Building a Geometric ProofDate: 06/

Building a Geometric Proof


Date: 06/03/99 at 14:54:28
From: Karen
Subject: Geometric proofs

I'm homeschooled, and I use Abeka geometry books. They have many
explanations to all of the proofs (two-column), but I still don't
understand how the proofs work. Nothing that anyone has told me has
helped me yet.

Date: 06/03/99 at 16:39:26
From: Doctor Peterson
Subject: Re: Geometric proofs

Hi, Karen. I try to make sure I catch questions from homeschoolers,
because I know from experience the value of having someone to talk to.

Probably the best way to help you would be to go through one specific
example that you don't understand; it's hard to talk about proofs
abstractly. Since you've asked about proofs in general, I'm going to
show you a question I got a couple of weeks ago and how I answered it.
This may give you a start at understanding other proofs; or you may
have more specific needs that this will help you express. Please write
back with any further questions you have.

You should also look through our FAQ on proofs, which talks about how
to do a proof:

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.proof.html

Question:

In my geometry class we are doing proofs and I just don't get them.
I've tried and tried, and I can't figure it out. I have the first
step, which is the given, and I don't know where to go from there.
can you please help me with the problem?

Given: Triangle ABC is a right triangle, with right angle 3.
Prove: Angle A and angle B are complementary angles.

Statement Reason
1) Triangle ABC is a right 1) Given
triangle with right angle 3.

Thank you,
Veronica
==========================

Proofs are probably something pretty new to you, and it does take time
to get a feel for what makes a proof good enough and how you can find
the way to prove something. It's really more like writing an essay
than like the math you've done before now - more creative and less
mechanical. That makes it harder, but also more rewarding and even
fun.

One thing that's important is not to sit staring at an empty
two-column chart. Our goal is to make a proof, not to fill in two
columns; if we think about the columns too early it can keep us from
the goal.

I like to think of a proof as a bridge, or maybe a path through a
forest: you have to start with some facts you are given, and find a
way to your destination. You have to start out by looking over the
territory, getting a feel for where you are and where you have to go -
what direction you have to head, what landmarks you might find on the
way, how you'll know when you're getting close.

In this case, what we start with is a right triangle; I suspect you
were given a picture that shows that angle 3 is at vertex C, because
that really should be stated as one of the "givens." Let's draw a
picture to we see what we have:

A
+
/|
/ |
/ |
/ 3|
+----+
B C

You have the structure built on one shore of the "river" we want to
cross:

Statement Reason
--------- ------
Triangle ABC is a right Given
triangle with right angle 3

We also know where we want to end up:

Angle A and angle B are ?
complementary angles

Let's look around a bit. What does "complementary" mean? We want to
show that A + B = 90 degrees. That tells us we want to work with the
angles of this triangle. What do we know about angles of a triangle?
You may have several theorems to consider; one that should come to
mind quickly is that the sum of the angles is 180 degrees.

What I've been doing here is looking at the tools and materials I have
to build our bridge or path. So far I know I start with a triangle,
one of whose angles is known; I want to get an equation involving the
other two angles; and I have a theorem about all the angles of a
triangle. That sounds promising!

Let's lay out what we have as the beginning of a proof:

Statement Reason
--------- ------
Triangle ABC is a right Given
triangle with right angle 3
.
.
.
A + B + C = 180 Sum of angles theorem
.
.
.
Angle A and angle B are ?
complementary angles

Now what do we need to fill in the gaps? Well, let's rewrite the other
statements in a way that looks more like the theorem we hope we can
use:

Statement Reason
--------- ------
Triangle ABC is a right Given
triangle with right angle 3
C = 90 Definition of right angle
.
.
.
A + B + C = 180 Sum of angles theorem
.
.
.
A + B = 90 ?
Angle A and angle B are Definition of complementary
complementary angles

Do you see how we're working both forward and backwards? That's where
my bridge-building analogy comes in: you can work on both ends of a
bridge and let them meet in the middle.

Okay, how can we show that A + B = 90? Since C is 90, we can just do
some algebra, subtracting the equation C = 90 from A + B + C = 180.
You've done the same sort of thing in algebra without having to write
it as a two-column proof; here we have to be able to say briefly why
this works, and you may have been given a list of basic facts about
algebra that you can use as reasons. I'll just call it "Subtracting
equals from equals."

Now all that's left is to put it together into a coherent proof. That
means we have to figure out how to state each step clearly; each step
has to follow from steps that have already been written; and each step
has to be small enough that we can give the reason without any huge
leaps that would be hard to explain. Let's try:

Statement Reason
--------- ------
Triangle ABC is a right Given
triangle with right angle 3
C = 90 Definition of right angle
A + B + C = 180 Sum of angles theorem
A + B = 90 Subtracting equals from equals
Angle A and angle B are Definition of complementary
complementary angles

This could use some rewriting to make it clearer, perhaps, and you
should use the correct symbolism for "the measure of angle C" rather
than just say "C"; but it does the job. (You can leave the cleaning up
to your editors when you publish your new theorem - that's their job!)

A lot of students worry whether they have stated their reasons well
enough, and usually most of the worries are about the most trivial
steps - the facts we may not even be able to give a name to because
they're obvious. That's why texts often spend a lot of time giving
special names to obvious facts, like "Corresponding Parts of Congruent
Triangles are Equal" - not because they're really important, but
because the two-column format requires you to say something, and they
don't want you to agonize over the wording. Real mathematicians don't
worry about such details, as long as they know each step is true. The
important thing for you is that you found a path. That's something to
celebrate - don't they have a little party when they finish a bridge,
and nail a tree to the top or something? Maybe you can draw a little
tree on your proof, and take a break before making the final copy.

It took a while to get this done, but it's rewarding to have explored
a jungle like this (or is it a river?) and find that we know our way
around well enough to build a path where there wasn't one before, just
as it's rewarding to have written a paper that explained thoughts we
didn't know we had, or facts we had to research. Or to explain to
someone how to do something they didn't know how to do. I hope I've
done that; feel free to write back for more help, because this is a
Big New Idea that takes getting used to.

- Doctor Peterson, The Math Forum

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Building a Geometric ProofDate: 06/03/99 at 14:54:28From: KarenSubject: Geometric proofsI'm homeschooled, and I use Abeka geometry books. They have many explanations to all of the proofs (two-column), but I still don't understand how the proofs work. Nothing that anyone has told me has helped me yet.Date: 06/03/99 at 16:39:26From: Doctor PetersonSubject: Re: Geometric proofsHi, Karen. I try to make sure I catch questions from homeschoolers, because I know from experience the value of having someone to talk to.Probably the best way to help you would be to go through one specific example that you don't understand; it's hard to talk about proofs abstractly. Since you've asked about proofs in general, I'm going to show you a question I got a couple of weeks ago and how I answered it. This may give you a start at understanding other proofs; or you may have more specific needs that this will help you express. Please write back with any further questions you have.You should also look through our FAQ on proofs, which talks about how to do a proof: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.proof.html Question:In my geometry class we are doing proofs and I just don't get them. I've tried and tried, and I can't figure it out. I have the first step, which is the given, and I don't know where to go from there.can you please help me with the problem?Given: Triangle ABC is a right triangle, with right angle 3.พิสูจน์: มุม A และมุม B เป็นมุมมื้อเหตุผลคำสั่ง1) สามเหลี่ยม ABC มีสิทธิ์ 1) ให้ สามเหลี่ยมมุมขวา 3ขอบคุณเวโรนิกา==========================หลักฐานอาจเป็นสิ่งใหม่สวยคุณ และมันใช้เวลา การรับความรู้สึกสิ่งที่ทำให้หลักฐานที่ดีพอและวิธีที่คุณสามารถค้นหา วิธีการพิสูจน์บางอย่าง มันเป็นจริง ๆ มากขึ้นเช่นการเขียนเรียงความ กว่าเช่นคณิตศาสตร์คุณได้ทำก่อน - สร้างสรรค์ และมากน้อย เครื่องจักรกล ที่ทำให้มันยาก แต่ยัง เพิ่มเติมให้รางวัล และแม้ สนุกสิ่งหนึ่งที่สำคัญคือจะไม่นั่งจ้องว่าง แผนภูมิสองคอลัมน์ เป้าหมายของเราคือการ ทำให้หลักฐาน การกรอกข้อมูลในสอง คอลัมน์ ถ้าเราคิดว่า เกี่ยวกับคอลัมน์ เร็วเกินไปก็สามารถเก็บจากเรา เป้าหมายชอบคิดว่า หลักฐานเป็นสะพาน หรืออาจเป็นเส้นทางผ่านการ ป่า: คุณต้องเริ่มต้น ด้วยข้อเท็จจริงบางอย่างคุณจะได้รับ และค้นหาความ วิธีการจุดหมายปลายทางของคุณ คุณต้องเริ่มต้น ด้วยการมองเห็นการ ดินแดน การรับความรู้สึกที่คุณมีและที่ต้องไป - ทิศทางใดต้องใหญ่ สถานใดคุณอาจพบ ทาง คุณจะรู้เมื่อคุณกำลังเรียกใช้ปิดในกรณีนี้ สิ่งที่เราเริ่มต้นด้วยเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก สงสัยว่าคุณ ได้รับรูปภาพที่แสดงมุมที่ 3 ที่จุด C เนื่องจาก ที่จริงควรระบุเป็นหนึ่งใน "givens" ลองวาดเป็น รูปภาพให้เราดูสิ่งที่เรามี: A + /| / | / | / 3| +----+ B Cคุณมีโครงสร้างที่สร้างขึ้นบนฝั่งหนึ่งของ "แม่น้ำ" ที่เราต้องการ ระหว่าง: เหตุผลคำสั่ง --------- ------ สามเหลี่ยม ABC มีสิทธิได้รับ สามเหลี่ยมมุมขวา 3นอกจากนี้เรายังรู้ว่าที่เราต้องการค่า: มุม A และมุม B บ้าง มุมมื้อลองดูบิต "เสริม" หมายถึงอะไร เราต้องการ แสดงว่า A + B = 90 องศา ที่บอกเราต้องการ มุมของสามเหลี่ยมนี้ สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับมุมของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่ คุณอาจมีหลายทฤษฎีพิจารณา ที่ควรมา จิตใจได้อย่างรวดเร็วเป็นที่ผลรวมของมุมเป็นมุม 180 องศาผมเคยได้ทำอะไรที่นี่กำลังมองหาเครื่องมือและวัสดุที่มี สร้างสะพานหรือเส้นทางของเรา จนฉันรู้ว่า ฉันเริ่มต้น ด้วยรูปสามเหลี่ยม หนึ่งมุมมีชื่อเสียง อยากได้สมการที่เกี่ยวข้องกับการ เสื่อ 2 และมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมทั้งหมดของการ สามเหลี่ยม ว่าเสียงสัญญาลองวางสิ่งที่เรามีเป็นจุดเริ่มต้นของหลักฐาน: เหตุผลคำสั่ง --------- ------ สามเหลี่ยม ABC มีสิทธิได้รับ สามเหลี่ยมมุมขวา 3 . . . A + B + C = 180 ผลรวมของมุมทฤษฎีบท . . . มุม A และมุม B บ้าง มุมมื้อตอนนี้ อะไรต้องเติมในช่องว่างหรือไม่ ดี ลองเขียนใหม่อีก คำสั่งที่มีลักษณะเพิ่มเติมเช่นทฤษฎีบทที่เราหวังว่า เราสามารถ ใช้: เหตุผลคำสั่ง --------- ------ สามเหลี่ยม ABC มีสิทธิได้รับ สามเหลี่ยมมุมขวา 3 C = 90 รายละเอียดของฉาก . . . A + B + C = 180 ผลรวมของมุมทฤษฎีบท . . . A + B = 90 มุม A และมุม B มีรายละเอียดของเพิ่มเติม มุมมื้อดูว่าเรากำลังทำงานไปข้างหน้า และย้อนหลังหรือไม่ ถูก my bridge-building analogy comes in: you can work on both ends of a bridge and let them meet in the middle.Okay, how can we show that A + B = 90? Since C is 90, we can just do some algebra, subtracting the equation C = 90 from A + B + C = 180. You've done the same sort of thing in algebra without having to write it as a two-column proof; here we have to be able to say briefly why this works, and you may have been given a list of basic facts about algebra that you can use as reasons. I'll just call it "Subtracting equals from equals."Now all that's left is to put it together into a coherent proof. That means we have to figure out how to state each step clearly; each step has to follow from steps that have already been written; and each step has to be small enough that we can give the reason without any huge leaps that would be hard to explain. Let's try: Statement Reason --------- ------ Triangle ABC is a right Given triangle with right angle 3 C = 90 Definition of right angle A + B + C = 180 Sum of angles theorem A + B = 90 Subtracting equals from equals Angle A and angle B are Definition of complementary complementary anglesThis could use some rewriting to make it clearer, perhaps, and you should use the correct symbolism for "the measure of angle C" rather than just say "C"; but it does the job. (You can leave the cleaning up to your editors when you publish your new theorem - that's their job!) A lot of students worry whether they have stated their reasons well enough, and usually most of the worries are about the most trivial steps - the facts we may not even be able to give a name to because they're obvious. That's why texts often spend a lot of time giving special names to obvious facts, like "Corresponding Parts of Congruent Triangles are Equal" - not because they're really important, but because the two-column format requires you to say something, and they don't want you to agonize over the wording. Real mathematicians don't worry about such details, as long as they know each step is true. The important thing for you is that you found a path. That's something to celebrate - don't they have a little party when they finish a bridge, and nail a tree to the top or something? Maybe you can draw a little tree on your proof, and take a break before making the final copy.It took a while to get this done, but it's rewarding to have explored a jungle like this (or is it a river?) and find that we know our way around well enough to build a path where there wasn't one before, just as it's rewarding to have written a paper that explained thoughts we didn't know we had, or facts we had to research. Or to explain to someone how to do something they didn't know how to do. I hope I've done that; feel free to write back for more help, because this is a Big New Idea that takes getting used to.
- Doctor Peterson, The Math Forum

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สร้างหลักฐานทางเรขาคณิตวันที่: 06/03/99 14:54:28 ที่จาก: กะเหรี่ยงเรื่องหลักฐานทางเรขาคณิตฉัน homeschooled และฉันจะใช้หนังสือเรขาคณิต Abeka พวกเขามีหลายคำอธิบายทั้งหมดของการพิสูจน์ (สองคอลัมน์) แต่ผมก็ยังไม่เข้าใจวิธีการพิสูจน์การทำงาน ไม่มีอะไรที่ทุกคนได้บอกผมได้ช่วยให้ฉันยัง. วันที่: 06/03/99 16:39:26 ที่จาก: ปีเตอร์สันหมอเรื่อง: Re: หลักฐานทางเรขาคณิตสวัสดีชาวกะเหรี่ยง ฉันพยายามที่จะให้แน่ใจว่าฉันจับคำถามจาก homeschoolers, เพราะผมรู้จากประสบการณ์คุณค่าของการมีใครสักคนที่จะพูดคุยกับ. น่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดเพื่อช่วยให้คุณจะผ่านไปหนึ่งโดยเฉพาะตัวอย่างที่คุณไม่เข้าใจ; มันยากที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการพิสูจน์abstractly เมื่อคุณได้ถามเกี่ยวกับการพิสูจน์โดยทั่วไปฉันจะแสดงให้คุณเห็นเป็นคำถามที่ผมได้สองสามสัปดาห์ที่ผ่านมาและวิธีการที่ผมตอบมัน. นี้อาจให้คุณเริ่มต้นที่การทำความเข้าใจหลักฐานอื่น ๆ หรือคุณอาจมีความต้องการที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นว่านี้จะช่วยให้คุณแสดง กรุณาเขียนกลับมาพร้อมกับคำถามเพิ่มเติมใด ๆ ที่คุณมี. นอกจากนี้คุณควรมองผ่านคำถามที่พบบ่อยของเราในบทพิสูจน์ที่พูดเกี่ยวกับวิธีการที่จะทำหลักฐาน: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.proof.html คำถาม: ในชั้นเรียนเรขาคณิตของฉันที่เรากำลังทำหลักฐานและผมก็ไม่ได้รับพวกเขา. ฉันได้พยายามและพยายามและผมก็ไม่สามารถคิดออก ฉันมีครั้งแรกขั้นตอนซึ่งเป็นที่ได้รับและผมไม่ทราบว่าจะไปจากที่นั่น. คุณสามารถโปรดช่วยฉันด้วยปัญหาได้หรือไม่ได้รับ: สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมขวา 3. พิสูจน์: มุม และมุม B เป็นมุมที่สมบูรณ์. คำชี้แจงเหตุผล1) สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิ 1) ได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา3. ขอขอบคุณคุณเวโรนิกา===================== ===== พิสูจน์อาจจะเป็นสิ่งที่สวยใหม่ให้คุณและมันจะใช้เวลาที่จะได้รับความรู้สึกสำหรับสิ่งที่ทำให้หลักฐานที่ดีพอและวิธีการที่คุณสามารถหาวิธีที่จะพิสูจน์ให้เห็นบางสิ่งบางอย่าง มันเป็นจริงมากขึ้นเช่นการเขียนเรียงความกว่าเช่นคณิตศาสตร์ที่คุณได้ทำก่อนตอนนี้ - ความคิดสร้างสรรค์มากขึ้นและน้อยกล ที่ทำให้มันยากขึ้น แต่ยังมีการให้รางวัลและแม้กระทั่งความสนุกสนาน. สิ่งหนึ่งที่สำคัญคือไม่ได้ที่จะนั่งจ้องมองที่ว่างเปล่าแผนภูมิสองคอลัมน์ เป้าหมายของเราคือการทำให้หลักฐานไม่ได้ที่จะเติมเต็มในสองคอลัมน์; ถ้าเราคิดเกี่ยวกับคอลัมน์ที่เร็วเกินไปที่จะสามารถทำให้เรา. เป้าหมายผมชอบที่จะคิดว่าหลักฐานเป็นสะพานหรืออาจจะเส้นทางผ่านที่ป่า: คุณต้องเริ่มต้นด้วยข้อเท็จจริงบางอย่างที่คุณจะได้รับและหาวิธียังปลายทางของคุณ คุณจะต้องเริ่มต้นด้วยการมองเหนือดินแดนที่ได้รับความรู้สึกสำหรับที่ที่คุณอยู่และสถานที่ที่คุณต้องไป - สิ่งที่คุณมีทิศทางที่จะมุ่งหน้าสิ่งที่สถานที่สำคัญที่คุณอาจพบในทางวิธีการที่คุณจะรู้ว่าเมื่อคุณอยู่ได้รับใกล้เคียง. ในกรณีนี้สิ่งที่เราเริ่มต้นด้วยการเป็นรูปสามเหลี่ยมขวา ฉันสงสัยว่าคุณจะได้รับภาพที่แสดงให้เห็นว่ามุม 3 เป็นที่จุดสุดยอดซีเพราะที่จริงควรจะระบุว่าเป็นหนึ่งใน"Givens." ลองวาดภาพที่เราเห็นสิ่งที่เรามี: + / | / | / | / 3 | + ---- + BC คุณมีโครงสร้างที่สร้างขึ้นบนฝั่งหนึ่งของ "แม่น้ำ" เราต้องการที่จะข้าม: เหตุผลคำชี้แจง- -------- ------ สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิที่ได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา3 นอกจากนี้เรายังทราบว่าเราต้องการที่จะจบลง: มุม A และมุม B คืออะไรมุมเสริมลองมองไปรอบๆ เล็กน้อย อะไร "เสริม" หมายความว่าอย่างไร เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า A + B = 90 องศา ที่บอกเราเราต้องการที่จะทำงานร่วมกับมุมของรูปสามเหลี่ยมนี้ สิ่งใดที่เรารู้เกี่ยวกับมุมของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่คุณอาจจะมีหลายทฤษฎีที่จะต้องพิจารณา; หนึ่งที่ควรมาถึงใจได้อย่างรวดเร็วก็คือผลรวมของมุมคือ 180 องศา. สิ่งที่ฉันได้รับการทำที่นี่กำลังมองหาที่เครื่องมือและวัสดุที่ฉันมีที่จะสร้างสะพานหรือเส้นทางของเรา เพื่อให้ห่างไกลฉันรู้ว่าฉันเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมหนึ่งที่มีมุมที่เป็นที่รู้จักกัน; ฉันต้องการที่จะได้รับสมการที่เกี่ยวข้องกับอีกสองมุม; และฉันมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับทุกมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ที่เสียงมีแนวโน้ม! ลองออกวางสิ่งที่เรามีเป็นจุดเริ่มต้นของการพิสูจน์ที่: คำชี้แจงเหตุผล--------- ------ สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิที่ได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา3... A + B + C = 180 ผลรวมของทฤษฎีบทมุม... มุม A และมุม B คืออะไรมุมเสริมตอนนี้สิ่งที่เราจะต้องกรอกในช่องว่าง? ดีขอเขียนอื่น ๆงบในทางที่มีลักษณะเหมือนทฤษฎีบทที่เราหวังว่าเราสามารถใช้: คำชี้แจงเหตุผล--------- ------ สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิที่ได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา3 C = 90 ความหมายของมุมขวา... A + B + C = 180 ผลรวมของทฤษฎีบทมุม... A + B = 90 มุม A และ B มีมุมความหมายของการเสริมมุมเสริมคุณเห็นวิธีการที่เรากำลังทำงานทั้งสองไปข้างหน้าและข้างหลัง? นั่นคือสิ่งที่คล้ายคลึงกันสร้างสะพานของฉันมาใน: คุณสามารถทำงานได้ทั้งสองด้านของ. สะพานและให้พวกเขาได้พบกับที่อยู่ตรงกลางเอาล่ะวิธีที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่า A + B = 90? ตั้งแต่ C 90 เราก็สามารถทำพีชคณิตบางลบสมซี= 90 จาก A + B + C = 180 คุณได้ทำแบบเดียวกับสิ่งที่ในพีชคณิตโดยไม่ต้องเขียนเป็นหลักฐานสองคอลัมน์; ที่นี่เราจะต้องมีความสามารถที่จะพูดสั้น ๆ ว่าทำไมงานนี้และคุณอาจได้รับรายชื่อของข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตที่คุณสามารถใช้เป็นเหตุผล ฉันเพิ่งจะเรียกว่า "การลบเท่ากับจากเท่าเทียมกัน." ตอนนี้สิ่งที่เหลือคือการที่จะนำมันเข้าด้วยกันเป็นหลักฐานเชื่อมโยงกัน นั่นหมายความว่าเราจะต้องคิดออกว่าจะระบุแต่ละขั้นตอนอย่างชัดเจน แต่ละขั้นตอนมีการปฏิบัติตามขั้นตอนจากที่ได้รับการเขียน; และในแต่ละขั้นตอนจะต้องมีขนาดเล็กพอที่จะทำให้เราสามารถให้เหตุผลใด ๆ โดยไม่ต้องใหญ่กระโดดที่จะยากที่จะอธิบาย ลอง: คำชี้แจงเหตุผล--------- ------ สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิที่ได้รับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวา3 C = 90 ความหมายของมุมขวาA + B + C = 180 ผลรวมของทฤษฎีบทมุม+ B = 90 การลบเท่ากับจากเท่ากับมุมA และมุม B เป็นความหมายของการเสริมมุมเสริมนี้สามารถใช้การเขียนใหม่บางอย่างที่จะทำให้มันชัดเจนอาจและคุณควรใช้สัญลักษณ์ที่ถูกต้องสำหรับ"มาตรการของมุมซี" ค่อนข้างมากกว่าเพียงแค่บอกว่า"C"; แต่มันไม่ทำงาน (คุณสามารถออกจากการทำความสะอาดขึ้นถึงบรรณาธิการของคุณเมื่อคุณเผยแพร่ทฤษฎีบทใหม่ของคุณ - ที่ทำงานของพวกเขา!) จำนวนมากของนักเรียนต้องกังวลว่าพวกเขาได้ระบุเหตุผลของพวกเขาดีพอและมักจะมากที่สุดของความกังวลที่มีเกี่ยวกับจิ๊บจ๊อยมากที่สุดขั้นตอน- ข้อเท็จจริงที่เราอาจจะไม่ได้สามารถที่จะให้ชื่อเพราะพวกเขากำลังเห็นได้ชัด นั่นเป็นเหตุผลที่ตำรามักจะใช้จ่ายเป็นจำนวนมากเวลาให้ชื่อเป็นพิเศษกับข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดเช่น"ที่สอดคล้องกันส่วนสอดคล้องสามเหลี่ยมมีความเท่าเทียมกัน" - ไม่ได้เพราะพวกเขากำลังสำคัญจริงๆ แต่เนื่องจากรูปแบบสองคอลัมน์คุณจะต้องพูดอะไรบางอย่างและพวกเขาไม่ต้องการให้คุณทนทุกข์ทรมานมากกว่าถ้อยคำ นักคณิตศาสตร์จริงไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดดังกล่าวตราบใดที่พวกเขารู้ว่าแต่ละขั้นตอนเป็นความจริง สิ่งที่สำคัญสำหรับคุณคือการที่คุณพบเส้นทาง นั่นคือสิ่งที่จะเฉลิมฉลอง - ไม่พวกเขามีปาร์ตี้เล็ก ๆ น้อย ๆ เมื่อพวกเขาเสร็จสิ้นสะพานและเล็บต้นไม้ไปด้านบนหรืออะไร? บางทีคุณอาจจะสามารถวาดเล็ก ๆ น้อย ๆต้นไม้บนหลักฐานของคุณและใช้เวลาพักก่อนที่จะทำสำเนาสุดท้าย. มันต้องใช้เวลาขณะที่จะได้รับนี้ทำ แต่มันคุ้มค่าที่จะมีการสำรวจป่าเช่นนี้(หรือจะเป็นแม่น้ำ?) และหา ที่เรารู้ว่าวิธีการของเราไปรอบๆ ได้ดีพอที่จะสร้างเส้นทางที่มีไม่ได้เป็นหนึ่งก่อนที่จะเพียงแค่เป็นมันคุ้มค่าที่จะได้เขียนกระดาษที่อธิบายความคิดของเราไม่ได้รู้ว่าเรามีหรือข้อเท็จจริงที่เรามีให้กับการวิจัย หรือที่จะอธิบายให้คนวิธีการทำสิ่งที่พวกเขาไม่ได้รู้วิธีการทำ ฉันหวังว่าฉันได้ทำที่มิ อย่าลังเลที่จะเขียนกลับเพื่อขอความช่วยเหลือมากขึ้นเพราะเป็นความคิดใหม่ที่บิ๊กจะใช้เวลารับใช้. - แพทย์ปีเตอร์สันฟอรั่มคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อาคารรูปทรงเรขาคณิตพิสูจน์


Date : 06 / 03 / 99 ที่ 14:54:28

เรื่อง : เรขาคณิต จาก : กะเหรี่ยงหลักฐาน

ผมที่บ้าน ผมใช้หนังสือเรขาคณิต abeka . พวกเขามีหลาย
คำอธิบายทั้งหมดของหลักฐาน ( สองคอลัมน์ ) แต่ผมยังไม่มี
เข้าใจว่าปรู๊ฟงาน ไม่มีอะไรที่ใครๆก็บอกว่าจะช่วยฉันเลย
.

วันที่ : 06 / 03 / 99 ที่ 16:39:26
จาก : หมอปีเตอร์สัน
Subject : Re : เรขาคณิตพิสูจน์

สวัสดีคาเรน ฉันพยายามที่จะให้แน่ใจว่าฉันจับคำถามจาก HOMESCHOOLERS
, เพราะฉันรู้จากประสบการณ์ค่ามีคนคุย

น่าจะเป็นวิธีที่ดีที่สุดเพื่อช่วยให้คุณ จะต้อง ไปผ่าน ตัวอย่างหนึ่งที่เฉพาะเจาะจง
ที่คุณไม่เข้าใจ มันก็ยากที่จะพูดเรื่องหลักฐาน
abstractly . ตั้งแต่คุณถามเกี่ยวกับหลักฐานทั่วไป ฉันจะ
ให้คุณถามฉันมีคู่ของสัปดาห์ที่ผ่านมาและผมตอบมัน
นี่อาจจะช่วยให้คุณเริ่มต้นที่ความเข้าใจ หลักฐานอื่น ๆ ; หรือคุณอาจ
มีความต้องการมากขึ้น นี้จะช่วยให้คุณแสดง กรุณาเขียน
กลับมาใด ๆเพิ่มเติม คำถามที่คุณมี

นอกจากนี้คุณควรดูผ่าน FAQ ของเราในการพิสูจน์ ซึ่งพูดคุยเกี่ยวกับวิธีการทำหลักฐาน :




http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.proof.htmlคำถาม :

เรียนเรขาคณิตเราทำปรู๊ฟและฉันไม่ได้รับมัน
ฉันได้พยายามและพยายามและฉันไม่สามารถคิดออก ผมมีขั้นตอนแรก
ซึ่งเป็นประทาน และไม่รู้ว่าจะไปจากที่นั่น .
คุณสามารถกรุณาช่วยฉันด้วยเหรอ ?

ให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมขวา 3 .
พิสูจน์ : มุมและมุม B เป็นมุมประกอบมุมฉาก


ชี้แจงเหตุผล1 ) สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมขวา 1 ) มุมขวาให้
3

ขอบคุณครับ

========================== เวโรนิก้า

หลักฐานอาจจะบางอย่างที่ค่อนข้างใหม่สำหรับคุณและจะใช้เวลา
ที่จะได้รับความรู้สึกสำหรับสิ่งที่ทำให้หลักฐานที่ดีพอ และคุณสามารถค้นหา
วิธีพิสูจน์ บางอย่าง มันมากกว่าชอบเขียนเรียงความ
ชอบคณิตศาสตร์มากกว่าที่คุณเคยทำมาก่อนแล้ว ความคิดสร้างสรรค์มากขึ้นและน้อย
กล ที่ทำให้มันยากขึ้น แต่ยังมากกว่า คุ้มค่า และแม้
สนุก

สิ่งหนึ่งที่สำคัญคือ ไม่ต้องนั่งจ้องที่ว่างเปล่า
สองคอลัมน์ในแผนภูมิ เป้าหมายของเราคือเพื่อให้หลักฐานที่จะกรอกข้อมูลลงในคอลัมน์ 2
; ถ้าเราคิดเกี่ยวกับคอลัมน์เร็วเกินไป มันสามารถทำให้เราจากเป้าหมาย


ผมชอบคิดว่าหลักฐานเป็นสะพาน หรืออาจเป็นเส้นทางผ่านป่า
:คุณต้องเริ่มต้นด้วยข้อเท็จจริงบางอย่างที่คุณจะได้รับและหา
วิธีไปยังปลายทางของคุณ คุณต้องเริ่มต้นโดยการดู
ดินแดนได้รับความรู้สึกที่คุณเป็นและที่ที่คุณต้องไป -
สิ่งที่ทิศทางที่คุณมีหัว มีแหล่งท่องเที่ยว ที่คุณอาจพบใน
วิธี แล้วคุณจะรู้ว่า คุณกำลังจะปิด

ในกรณีนี้ สิ่งที่เราเริ่มต้นด้วย เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ฉันสงสัยว่า คุณ
ได้รับภาพที่แสดงมุมที่ 3 คือที่จุดยอด C เพราะ
ที่จริงควรจะกล่าวว่าเป็นหนึ่งใน " กิฟเว่น " ลองวาด
ภาพเพื่อดูว่าเราได้ :



/

/ / | | |
/ 3 |
----
b c

คุณมีโครงสร้างที่สร้างขึ้นบนชายฝั่งของ " แม่น้ำ " ที่เราต้องการ

งบข้าม : เหตุผล
------
--------- สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาด้านขวาให้
3

นอกจากนี้เรายังรู้ว่าเราอยากเป็น :

มุม A และมุม B ? เสริมมุม


ลองดูหน่อย แล้ว " เสริม " หมายถึงอะไร เราต้องการ
แสดงว่า B = 90 องศา ที่บอกเราว่าเราอยากทำงานกับ
มุมของสามเหลี่ยมนี้ เรารู้อะไรเกี่ยวกับมุมของรูปสามเหลี่ยม ?
คุณอาจมีหลายทฤษฎีบทพิจารณาหนึ่งที่ควรจะมา

;จิตใจได้อย่างรวดเร็ว คือ ผลรวมของมุม 180 องศา

ฉันทำอะไรที่นี่มองหาเครื่องมือและวัสดุที่ผมมี
สร้างสะพานของเราหรือเส้นทาง ดังนั้นไกลฉันว่าฉันเริ่มต้นกับสามเหลี่ยมที่มีมุม
หนึ่งเป็นที่รู้จักกัน ; ฉันต้องการที่จะได้รับสมการที่เกี่ยวข้องกับ
อีกสองมุม และฉันมีทฤษฎีเกี่ยวกับทุกมุมของ
สามเหลี่ยม เสียงสัญญา

ลองวางสิ่งที่เราได้เป็นจุดเริ่มต้นของการพิสูจน์ :


------
--------- ชี้แจงเหตุผลสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาด้านขวาให้
3
.
.
.
a b c = 180 ผลบวกของมุมของ
.
.
.
มุม A และมุม B ?
เสริมมุม

ตอนนี้อะไรที่เราต้องกรอกในช่องว่าง ? งั้นเขียนใหม่
อื่น ๆงบในทางที่ดูเหมือนจะเป็นบทพิสูจน์ที่เราหวังว่า เราสามารถใช้ :



------
--------- ชี้แจงเหตุผลสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาด้านขวาให้
3
c = 90 ความหมายของมุมขวา
.
.
.
a b c = 180 ผลบวกของมุมของ

.
.
B = 90
มุม A และมุม B เป็นคำนิยามของคู่

มุมประกอบคุณเห็นวิธีการที่เราทำงาน ทั้งเดินหน้าและถอยหลัง ที่
ของฉันอาคารสะพานคล้ายคลึงมาถึงคุณสามารถทำงานบนปลายทั้งสองด้านของสะพาน และให้พวกเขาได้พบกัน
ตรงกลาง

โอเค , วิธีการที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่า B = 90 ตั้งแต่ซี 90 , เราสามารถทำ
บางพีชคณิต , ลบสมการ C = 90 จาก A B C = 180
คุณเคยทำแบบเดียวกับคุณนั่นแหละ โดยไม่ต้องเขียน
ในพีชคณิตมันเป็นหลักฐานที่เป็นสองคอลัมน์ ที่นี่เราต้องสามารถพูดสั้น ๆว่าทำไม
งานนี้และคุณจะได้รับรายการของข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับ
พีชคณิตที่คุณสามารถใช้เป็นข้อ ผมจะเรียกมันว่า " ลบ
เท่ากับจากเท่ากับ "

ตอนนี้เหลือใส่กันเป็นขบวนการพิสูจน์ ที่
หมายความว่าเราต้องคิดออกวิธีการของรัฐในแต่ละขั้นตอนอย่างชัดเจน แต่ละขั้นตอน