The actual independence of the para

The actual independence of the parallel postulate from the other postulates of Euclidean geometry was not unquestionably established until consistency proofs of the hypothesis of the acute angle were furnished. These were now not long in coming and were supplied by Beltrami, Arthur Cayley, Felix Klein, Henri Poincare, and others. The method was to set up a model in Euclidean geometry so that the abstract development of the
hypothesis of the acute angle could be given a concrete interpretation in a part of Euclidean space. Then any inconsistency in the non-Euclidean geometry would imply a corresponding inconsistency in Euclidean geometry (see Problem Study 5.8)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความเป็นอิสระจริงของ postulate ขนานจาก postulates ของ Euclidean เรขาคณิตไม่ร้านก่อจนกว่าหลักฐานความสอดคล้องของสมมติฐานของมุมเฉียบพลันถูกตกแต่ง เหล่านี้ไม่ได้ตอนนี้ยาวในมา และได้จัดทำ โดย Beltrami, Arthur Cayley เฟลิกซ์ไคลน์ Henri Poincare และอื่น ๆ วิธีการคือการ ตั้งค่าแบบจำลองในรูปทรงเรขาคณิต Euclidean นั้นพัฒนานามธรรม
สมมติฐานของมุมเฉียบพลันอาจจะตีคอนกรีตในพื้นที่ Euclidean ได้ แล้วไม่สอดคล้องใด ๆ ในเรขาคณิตไม่ใช่ Euclidean จะเป็นสิทธิ์แบบไม่สอดคล้องกันที่เกี่ยวข้องในทางเรขาคณิต Euclidean (ดูปัญหาศึกษา 5.8)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความเป็นอิสระที่แท้จริงของการสมมุติขนานจากสมมุติฐานอื่น ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ได้รับการจัดตั้งขึ้นเด็ดจนพิสูจน์ความสอดคล้องของสมมติฐานของมุมเฉียบพลันได้รับการตกแต่ง เหล่านี้เป็นตอนนี้ไม่นานในการมาและได้รับการจัดจำหน่ายโดย Beltrami, อาร์เธอร์เคย์ลีเฟลิกซ์ไคลน์, อองรีปวงกาเร, และคนอื่น ๆ วิธีการคือการตั้งค่ารูปแบบในเรขาคณิตแบบยุคลิดเพื่อให้การพัฒนานามธรรมของ
สมมติฐานของมุมเฉียบพลันจะได้รับการตีความที่เป็นรูปธรรมในส่วนของปริภูมิแบบยุคลิด แล้วความขัดแย้งใด ๆ ในไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดจะบ่งบอกถึงความไม่ลงรอยกันที่สอดคล้องกันในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด (ดูปัญหาการศึกษา 5.8)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อิสรภาพที่แท้จริงของสัจพจน์เส้นขนานจากสมมุติฐานอื่นใช้เรขาคณิตไม่ได้เด็ดก่อตั้งจนถึงความสอดคล้องพิสูจน์สมมติฐานของมุมแหลมเป็นเฟอร์นิเจอร์ เหล่านี้ถูกตอนนี้ไม่ยาวมา และได้จัดโดย Beltrami อาเธอร์ เคย์ลีย์ เฟลิกซ์ ไคลน์ , เฮนรี่ poincare และอื่น ๆวิธีตั้งค่ารูปแบบเรขาคณิต เพื่อใช้ในการพัฒนาที่เป็นนามธรรมของ
สมมติฐานของมุมเฉียบพลันอาจได้รับการตีความที่เป็นรูปธรรมในส่วนของการใช้พื้นที่ แล้วความไม่สอดคล้องกันในไม่ใช้เรขาคณิตจะบ่งบอกความไม่สอดคล้องกันในโบราณคดีเกี่ยวกับความตาย ( ดูศึกษาปัญหา 5.8 )