1. IntroductionMore than 170 years

1. Introduction
More than 170 years ago, Verhulst [2] and [3] used the logistic function for economic demographic purposes. Gumbel [4] found that the logistic distribution arises in a purely statistical manner as the limiting distribution (as n → ∞) of the standardized midrange (average of largest and smallest values) of random samples of size n from a symmetric distribution of exponential type. Gumbel and Keeney [5] showed that a logistic distribution is obtained as the limiting distribution of an appropriate multiple of the ‘extremal quotient’, that is, (largest value)/(smallest value). Talacko [6] proved that the logistic distribution is the limiting distribution (as r → ∞) of the standardized variable corresponding to View the MathML source, where Xj’s are independent random variables each having a type I extreme value distribution. A number of authors discussed important applications of the logistic distribution in many fields including survival analysis, growth model and public health. Several different forms of generalizations of the logistic distribution have been proposed in the literature, and studied in Balakrishnan and Leung [7], Balakrishnan [8], and Johnson et al. [9], i.e. types I, II, III and IV. The type I generalized logistic distribution has the following density function (pdf)

equation(1)
View the MathML source
Turn MathJax on

If X has type I generalized logistic distribution in (1), then-X has a type II generalized logistic distribution. The type III generalized logistic distribution has the pdf View the MathML source,
Last but not least, the type IV beta generalized logistic distribution, or BGL (α, β, λ), as introduced by Prentice [10] and Kalbfleisch and Prentice [11], is given by the pdf

equation(2)
View the MathML source
Turn MathJax on

where View the MathML source is the complete beta function and λ is the scale parameter.
The BGL (α,β,λ) defined in (2) is also called the log-F distribution. This is just the family of logistic distributions generated from the beta distribution, proposed by Jones [12], where the class of “beta-generated distributions” has the pdf given by

equation(3)
View the MathML source
Turn MathJax on

and
equation(4)
View the MathML source
Turn MathJax on

where F(x) is the cumulative distribution function (Cdf) of the standard logistic distribution.
It is well known, in general, that a generalized model is more flexible than the ordinary model and it is preferred by many data analysts in analyzing statistical data.Here, we will be concerned mostly with the beta generalized logistic distribution type IV, i.e. BGL (α, β, λ). Let us introduce the Cdf of the BGL (α, β, λ) distribution, as proposed by Jones [12], given by

equation(5)
View the MathML source
Turn MathJax on

where View the MathML source is the incomplete beta function ratio and the incomplete beta function is View the MathML source, while the pdf is given by Eq. (2).
We can express the Cdf in Eq. (5) in terms of the hypergeometric function, as given by Gradshteyn and Ryzhik [13], as follows

equation(6)
View the MathML source
Turn MathJax on

The BGL (α, β, λ) distribution generalizes the various forms of the logistic distribution. For α = β = 1, we obtain the standard logistic distribution. The generalized logistic (i.e. BGL (α, 1, λ)) distribution type I is a special case for the choice of β = 1. As for the case β = α, we have the generalized logistic distribution type III. Fig. 1 gives plots of the pdf (2) for different values of (α, β, λ).
Plots of pdf (2) for various values of parameters.
Figure 1.
Plots of pdf (2) for various values of parameters.
Figure options
The hazard function of the BGL (α, β, λ) distribution is

equation(7)
View the MathML source
Turn MathJax on

Section 2 introduces some properties of the BGL (α, β, λ) as studied in the literature as well as a complete discussion in deducing an explicit form for the median and hence the mean deviation followed by the deduction of Renyi and Shannon entropies. Section 3 provides different methods of inference of the parameters in (2). Some characteristic properties of BGL (α, 1, λ) distribution are introduced in Section 4. In Section 5, an analog family of BGL distribution, defined by Zografos and Balakrishnan [1], is presented. We conclude, in Section 6, some remarks on discriminating between the two families of generalized logistic distributions, and an application to real data.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำกว่า 170 ปีที่ผ่านมา Verhulst [2] และ [3] ใช้ฟังก์ชันโลจิสติกเพื่อประชากรเศรษฐกิจ Gumbel [4] พบว่า การกระจายสินค้าโลจิสติกส์ที่เกิดขึ้นในลักษณะทางสถิติแท้เป็นการแจกจ่ายจำกัด (เป็น n →∞) ของเสียงกลางมาตรฐาน (ค่าเฉลี่ยของค่าที่เล็กที่สุด และใหญ่ที่สุด) ของการสุ่มตัวอย่างขนาด n จากการกระจายสมมาตรชนิดเนน Gumbel และ Keeney [5] แสดงให้เห็นว่า การกระจายขนส่งได้รับการกระจายข้อจำกัดของมีหลายที่ที่เหมาะสมของ 'หาร extremal' คือ, (ค่ามากสุด) / (ค่าที่เล็กที่สุด) Talacko [6] ได้รับการพิสูจน์ว่า การกระจายสินค้าโลจิสติกส์คือ การจัดจำหน่ายจำกัด (เป็น r →∞) ของตัวแปรมาตรฐานที่สอดคล้องกับมุมมองแหล่ง MathML ตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระของ Xj มีแต่ละชนิดผมมากค่าการแจกจ่าย จำนวนของผู้เขียนกล่าวถึงโปรแกรมประยุกต์ที่สำคัญของการกระจายสินค้าโลจิสติกส์ในหลายสาขารวมทั้งวิเคราะห์ความอยู่รอด แบบจำลองการเจริญเติบโต และสุขภาพของประชาชน หลายรูปแบบแตกต่างกันของเดิม ๆ ของการกระจายสินค้าโลจิสติกส์ได้เสนอในวรรณคดี และศึกษาคอร์นิเหลียง [7], คอร์นิ [8], และจอห์นสัน et al. [9], เช่นชนิด I, II, III และ IV ชนิดที่ผมทั่วไปกระจายสินค้าโลจิสติกส์มีฟังก์ชันความหนาแน่นต่อไปนี้ (pdf)equation(1)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxถ้า X มีชนิดผมทั่วไปการกระจายสินค้าโลจิสติกส์ใน (1), X นั้นมีชนิดทั่วไปที่สองโลจิสติกส์กระจาย ประเภท III generalized โลจิสติกส์การกระจายมี pdf ดูแหล่ง MathMLอย่าง ชนิด IV เบต้าทั่วไปกระจายสินค้าโลจิสติกส์ หรือ BGL (α β λ), เป็น Prentice [10] และ Kalbfleisch และ Prentice [11], ถูกกำหนด โดยรูปแบบไฟล์ pdfequation(2)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxที่ดูต้นทาง MathML เป็นฟังก์ชันบีตาสมบูรณ์และλเป็นพารามิเตอร์ขนาดการ BGL (α β λ) กำหนดไว้ใน (2) จะเรียกว่าการแจกแจงล็อก F นี้เป็นเพียงครอบครัวของโลจิสติกส์การกระจายจากกระจายเบต้า เสนอ โดยโจนส์ [12], ที่ระดับของ "การกระจายสร้างเบต้า" มี pdf โดยequation(3)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxและequation(4)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxที่ f (x)เป็นฟังก์ชัน (Cdf) ของการกระจายขนส่งมาตรฐานเป็นที่รู้จัก ทั่วไป ว่า แบบจำลองทั่วไปเป็นความยืดหยุ่นมากขึ้นกว่ารุ่นปกติ และมันจะได้รับข้อมูลที่นักวิเคราะห์หลายคนในการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ ที่นี่ เราจะเกี่ยวข้องส่วนใหญ่กับเบต้าทั่วไปกระจายสินค้าโลจิสติกชนิด IV เช่น BGL (α β λ) เราขอแนะนำ Cdf ของ BGL (α β λ) กระจาย ตามโจนส์ [12], โดยequation(5)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxมาดูแหล่ง MathML เป็นอัตราส่วนฟังก์ชั่นเบต้าไม่สมบูรณ์และฟังก์ชันบีตาไม่สมบูรณ์ ได้ดูแหล่ง MathML ในขณะที่ไฟล์ pdf ถูกกำหนด โดย Eq. (2)เราสามารถแสดง Cdf ใน Eq. (5) ในแง่ของฟังก์ชัน hypergeometric ที่กำหนดโดย Gradshteyn และ Ryzhik [13], เป็นดังนี้equation(6)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxการกระจายของ BGL (α β λ) generalizes แบบต่าง ๆ ของการกระจายสินค้าโลจิสติกส์ Α =β = 1 เราได้รับการกระจายขนส่งมาตรฐาน การทั่วไปโลจิสติก (เช่น BGL (α 1 λ)) ชนิดแจกจ่ายเป็นกรณีพิเศษสำหรับตัวเลือกของβ = 1 =Α βกรณีเรามีการกระจายสินค้าโลจิสติกส์ทั่วไปชนิด III รูปที่ 1 ให้การ pdf (2) ค่าที่แตกต่าง (α β λ)แปลงของ pdf (2) สำหรับค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์รูปที่ 1 แปลงของ pdf (2) สำหรับค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์ตัวเลือกรูปฟังก์ชั่นอันตรายของการกระจาย BGL (α β λ)equation(7)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxส่วนที่ 2 แนะนำคุณสมบัติบางอย่างของ BGL (α β λ) ศึกษาวรรณกรรมรวมทั้งการสนทนาที่สมบูรณ์ในรูปแบบที่ชัดเจนสำหรับมัธยฐาน deducing และดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยตาม ด้วยการหักเงินของ Renyi และแชนนอน entropies ส่วนที่ 3 แสดงวิธีการอนุมานของพารามิเตอร์ใน (2) บางคุณสมบัติลักษณะของ BGL (α 1 λ) แจกจ่ายจะนำมาใช้ในส่วนที่ 4 ครอบครัวเป็นอนาล็อกของ BGL แจก กำหนด โดย Zografos และคอร์นิ [1], จะนำเสนอในส่วนที่ 5 เราสรุป ในข้อ 6 บางเหตุบนเหยียดพวกผิวระหว่างสองครอบครัวของการกระจายขนส่งทั่วไป และโปรแกรมประยุกต์เพื่อข้อมูลจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
กว่า 170 ปีที่ผ่านมา Verhulst [2] และ [3] ใช้ฟังก์ชั่นโลจิสติกเพื่อวัตถุประสงค์ทางประชากรเศรษฐกิจ กัมเบล [4] พบว่าการกระจายโลจิสติกเกิดขึ้นในลักษณะที่สถิติอย่างหมดจดเป็นการกระจายการ จำกัด (ในฐานะ n →∞) ของระดับกลางที่ได้มาตรฐาน (ค่าเฉลี่ยของค่าที่ใหญ่ที่สุดและมีขนาดเล็กที่สุด) ของกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่มของขนาด N จากการกระจายสมมาตรประเภทแทน . กัมเบลและ Keeney [5] แสดงให้เห็นว่าการกระจายโลจิสติกจะได้รับในขณะที่การจัดจำหน่าย จำกัด ของหลายที่เหมาะสมของ 'extremal เชาวน์' ว่ามี (มูลค่าที่ใหญ่ที่สุด) / (ค่าที่น้อยที่สุด) Talacko [6] พิสูจน์ให้เห็นว่าการกระจายโลจิสติกคือการกระจายการ จำกัด (ในฐานะ R →∞) ของตัวแปรมาตรฐานที่สอดคล้องกันเพื่อดูแหล่งที่มา MathML ที่ Xj เป็นตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละคนมีประเภทผมกระจายคุ้มค่ามาก จำนวนของผู้เขียนกล่าวถึงการใช้งานที่สำคัญของการกระจายโลจิสติกในหลายสาขารวมถึงการวิเคราะห์การอยู่รอดรูปแบบการเจริญเติบโตและสุขภาพของประชาชน รูปแบบที่แตกต่างกันของภาพรวมของการกระจายโลจิสติกได้รับการเสนอในวรรณคดีและการศึกษาในบาลาคและเหลียง [7], บาลาค [8] และจอห์นสัน, et al [9] ประเภทเช่น I, II, III และ IV ประเภททั่วไปผมกระจายโลจิสติกที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นต่อไปนี้ (PDF)

สมการ (1)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

ถ้า x มีประเภททั่วไปผมกระจายโลจิสติก (1) แล้ว-X มีชนิด II ทั่วไปกระจายโลจิสติก ประเภทที่สามกระจายโลจิสติกทั่วไปมีรูปแบบไฟล์ PDF ดูแหล่งที่มา MathML,
สุดท้าย แต่ไม่น้อย, เบต้าชนิด IV ทั่วไปกระจายโลจิสติกหรือ BGL (α, β, λ) เป็นที่รู้จักโดยศิษย์ [10] และ Kalbfleisch และศิษย์ [11 ] จะได้รับจากไฟล์ PDF

สมการ (2)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

ที่ดูแหล่งที่มา MathML เป็นฟังก์ชั่นเบต้าสมบูรณ์และλเป็นพารามิเตอร์ขนาด.
BGL (α, β, λ) ที่กำหนดไว้ใน (2) คือ หรือที่เรียกว่าการกระจายเข้าสู่ระบบแบบ F นี่เป็นเพียงครอบครัวของดิจิสติกส์ที่เกิดจากการกระจายเบต้าเสนอโดยโจนส์ [12] ซึ่งระดับของ "การกระจายเบต้าสร้าง" มีรูปแบบไฟล์ PDF ที่กำหนดโดย

สมการ (3)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

และ
สมการ ( 4)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax ใน

ที่ f (x) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของการกระจายโลจิสติกมาตรฐาน.
มันเป็นที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าเป็นรูปแบบทั่วไปที่มีความยืดหยุ่นมากขึ้นกว่ารุ่นธรรมดาและมันก็เป็น ที่แนะนำโดยนักวิเคราะห์ข้อมูลจำนวนมากในการวิเคราะห์ทางสถิติ data.Here เราจะมีความกังวลส่วนใหญ่กับเบต้าทั่วไปกระจายโลจิสติกประเภทที่สี่คือ BGL (α, β, λ) ขอให้เราแนะนำ CDF ของ BGL (α, β, λ) กระจายตามที่เสนอโดยโจนส์ [12], กำหนดโดย

สมการ (5)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

ที่ดูแหล่งที่มา MathML เป็นอัตราส่วนฟังก์ชั่นเบต้าไม่สมบูรณ์และ ฟังก์ชั่นเบต้าไม่สมบูรณ์คือมุมมองที่มา MathML ในขณะที่รูปแบบไฟล์ PDF จะได้รับจากสมการ (2).
เราสามารถแสดงความ CDF ในสมการ (5) ในแง่ของฟังก์ชั่น hypergeometric, ตามที่กำหนดโดย Gradshteyn และ Ryzhik [13] ดังนี้

สมการ (6)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

BGL (α, β, λ) การกระจาย generalizes รูปแบบต่างๆของโลจิสติก การกระจาย สำหรับαβ = = 1 เราได้รับการกระจายโลจิสติกมาตรฐาน โลจิสติกทั่วไป (เช่น BGL (α, 1, λ)) ประเภทการกระจายฉันเป็นกรณีพิเศษสำหรับทางเลือกของβ = 1. สำหรับกรณีที่β = αเรามีการกระจายทั่วไปประเภทโลจิสติก III มะเดื่อ. 1 ให้แปลงไฟล์ PDF (2) สำหรับค่าที่แตกต่างกัน (α, β, λ).
แปลง PDF (2) สำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์.
รูปที่ 1
แปลงรูปแบบไฟล์ PDF (2) สำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์.
ตัวเลือกรูป
ฟังก์ชั่นอันตรายของ BGL (α, β, λ) การกระจายตัวเป็น

สมการ (7)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax ใน

หมวดที่ 2 การแนะนำคุณสมบัติของ BGL บางคน (α, β, λ) ในขณะที่การศึกษาในวรรณคดีเช่นเดียวกับ การอภิปรายครบถ้วน deducing รูปแบบที่ชัดเจนสำหรับค่ามัธยฐานและด้วยเหตุนี้ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยตามด้วยการหัก Renyi และแชนนอน entropies มาตรา 3 ให้มีวิธีการที่แตกต่างกันของการอนุมานของพารามิเตอร์ใน (2) บางคุณสมบัติลักษณะของ BGL (α, 1, λ) การกระจายตัวได้ถูกนำเสนอในมาตรา 4 ในมาตรา 5 ครอบครัวอนาล็อกของการกระจาย BGL กำหนดโดย Zografos และบาลาค [1] จะนำเสนอ เราสรุปในมาตรา 6 ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับการแบ่งแยกระหว่างสองครอบครัวทั่วไปแจกแจงโลจิสติกและการประยุกต์ใช้ข้อมูลจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำกว่า 170 ปี verhulst [ 2 ] และ [ 3 ] ใช้ฟังก์ชันโลจิสติกเพื่อวัตถุประสงค์ทางประชากรเศรษฐกิจ ความถี่ [ 4 ] พบว่า เกิดขึ้นในลักษณะการแจกแจงโลจิสติกหมดจดสถิติการกระจายจำกัด ( N ∞→ keyboard - key - name ) ของมาตรฐานระดับกลาง ( เฉลี่ยค่าของที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ) ของจำนวน n ขนาดจากการกระจายสมมาตรชนิดแบบเอกซ์โพเนนเชียล ความถี่และการตีนีย์ [ 5 ] พบว่าโลจิสติกกระจายได้รับเป็นการกระจายที่เหมาะสมหลายแห่ง ' extremal เชาวน์ ' , คือ , ( ที่ใหญ่ที่สุดค่า ) / ( ค่าเล็กที่สุด ) talacko [ 6 ] พิสูจน์ได้ว่ามีการกระจายโลจิสติกจำกัด ( R → keyboard - key - name ∞ ) ของมาตรฐานตัวแปรสอดคล้องกับมุมมอง MathML แหล่งที่ XJ ของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละมีประเภทมากค่าการกระจาย หมายเลขของผู้เขียนกล่าวถึงงานสําคัญของการแจกแจงโลจิสติกในสาขาต่างๆ รวมทั้งการวิเคราะห์การอยู่รอด , รูปแบบการเจริญเติบโตและสุขภาพของประชาชน . รูปแบบทั่วไปของการกระจายที่แตกต่างกันหลายของโลจิสติกได้รับการเสนอในวรรณกรรม และการศึกษา และเหลียง Balakrishnan [ 7 ] , Balakrishnan [ 8 ] และจอห์นสัน et al . [ 9 ] คือ ชนิด I , II , III กับ IV ประเภททั่วไปโลจิสติกกระจายมีความหนาแน่นของฟังก์ชันต่อไปนี้ ( PDF )สมการ ( 1 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนถ้า x มีชนิดกระจายทั่วไปโลจิสติกใน ( 1 ) then-x มีประเภทที่ 2 แบบการแจกแจงโลจิสติก ประเภทที่ 3 แบบมีการแจกแจงโลจิสติก PDF ดู MathML แหล่งสุดท้าย แต่ไม่น้อย ชนิดที่ 4 เบต้ากระจายทั่วไปโลจิสติกหรือ BGL ( αบีตาλ , , ) ที่นำโดย เพรนทิซ [ 10 ] และแคล์บไฟลช์ และเพรนทิส [ 11 ] , จะได้รับ โดยไฟล์สมการ ( 2 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนที่ดู MathML แหล่งสมบูรณ์เบต้าฟังก์ชัน และλเป็นค่าพารามิเตอร์และ BGL ( αบีตาλ , , ) ที่กำหนดไว้ใน ( 2 ) เรียกว่า การกระจาย log-f . นี่เป็นเพียงครอบครัวของการแจกแจงโลจิสติกที่สร้างขึ้นจากเบต้ากระจาย เสนอโดย โจนส์ [ 12 ] ที่ระดับ " สร้างการแจกแจงเบต้ามี PDF ได้รับโดยสมการ ( 3 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนและสมการ ( 1 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนโดยที่ f ( x ) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ( CDF ) ของการแจกแจงโลจิสติกมาตรฐานมันเป็นที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่ารูปแบบทั่วไปมีความยืดหยุ่นมากขึ้นกว่ารุ่นธรรมดา และมันเป็นที่ต้องการโดยนักวิเคราะห์ข้อมูลมากในการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ ที่นี่เราจะเกี่ยวข้องส่วนใหญ่กับเบต้า 4 ชนิดกระจายทั่วไปโลจิสติกเช่น BGL ( αบีตาλ , , ) เราขอแนะนำ CDF ของ BGL ( αบีตา , , การλ ) ที่เสนอโดย โจนส์ [ 12 ] , ได้รับโดยสมการ ( 5 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนที่ดู MathML แหล่งสมบูรณ์อัตราส่วนเบต้าฟังก์ชันและฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์ดู MathML แหล่ง ในขณะที่ไฟล์ PDF ให้อีคิว ( 2 )เราสามารถแสดง CDF ในอีคิว ( 5 ) ในแง่ของฟังก์ชัน hypergeometric ตามที่ระบุโดย gradshteyn และ ryzhik [ 13 ] ดังนี้สมการที่ ( 6 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนและ BGL ( αบีตา , , การλ ) เช่นนี้ได้ขยายรูปแบบต่างๆของการแจกแจงโลจิสติก สำหรับα = บีตา = 1 , เราได้รับการแจกแจงโลจิสติกมาตรฐาน โลจิสติกแบบทั่วไป ( เช่น BGL ( α , 1 , λ ) การกระจายประเภทเป็นกรณี พิเศษ สำหรับ ทางเลือกของบีตา = 1 สำหรับกรณีบีตา = αเรามีทั่วไปโลจิสติกกระจายประเภท 3 รูปที่ 1 ให้แปลงไฟล์ PDF ( 2 ) สำหรับค่าต่าง ๆ ( αบีตาλ , , )แปลงไฟล์ PDF ( 2 ) สำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์รูปที่ 1แปลงไฟล์ PDF ( 2 ) สำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์เลือกรูปอุปสรรคการทำงานของ BGL ( αบีตาλกระจาย , , ) คือสมการที่ ( 7 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนส่วนที่ 2 แนะนำคุณสมบัติบางอย่างของ BGL ( αบีตาλ , , ) จากการศึกษาในวรรณคดี รวมทั้งการสนทนาในการสมบูรณ์รูปแบบที่ชัดเจนสําหรับค่ามัธยฐานและด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ยตามด้วยหักและ Renyi แชนนอน entropies . มาตรา 3 ให้วิธีการที่แตกต่างกันของการอนุมานของพารามิเตอร์ ( 2 ) ลักษณะสมบัติของ BGL ( α , 1 , λ ) การกระจายจะแนะนำในส่วนที่ 4 ในส่วนที่ 5 , อนาล็อกครอบครัวของการกระจายและ BGL ที่กําหนดโดย zografos Balakrishnan [ 1 ] , นำเสนอ เราได้ข้อสรุปว่า ในมาตรา ๖ บางความเห็นที่จำแนกระหว่างสองครอบครัวของกราฟการแจกแจงโลจิสติกและการประยุกต์ใช้ข้อมูลที่แท้จริง