละเอียดเพิ่มเติมคำแนะนำปรึกษาแหล่ง Sedgewick (1988), Sedgewick และ Flajolet (1996),หรือ Mahmoud (2000) ในส่วน 3 การกระจายข้อจำกัดของเวลาทำงานของ. 2 1 / -เปลือกเรียงมาใช้สถิติใบสั่งและฟังก์ชันการกระจายผล นี่คือขยายในส่วน 4 .h 1 / -เชลล์เรียง ส่วน 5 แนะนำรูปแบบของ.h 1 / -เชลล์เรียงลำดับ และให้กระจาย asymptotic ของเวลาทำงาน ใน 6 ส่วน เราทำบางอย่างข้อสังเกตสั้น ๆ เกี่ยวกับ.h k 1 / -เชลล์เรียง2.อัลกอริทึมการ การเรียงแทรก หนึ่งความก้าวหน้าเพิ่มคีย์ไปอันแล้วเรียงลำดับแฟ้ม การระบุลำดับของคีย์ถัดไปด้วยการค้นหาเรียงลำดับรายการ แน่นอน สามารถ ทำการค้นหาในหลาย ๆ เราจำกัดการค้นหาเชิงเส้น ความสนใจของเราเนื่องจากเป็นแบบที่ง่าย ๆ รวมเข้าเปลือกเรียงเรียงลำดับเชลล์ดำเนินขั้นตอนต่าง ๆ ของการเรียงลำดับแบบแทรก และเหมาะกับอาร์เรย์ เราสมมติว่า ข้อมูลอยู่ในโครงสร้างแถวลำดับเชิงเส้นโฮสต์ของขนาด n ถ้าเลือกการเรียงลำดับของเชลล์ใช้ k ขั้นตอน ลำดับจำนวนเต็ม k ลองลดลงไป 1 ที่เพื่อให้บรรลุการเร็วเรียงกว่าแทรกธรรมดาเป็นดังนี้ สมมติว่าลำดับที่เป็น tk tk¡1 : : : ; t1 D 1ในการเรียงลำดับคีย์ n ระยะแรกเรียงลำดับคีย์ที่ tk ตำแหน่งแยกรายการ ดังนั้นtk subarrays ความยาวที่สุด dn = tke ละจะเรียงลำดับตามธรรมดาแทรก ในที่สองขั้นตอนอัลกอริทึมใช้ tk¡1 เพิ่มการเรียงลำดับ subarrays tk¡1 คีย์ที่ tk¡1ตำแหน่งที่ห่างกัน (subarray ละเป็นความยาวที่สุด dn = tk¡1e), ใน ลงสุดท้ายเวที ที่ 1 เพิ่มการใช้เรียงลำดับแทรกอาร์เรย์ทั้งหมด ดังนั้น ในสุดขั้นขั้นตอนวิธีการดำเนินการเรียงลำดับแบบแทรกเป็นตัวอย่าง 2 1 / -เชลล์เรียงเรียงลำดับแถว3 2 6 5 9 8 1 4 7ในสองขั้นตอน ในระยะแรก ใช้ทีละ 2 — subarray ดัชนีคี่เรียงลำดับ โดยเรียงลำดับแบบแทรกเป็นประจำ และ subarray แม้ดัชนีจะเรียงลำดับตามปกติเรียงลำดับแบบแทรก จัดการสอดสองเรียงลำดับตำแหน่งคี่: 1 3 6 7 9แม้ตำแหน่งการเรียงลำดับ: 2 4 5 8แล้วจะเรียงลำดับตามการเรียงลำดับแบบแทรกปกติรันหนึ่งในอาร์เรย์ทั้งหมด ขั้นตอนของเรียงเปลือกที่ใช้ tj เพิ่มจะอ้างถึงเป็น tj-ขั้นตอนของอัลกอริทึมเราใช้สัญลักษณ์ปกติ z. j / แสดงสถิติเจ th สั่งระหว่าง Z1 : : : ; Zr(เทคนิค เราควรใช้ z. j: r / ตั้งแต่ z. j: r / และ z. j: s / อาจแตกต่างสำหรับ r s 6D อย่างไรก็ตามเมื่อเข้าใจตัวห้อยสอง เราปล่อยรายการ)แนวคิดของการกลับในการเรียงสับเปลี่ยนของเราวิเคราะห์ได้ ปล่อยให้. ¼1 : : : ; ¼n / เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ f1 : : : ; ng หนึ่งบอกว่า คู่นี้ ¼i ¼j เป็นตัวกลับถ้า ¼i > ¼j หา < เจ ที่ ¼i และ ¼j ไม่สั่งของธรรมชาติ3. วิเคราะห์ 2 1 / -เชลล์เรียง เป้าหมายของเราในเอกสารนี้คือการ อภิปรายแบบสโทแคสติกลักษณะการทำงานของเชลล์เรียงเมื่อมันทำงานในอาร์เรย์ของข้อมูลดิบ n ความน่าเป็นปกติจำลองเป็นรูปแบบการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม โดยอันดับของข้อมูลมีแนวโน้มที่เท่า ๆ กัน444 ต. R. Smythe และเจ Wellnerจะมีสับของ f1 : : : ; ng แต่ละเกิดขึ้น ด้วยความน่าเป็น 1 = n นี้รูปแบบเป็นธรรมชาติ และใช้เป็นมาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์ของอัลกอริทึมการเรียงลำดับ ที่รุ่นครอบคลุมความหลากหลายของรูปแบบข้อมูลจริง ตัวอย่างทั้งชั้นข้อมูลการกระจายอย่างต่อเนื่องตามความน่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มแบบจำลอง โดยเฉพาะจะอ้างถึงข้อมูลแท้ ๆ คำสุ่มจากแบบจำลองนี้ ในส่วนนี้เราพิจารณาเฉพาะการ 2 1 / -เชลล์เรียงความยากลำบากในการวิเคราะห์แบบเฟ้นสุ่มของเชลล์เรียงอยู่ในความจริงที่หลังแรกขั้นตอนข้อมูลผลลัพธ์จะไม่สุ่ม แทน subarrays tk ที่เรียงเป็นแผนที่ขั้นสอง และต่อ ๆ ไปอาจไม่แล้วดึงดูดผลชื่อเสียงแทรกเรียงลำดับ ตัวอย่าง ขั้นสองของการ. 2 1 / -เชลล์ของเรียงเรียงแถวลำดับแบบสุ่มของขนาด n ระยะแรกค่อนข้างสั่งอาร์เรย์ทั้งหมด และ inversions มากมีเอา (บางใหม่ที่อาจปรากฏ แม้ว่า ดูตัวอย่างตำแหน่ง 5 และ 6ก่อน และ หลัง ขั้น 2 ของตัวอย่างของเรา)สมมติว่า ข้อมูลมีตัวเลขจำนวนจริง n จากการกระจายความน่าเป็นอย่างต่อเนื่องเนื่องจากสั่งซื้อจะถูกรักษาไว้ โดยการแปลงเชิงปริพันธ์ความน่าเป็น เราอาจ (และทำ)สมมติว่าการแจกแจงความน่าเป็นแบบรูปบน 0 1 / เราเรียกองค์ประกอบในคี่ตำแหน่งราย และผู้ที่อยู่ในตำแหน่งคู่ Y ' s ดังนั้น ถ้า n เป็นคี่ ครั้งแรกของอาร์เรย์ที่ดิบก่อนที่จะมีการเรียงลำดับเป็นX 1 Y1 X 2 Y2 : : : ; Ybn = 2c Xdn = 2eและถ้า n เป็นต้นวัตถุดิบได้ เป็นอาร์เรย์X 1 Y1 X 2 Y2 : : : ; Xn = 2 Yn = 2:ขั้น 2 ของอัลกอริทึมทำให้การรายในตัวเองและในของ Yสั่งนี่เอง ให้ Sn เป็นจำนวนการเปรียบเทียบที่. 2 เรียงลำดับ/ -เชลล์ 1ทำการเรียงลำดับคีย์สุ่ม n และให้ Cn เป็นจำนวนการเปรียบเทียบแทรกนั้นเรียงลำดับทำให้การเรียงลำดับคีย์สุ่ม n ขั้น 2 ของ. 2 เรียงลำดับ 1 / -เชลล์ทำให้รันสองของเรียงลำดับแบบแทรกใน subarrays X 1 : : : ; Xdn = 2e และ Y1 : : : ; Ybn = 2c จึง ต้องCdn = 2e © QCพัน = 2cเปรียบเทียบ ที่ QCเจดีดีCj และทั้งหมดเป็นไปได้ฉันและเจ Ci เป็นอิสระของ QCเจ1-ขั้นตอนนี้มาใน ต้องเปรียบเทียบเพิ่มเติมก็จะเอาเหลือinversions เมื่อเราจะแทรก Y. j / เราทำในfX.1/ : : : ; ไฟร์เจ /g [fY.1/;:::, Y. j¡1/g:เนื่องจากระยะ 2 มีเรียงลำดับ Y ของ fY.1/ : : : ; Y. j¡1/g มี inversions ใด ๆ ด้วยY. j / เฉพาะ fX.1/ : : : ; ไฟร์เจ /g สามารถแนะนำ inversions มันเป็นที่รู้จักที่เรียกว่าทำให้รุ่นยามเรียงลำดับแบบแทรกN C.5n/ D C ฉัน.5n /เปรียบเทียบการเรียงลำดับ 5n เรียงสับเปลี่ยนกับฉัน.5n / inversions ให้เป็นหมายเลขของ Vjinversions Y. j / ทำกับองค์ประกอบทั้งหมดที่ชัดเจน คือ1fX.1/ Vj D > Y. j /g C เลขหมายเลข C1fX. เจ / > Y. j /gวิเคราะห์แบบเฟ้นสุ่มของเชลล์เรียง 445สำหรับเจ D 1 : : : ; พัน = 2c ใช้อาร์กิวเมนต์ที่สมมาตรกับการแทรกไฟร์เจ /; กำหนด Wjเป็นจำนวน inversions x. อัพเจ / ทำกับองค์ประกอบทั้งหมดที่ชัดเจน:1fY.1/ Wj D > ไฟร์เจ /g C หมายเลขบัญชี C1fY j¡1 / > ไฟร์ j /gสำหรับเจ D 1 : : : ; dn = 2e จำนวน inversions หลังจากระยะ 2 จึงใน DdXn = 2ejD1Vj CbXn = 2cjD1Wj:ขั้น 1 ต้อง n C ในเปรียบเทียบแล้วรวมจำนวนเปรียบเทียบ Sn ของ. 2 เรียงลำดับ/ -เชลล์ 1 จึงถูกกำหนดโดยการconvolutionSn D Cdn = 2e © QC(1) พัน = 2c © © ใน n:เข้าพรรษาและ Mahmoud (1996) พัฒนากฎหมาย Gaussian สำหรับระดับทั้งหมดของ treegrowingค้นหากลยุทธ์ ซึ่งรวมถึงการค้นหาเชิงเส้น วิธีค้นหาการเรียงเปลือกเฉพาะ Cn เปรียบเทียบจำนวนการเรียงลำดับแบบแทรกทำการเรียงลำดับแบบสุ่ม nคีย์ asymptotically ปกติกระจาย:Cn ¡ 14n2n3 = 2D ¡ N.0 136 /:เรามุ่งเน้นการกระจายข้อจำกัดของใน เพื่อหลีกเลี่ยงการทำงานกับชั้นป้ำ ๆ และเพดาน เราสมมติ n จะได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

DOI: 10.1007 = s00453-001-0048-0
Algorithmica (2001) 31: 442-457 Algorithmica
© 2001 สปริงเวอร์นิวยอร์กอิงค์
Stochastic
วิเคราะห์เชลล์ประเภทอาร์ T. Smythe1 เจ Wellner2
บทคัดย่อ เราวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีการจัดเรียงเชลล์ภายใต้การเปลี่ยนแปลงรูปแบบปกติแบบสุ่ม ใช้เชิงประจักษ์ฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายเรากู้ผล Louchard ที่เวลาทำงานของขั้นตอนที่ 1 ของ 0.2;
1 / -Shell
ประเภทที่มีการกระจายการจำกัด ที่กำหนดโดยบริเวณใต้สะพานบราวแน่นอน การวิเคราะห์ขยายไป .h; 1 / -
เชลล์ประเภทที่เราพบการกระจาย จำกัด ที่ได้รับจากผลรวมของพื้นที่ที่อยู่ภายใต้ความสัมพันธ์ที่แน่นอน Brownian
bridges.Avariation ของ .h; 1 / -Shell
ประเภทซึ่งจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นเล็กน้อยที่จะนำเสนอและพฤติกรรมเชิงของการวิเคราะห์.
คำสำคัญ ฟังก์ชั่นการกระจายเชิงประจักษ์สะพาน Brownian ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ,
สุ่มเปลี่ยนแปลงรูปแบบการกระจายAsymptotic.
1 บทนำ. เชลล์จัดเรียงเป็นอัลกอริทึมที่ generalizes
วิธีการเรียงลำดับตามที่แทรก มันเป็นหลายขั้นตอนหลักของการจัดเรียงแทรก อัลกอริทึมที่ได้รับการเสนอในเชลล์ (1959)
วิธีการได้รับความสนใจอย่างมากในช่วงไตรมาสที่ผ่านมาของการให้ศตวรรษหลังจาก Knuth 1973 หนังสือที่นิยมมัน (นู, 1973) จากจุดปฏิบัติของมุมมองที่น่าสนใจในประเภทเชลล์เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นวิธีการในทางปฏิบัติค่อนข้างในแหล่งกำเนิดเรียงลำดับด้วยค่าใช้จ่ายน้อยและสามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดาย จากทฤษฎีมุมมองที่น่าสนใจคือการจัดเรียงแทรกที่มีค่าเฉลี่ยของ 2.n2 / เวลาทำงานในการจัดเรียง n กุญแจแบบสุ่มในขณะที่ทางเลือกที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ของขั้นตอนของการจัดเรียงเชลล์สามารถนำมาลงคำสั่งของขนาด ยกตัวอย่างเช่นโดยเป็นทางเลือกหนึ่งของโครงสร้างของขั้นตอนที่เชลล์ 2 ขั้นตอนสามารถเรียงลำดับเรียงลำดับใน O.n5 = 3 / เวลาทำงานเฉลี่ย ในท้ายที่สุดเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุดของพารามิเตอร์สามารถมาใกล้เคียงกับข้อมูลตามทฤษฎีต่ำผูกพันของในLN n / กรณีเฉลี่ย. วิเคราะห์เชลล์ได้ยืนเรียงเป็นความท้าทายที่น่ากลัว การวิจัยมากที่สุดในเชลล์จัดเรียงได้หายไปในทิศทางของการเลือกที่ดีสำหรับพารามิเตอร์ของขั้นตอนเพื่อให้ได้พฤติกรรมที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่ดี(ดูตัวอย่างเช่นกระดาษที่ความคิดเห็นของเซดจ์วิก (1996)) เรานำเสนอที่นี่จะใช้การวิจัยตามแกนแตกต่างกันและการวิเคราะห์โครงสร้างสุ่มของอัลกอริทึม เรา rederive ผลขีด จำกัด ของLouchard (1986) สำหรับ 0.2; 1 / -Shell ประเภทซึ่งเขาได้รับการพิสูจน์โดย combinatoric หลักข้อโต้แย้งและเราคุยแนวทางการวิเคราะห์.h นั้น 1 / -Shell ประเภท ค่า alsolute แบบบูรณาการของสะพาน Brownian ปรากฏในการกระจายการ จำกัด ; ช่วงเวลาของการกระจายของตัวแปรสุ่มนี้ถูกพบโดย Shepp (1982) และจอห์นสันและคิลลีน (1983) ให้ตัวละครอย่างชัดเจนของการกระจายการทำงาน. 1 ภาควิชา สถิติโอเรกอน State University, Corvallis, OR 97331, USA. 2 ภาควิชาสถิติมหาวิทยาลัยวอชิงตันซีแอตเทิ 98195, USA. ที่ได้รับ 6 มิถุนายน 2000; แก้ไขวันที่ 27 กันยายน 2000 การสื่อสารโดยเคเคมพ์และ Prodinger เอช. สิ่งพิมพ์ออนไลน์วันที่ 9 สิงหาคม 2001 การวิเคราะห์ Stochastic เชลล์ประเภท 443 ส่วนที่ 2 ให้คำอธิบายสั้น ๆ ของอัลกอริทึม; ผู้อ่านในการค้นหาของรายละเอียดมากขึ้นมีการให้คำแนะนำให้คำปรึกษาแหล่งที่มาเช่นเซดจ์วิก (ที่ 1988), เซดจ์วิกและ Flajolet (1996) หรือมาห์มูด (2000) ในส่วนที่ 3 การกระจายการ จำกัด เวลาการทำงานของ 0.2; 1 / - เชลล์ประเภทมีที่มาโดยใช้สถิติการสั่งซื้อและฟังก์ชั่นการกระจายเชิงประจักษ์ นี้จะขยายความในมาตรา 4 .h; 1 / -Shell ประเภท หมวดที่ 5 แนะนำรูปแบบของ .h นั้น 1 / -Shell จัดเรียงและช่วยให้การกระจาย asymptotic ของเวลาการทำงานของตน ในมาตรา 6 ที่เราทำบางข้อสังเกตสั้นๆ เกี่ยวกับ .h; k; 1 / -Shell ประเภท. 2 อัลกอริทึม เรียงลำดับตามแทรกหนึ่งมีความก้าวหน้าเพิ่มปุ่มไปยังแล้วไฟล์เรียง นี่คือความสำเร็จโดยการระบุตำแหน่งของคีย์ต่อไปโดยการค้นหารายการที่เรียงลำดับที่มีอยู่ การค้นหาสามารถของหลักสูตรทำได้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน เราจำกัด การความสนใจของเราไปสู่การค้นหาเชิงเส้นเพราะมันเป็นรูปแบบที่บูรณาการได้อย่างง่ายดายในการจัดเรียงเชลล์. เชลล์ประเภทดำเนินการหลายขั้นตอนของการจัดเรียงแทรกและเหมาะดีกับอาร์เรย์ เราถือว่าข้อมูลที่อยู่ในโครงสร้างอาร์เรย์โฮสต์เชิงเส้นของขนาด n หากได้รับการแต่งตั้งเรียงเชลล์ใช้ขั้นตอน k, ลำดับจำนวนเต็ม k ยาวลดลงลงไป 1 คือเลือกที่จะประสบความสำเร็จในการจัดเรียงเร็วกว่าธรรมดาแทรกดังต่อไปนี้ สมมติว่าเป็นลำดับ tk; tk¡1; :::; t1 D 1. ในการจัดเรียงปุ่ม n, ขั้นตอนแรกเรียงปุ่มที่ TK ตำแหน่งออกจากกันในรายการ ดังนั้นsubarrays tk ของความยาวที่มากที่สุด DN = TKE แต่ละแทรกเรียงตามธรรมดา ในครั้งที่สองขั้นตอนขั้นตอนวิธีการใช้tk¡1เพิ่มขึ้นในการจัดเรียงtk¡1 subarrays ของคีย์ที่มีtk¡1ตำแหน่งออกจากกัน(subarray แต่ละที่มีความยาวมากที่สุด DN = tk¡1e) และอื่น ๆ ลงไปที่ผ่านมาขั้นตอนที่การเพิ่มขึ้นของ 1 จะใช้ในการแทรก-เรียงลำดับอาร์เรย์ทั้งหมด ดังนั้นในช่วงขั้นตอนการดำเนินการขั้นตอนวิธีการจัดเรียงแทรกธรรมดา. เป็นตัวอย่างที่ 0.2; 1 / -Shell เรียงเรียงแถว3 2 5 6 9 8 1 4 7 ในสองขั้นตอน ในระยะแรกของการเพิ่มขึ้น 2 จะใช้ที่ subarray ของดัชนีแปลกเรียงตามการจัดเรียงแทรกปกติและsubarray ของดัชนีแม้แต่เรียงตามปกติการจัดเรียงแทรก ทั้งสองเตรียมการอัดเรียงตำแหน่งที่แปลก: 1 3 6 7 9 เรียงตำแหน่งแม้: 2 4 5 8 จะถูกเรียงลำดับแล้วโดยหนึ่งในการทำงานของการจัดเรียงแทรกปกติในอาร์เรย์ทั้งหมด ขั้นตอนของเชลล์ประเภทที่ใช้ TJ เพิ่มขึ้นจะได้รับการเรียกว่า TJ -stage ของขั้นตอนวิธี. เราใช้สัญกรณ์ปกติซีเจ / เพื่อแสดงถึงที่ j สถิติการสั่งซื้อในหมู่ Z1 นั้น :::; . Zr (ในทางเทคนิคเราควรใช้ซีเจ: อาร์ / ตั้งแต่ซีเจ: อาร์ / ซีและเจ: s / อาจแตกต่างกันสำหรับ s 6D อาอย่างไรก็ตามเมื่อห้อยที่สองเป็นที่เข้าใจเราวางไว้สำหรับความเรียบง่าย) ความคิดของการรักร่วมเพศในการเปลี่ยนแปลงการให้เป็นที่หลักของการวิเคราะห์ของเรา ให้.¼1; :::; ¼n / จะเปลี่ยนแปลงของ f1 นั้น :::; งะ หนึ่งบอกว่าคู่.¼i; ¼j / เป็นผกผันถ้า¼i> ¼jสำหรับ i <เจที่เมื่อ¼i¼jและมีการออกคำสั่งธรรมชาติของพวกเขา. 3 การวิเคราะห์ 0.2; 1 / -Shell ประเภท เป้าหมายของเราในบทความนี้คือการหารือเกี่ยวกับการสุ่มพฤติกรรมของเชลล์ประเภทเมื่อมันทำงานบนอาร์เรย์ของ n ข้อมูลดิบ ความน่าจะเป็นปกติรูปแบบเป็นรูปแบบการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มโดยการจัดอันดับของข้อมูลที่มีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน444 RT สมิตเจเวลเนอร์จะเป็นใดๆ ของพีชคณิต f1 นั้น :::; งะแต่ละที่เกิดขึ้นกับความน่าจะ 1 n = !. นี้รูปแบบที่เป็นธรรมชาติและใช้เป็นมาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์ของการเรียงลำดับขั้นตอนวิธี รุ่นครอบคลุมความหลากหลายของรูปแบบข้อมูลที่แท้จริงของโลก; ตัวอย่างเช่นทั้งชั้นของข้อมูลที่ดึงมาจากการกระจายใด ๆ อย่างต่อเนื่องต่อไปนี้น่าจะเป็นแบบสุ่มการเปลี่ยนแปลงรูปแบบ ต่อ แต่นี้ไประยะสุ่มเฉพาะจะอ้างถึงข้อมูลจากรูปแบบนี้ ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ 0.2; 1 / -Shell ประเภท. ความยากลำบากในการวิเคราะห์สุ่มของเชลล์จัดเรียงอยู่ในความจริงที่ว่าหลังจากที่ครั้งแรกที่เวทีข้อมูลที่เกิดจะไม่สุ่ม แต่ subarrays เรียง tk จะบรรณนิทัศน์. ขั้นตอนที่สองและต่อมาอาจจะไม่อุทธรณ์ไปแล้วผลที่ได้เป็นที่รู้จักกันสำหรับการแทรกการเรียงลำดับ ยกตัวอย่างเช่นขั้นตอนที่สองของ 0.2; 1 / จัดเรียง -Shell ไม่ได้เรียงลำดับอาร์เรย์แบบสุ่มของขนาดn ขั้นตอนแรกค่อนข้างสั่งอาร์เรย์โดยรวมและ inversions จำนวนมากจะถูกลบออก(คนใหม่อาจปรากฏขึ้นแม้ว่าจะดูตัวอย่างเช่นตำแหน่งที่ 5 และ 6 ก่อนและหลังการ 2 ขั้นตอนของตัวอย่างของเรา). สมมติว่าข้อมูลที่เรามี n. ตัวเลขที่แท้จริงจากการกระจายความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องเพราะการสั่งซื้อจะถูกรักษาไว้โดยน่าจะเป็นหนึ่งแปลงเราอาจ(และทำ) สมมติว่ากระจายความน่าจะเป็นชุดใน 0.0; 1 / เราเรียกองค์ประกอบในคี่ตำแหน่งของX และผู้ที่อยู่ในตำแหน่งแม้ Y 's ดังนั้นหาก n เป็นเลขคี่ต้นอาร์เรย์ดิบของเราก่อนที่จะมีการเรียงลำดับใดๆ ที่เป็นX1; Y1; X2; Y2; :::; Ybn = 2c; XdN = 2e; และถ้า n คือแม้แต่อาร์เรย์ดิบเริ่มต้นX1; Y1; X2; Y2; :::; Xn = 2; yn = 2: 2 ขั้นตอนของขั้นตอนวิธีทำให้เอ็กซ์ในการสั่งซื้อในตัวเองและ Y 'ในการสั่งซื้อในตัวเอง ให้ Sn เป็นจำนวนของการเปรียบเทียบที่ 0.2; 1 / -Shell ประเภททำให้การจัดเรียงปุ่มn สุ่มและให้ Cn มีจำนวนของการเปรียบเทียบที่แทรกการจัดเรียงที่ทำให้การจัดเรียงปุ่มสุ่มn 2 ขั้นตอนของ 0.2; 1 / -Shell ประเภททำให้ทั้งสองวิ่งของการจัดเรียงแทรกในsubarrays X1; :::; XdN = 2e และ Y1; :::; Ybn = 2c จึงต้องCdn = 2e © QC พันล้าน = 2c การเปรียบเทียบที่ QC เจDD Cj และสำหรับทุกความเป็นไปได้ i และ j, Ci เป็นอิสระจากการควบคุมคุณภาพj. 1 ขั้นตอนนี้มาในต้องเปรียบเทียบเพิ่มเติมเพื่อลบ ส่วนที่เหลืออีกinversions เมื่อเรากำลังจะแทรกวายเจ / เราวางไว้ในหมู่fX.1 /; :::; เอ็กซ์เจ / g [fY.1 /; :::; วายj¡1 / g: เพราะ 2 ขั้นตอนมีการเรียง Y 's, fY.1 /; :::; วายj¡1 / g ไม่ได้มี inversions ใด ๆ กับวาย เจ / เฉพาะ fX.1 /; :::; เอ็กซ์เจ / กรัมสามารถแนะนำ inversions เป็นที่ทราบกันดีว่าสิ่งที่เรียกว่ารุ่นแมวมองของการจัดเรียงแทรกทำให้C.5n / D n CI .5n / เปรียบเทียบกับเรียงลำดับ 5n เปลี่ยนแปลงกับ I .5n / inversions ให้ VJ เป็นจำนวนinversions วายเจ / ทำให้มีองค์ประกอบทั้งหมดที่นำหน้านั่นคือVJ D 1fX.1 /> Y เจ / กรัม C ¢¢¢ C1fX เจ /> Y เจ / กรัมวิเคราะห์Stochastic เชลล์ประเภท 445 สำหรับเจ D 1; :::; พันล้าน = 2c อาร์กิวเมนต์สมมาตรนำไปใช้กับการแทรกของเอ็กซ์เจ /; กำหนด Wj เป็นจำนวน inversions เอ็กซ์เจ / ทำให้มีองค์ประกอบทั้งหมดที่นำหน้ามันWj D 1fY.1 /> X เจ / กรัม C ¢¢¢ C1fY j¡1 /> X เจ / กรัมสำหรับเจD 1; :::; DN = 2e จำนวน inversions หลังจากที่ 2 ขั้นตอนคือทำให้ในD DXN = 2e JD1 VJ C bXn = 2c JD1 Wj: 1 ขั้นตอนแล้วต้อง n C ในการเปรียบเทียบจำนวนโดยรวมของการเปรียบเทียบSn ของ 0.2; 1 / -Shell ประเภทจะได้รับดังนั้นโดยบิดSn D Cdn = 2e © QC (1) พันล้าน = 2c © n ©ใน: เข้าพรรษาและมาห์มูด (1996) การพัฒนากฎหมายเสียนสำหรับการเรียนทั้งหมดของ treegrowing กลยุทธ์การค้นหาซึ่งรวมถึงการเชิงเส้น . การค้นหาวิธีการค้นหาของเชลล์ประเภทโดยเฉพาะอย่างยิ่งCn จำนวนของการเปรียบเทียบที่แทรกดำเนินการจัดเรียงการจัดเรียงแบบสุ่ม n คีย์เป็น asymptotically กระจายปกติ: Cn ¡ 14 N2 N3 = 2 D ¡! N.0; 1 36 /: เรามุ่งเน้นการกระจายการ จำกัด ใน เพื่อหลีกเลี่ยงการทำงานกับชั้นเงอะงะและเพดานเราคิด n คือแม้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ดอย : 10.1007 = s00453-001-0048-0
algorithmica ( 2001 ) 31 : 442 ( 457 algorithmica
สงวนลิขสิทธิ์ 2001 Springer Verlag นิวยอร์กอิงค์
สุ่มการวิเคราะห์ของเชลล์เรียง
R . T . smythe1 เจและ wellner2
นามธรรม เราวิเคราะห์เชลล์เรียงตามรูปแบบการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนวิธีแบบปกติ การใช้ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์
เรากู้คืน louchard คือผลที่วิ่งเวลาของ 1-stage . 2 ; 1 / เปลือก เรียงได้
มีการกระจายโดยให้พื้นที่ใต้สะพานบราวเนียนแน่นอน การวิเคราะห์ขยาย . H ; 1 / -
เปลือกหอยเรียงที่เราพบการกระจายที่ได้รับจากผลรวมของพื้นที่ภายใต้ความสัมพันธ์แบบบราวเนียน
bridges.avariation . H ; 1 / เปลือกเรียงซึ่งเป็นเล็กน้อยมีประสิทธิภาพมากขึ้นจะนำเสนอและวิเคราะห์พฤติกรรมซีมโทติค
.
คำสำคัญ ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์บราวเนียนสะพานขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับแบบสุ่มการเปลี่ยนแปลงรูปแบบการกระจายแหล่ง
, .
1 แนะนำ เชลล์เรียงลำดับขั้นตอนวิธีที่เช่นนี้ได้ขยายวิธีการเรียงลำดับด้วย
การแทรก มันเป็นหลักการหลายขั้นตอนของการแทรกการจัดเรียง ขั้นตอนวิธีที่เสนอ
ในเปลือก ( 1959 ) วิธีการได้รับความสนใจมากกว่าไตรมาสที่ผ่านมาของ
ศตวรรษหลัง คนูธของ 1973 หนังสือ popularized มัน คนูธ , 1973 ) จากจุดปฏิบัติของมุมมองน่าสนใจ
, เชลล์เรียงเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นวิธีที่ค่อนข้างชำนาญในการใช้จ่ายเล็ก ๆน้อย ๆด้วย
แหล่งกำเนิดและสามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดาย จากมุมมองทางทฤษฎี
, ดอกเบี้ยว่า การเรียงลำดับแบบแทรกได้เฉลี่ย 2.n2/ วิ่งเวลาเรียง n
กุญแจแบบสุ่มส่วนทางเลือกที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ของขั้นตอนของเชลล์เรียง
สามารถนำมาลงเพื่อขนาด เช่น ทางเลือกหนึ่งของโครงสร้าง
ของขั้นตอน , เชลล์เรียงสามารถจัดเรียงในพื้นที่ o.n5 = 3 / เฉลี่ยใช้เวลา ในที่สุด
ที่ดีที่สุดทางเลือกของพารามิเตอร์สามารถมาใกล้เคียงกับข้อมูลที่เกี่ยวกับทฤษฎีลดขอบเขตของ o.n n /

มีกรณีการวิเคราะห์เปลือกเรียงได้ยืนเป็นความท้าทายที่น่ากลัว งานวิจัยส่วนใหญ่บน
เปลือกหอยเรียงไปในทิศทางที่ทำให้ทางเลือกที่ดีสำหรับพารามิเตอร์ของ
ขั้นตอนเพื่อให้ได้พฤติกรรมทินดี ( เห็น ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบกระดาษ
เซดจ์วิค ( 1996 ) เราเสนอมาเพื่อใช้วิจัยตามแนวแกนและ
แตกต่างกันเพื่อศึกษาโครงสร้างสุ่มของขั้นตอนวิธีเรา rederive จำกัดผล
louchard ( 1986 ) สำหรับ 2 1 / เปลือกเรียง ซึ่งเขาพิสูจน์โดยอาร์กิวเมนต์หลัก combinatoric
และเราวางแผนแนวทางการวิเคราะห์ . H ; 1 / เปลือกจัดเรียง
รวม alsolute มูลค่าของสะพานบราวเนียนปรากฏในการจํากัดการกระจาย ;
ช่วงเวลาของการกระจายของตัวแปรสุ่มชนิดนี้ถูกพบโดย shepp
( 1982 )และ จอห์นสัน และ คิลลีน ( 1983 ) ให้มีลักษณะที่ชัดเจนของฟังก์ชันการแจกแจง
.
1 ภาควิชาสถิติ รัฐโอเรกอนมหาวิทยาลัย คอร์แวลลิส หรือ 97331 , USA
2 ภาควิชาสถิติ มหาวิทยาลัยวอชิงตัน ซีแอตเทิล , วอชิงตัน 98195 , USA
ได้รับ 6 มิถุนายน , 2000 ; ฉบับที่ 27 กันยายน 2000 สื่อสารโดย K . Kemp และ H . prodinger สิ่งพิมพ์ออนไลน์ .

9 สิงหาคม 2544การวิเคราะห์ปัญหาของเชลล์เรียงมาตรา 443
2 จะช่วยให้คำอธิบายสั้น ๆของขั้นตอนวิธี ผู้อ่านในการค้นหารายละเอียดเพิ่มเติม
แนะนำปรึกษาแหล่ง เช่น เซดจ์วิค ( 1988 ) , เซดจ์วิค และ flajolet ( 1996 ) ,
หรือมาห์ ( 2000 ) ในมาตรา 3 ที่จำกัดการกระจายของเวลาการทำงานของ 2 ; 1 / -
เปลือกหอยเรียงได้มาโดยใช้คำสั่งและฟังก์ชันการแจกแจงเชิงสถิติ . นี่คือ
ขยายในส่วน 4 H ; 1 / เปลือกจัดเรียง มาตรา 5 ได้เสนอรูปแบบของ H ; 1 / เปลือก
เรียงและให้แหล่งการกระจายของเวลา . ในมาตรา ๖ ให้สังเกตเรื่องย่อเรา
. h ; K ; 1 / เปลือกเรียง .
2 วิธีทำ จัดเรียงโดยการเพิ่มหนึ่งความก้าวหน้าคีย์แล้ว
เรียงไฟล์ นี่คือความโดยการระบุตำแหน่งของคีย์ต่อไป โดยการค้นหา
สามารถจัดเรียงรายการ การค้นหาสามารถแน่นอนทำในวิธีที่แตกต่างกันมาก เรา
จำกัดความสนใจของเราเพื่อค้นหาโดยตรง เนื่องจากเป็นรูปแบบที่รวมได้อย่างง่ายดายลงในเปลือก เรียง เรียง
เปลือกดำเนินการหลายขั้นตอนของการแทรกการจัดเรียงและเหมาะกับอาร์เรย์ . เรา
ถือว่าข้อมูลอยู่ในโฮสต์เชิงเส้นอาร์เรย์โครงสร้างขนาดได้ ถ้าเลือกใช้เปลือกหอยเรียง
K ขั้นตอนเป็น k-long จำนวนเต็มลำดับลดลงเหลือ 1 ที่ถูกเลือกเพื่อให้บรรลุเร็วขึ้นกว่าธรรมดาแทรก
เรียงดังนี้ สมมติว่าลำดับเป็น TK TK ¡ ; 1 ; : : : ; T1 D 1 .
n ในการเรียงปุ่มแรกประเภทเวทีกุญแจที่ TK ตำแหน่งกันในรายการ ดังนั้นความยาวที่ subarrays
TK ที่สุด DN = tke แต่ละจะถูกจัดเรียงโดยธรรมดาการแทรก ในวินาที
เวทีขั้นตอนวิธีใช้เพิ่ม¡ TK TK 1 เรียง¡ 1 subarrays ของคีย์ที่ TK ¡ 1
ตำแหน่งกัน ( แต่ละ subarray มีความยาวมากที่สุด¡ TK DN = 1e ) , และดังนั้นบน ลงสู่เวทีสุดท้าย
ที่เพิ่มขึ้น 1 ใช้แทรกเรียงลำดับอาร์เรย์ทั้งหมด . ดังนั้น ในช่วงระยะของการรัน

เรียงธรรมดา เป็นตัวอย่างที่ 2 ; 1 / เปลือก เรียงประเภทอาร์เรย์
3 2 6 5 9 8 1 4
7ใน 2 ขั้นตอน ในขั้นตอนแรกของการเพิ่มขึ้นของ 2 ใช้ subarray ดัชนีคี่
คือเรียงโดยเรียงแบบปกติและ subarray ดัชนีจะเรียงโดยเรียงแบบปกติ

สองอัดจัด
เรียงตำแหน่งคี่ 1 3 5 7 9
เรียงแม้ตำแหน่ง : 2 4 5 8
แล้วเรียงตามคนหนึ่งวิ่งของการจัดเรียงแบบปกติในอาร์เรย์ทั้งหมด เวที