As we shall see, the distaneO1O2 is

As we shall see, the distan
e
O1O2 is 2
√
5. The points O1 and O2
are the in
entres of the
ongruent right
triangles ABD and BCD, whi
h are
in fa
t Pythagorean triangles with a

ommon hypotenuse BD of length 10.
Note that the quadrilateral BO1DO2
is, in fa
t, a parallelogram with the diagonals
O1O2 and BD interse
ting at
their
ommon midpoint. Now, pi
ture
the general
ase in whi
h the re
tangle
ABCD is formed by glueing together
two
ongruent Pythagorean triangles
ABD and BCD. It turns out that the
distan
e between the two in
entres is
always an irrational number (a quadrati
irrational). Also, of the four side
lengths O1D =BO2 and BO1 =DO2,
.
.............
................
.
.............
.................
. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ..........................
.................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
..........
..........
.
..........
..........
A
B C
D
O1
O2
ρ
ρ
6
8
s
s
Figure 1
two (equal) ones are always irrational. The other two (equal) ones
an be, in
fa
t, integers. We give pre
ise
onditions as to when this o

urs; otherwise,
they are also irrational.
In the general
ase, we will denote the in
entres by I1 and I2 instead of
O1 and O2. Also, for reasons of
onvenien
e, relabel the re
tangle ABCD
as BCAD, as in Figure 2 on the next page. In Figure 2, BI1AI2 is a parallelogram
and ρ stands for the inradii of the two
ongruent right triangles
BCA and ADB.
As usual we set BC = a, CA = b, AB = c, and we also introdu
e
y = BT2 = BT3, x = AT3 = AT1, and z = CT2 = CT1 = ρ; where T1, T2,
and T3 are the three points of tangen
y of the in
ir
le of triangle BCA with
the sides CA, CB, and BA, respe
tively

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราจะเห็น ที่ distanอีO1O2 คือ 2√5. จุด O1 และ O2มีความในentres ของการ ongruent ขวาสามเหลี่ยม BCD เพลย์สและชิวชิวมี hใน faสามเหลี่ยมพีทาโกรัส t กับการommon ตรง BD ยาว 10หมายเหตุที่ BO1DO2 สี่เหลี่ยมเป็น ใน fat คณิตศาสตร์กับทแยงO1O2 และ BD interseติ๊งที่ของพวกเขา ommon จุดกึ่งกลาง ตอนนี้ pitureทั่วไป ase ในนักh reไม่พันกันABCD จะเกิดขึ้นจาก glueing กันสอง สามเหลี่ยมพีทาโกรัส ongruentชิวชิวและ BCD ปรากฎว่าการdistanอีระหว่างทั้งสองในเป็น entresเสมอเป็นจำนวนอตรรกยะ (เป็น quadrati ไม่มีเหตุผล) ยัง ของด้านทั้งสี่ความยาว O1D = BO1 และ BO2 = DO2.............................................................. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ........................................................................................................................................................................................................................................................AB CDO1O2ΡΡ68ssรูปที่ 1สองคน (เท่า) มักไม่มีเหตุผล สอง (เท่ากับ) คนอื่น ๆ ความสามารถ ในfat จำนวนเต็ม เราให้ก่อนอิเสะ onditions ว่าเมื่อ o นี้urs มิฉะนั้นพวกเขาจะยังไม่มีเหตุผลในทั่วไป ase เราจะแสดงตัวในentres โดย I1 และ I2 แทนO1 และ O2 นอกจากนี้ สำหรับเหตุผลของการ onveniene สับใบเรียก reพัน ABCDเป็น BCAD เหมือนในรูปที่ 2 หน้าถัดไป ในรูปที่ 2, BI1AI2 คือ คณิตศาสตร์และρย่อมาจาก inradii ของทั้งสอง สามเหลี่ยมขวา ongruentBCA และ ADBตามปกติเราตั้ง BC = CA a, b, AB = = c และเรายัง introduอีy = BT2 BT3 = x = AT3 = AT1 และ z = CT2 = CT1 =ρ ที่ T1, T2และ T3 tangen จุดสามy ของการในirของสามเหลี่ยม BCA เลอด้วยด้าน CA, CB และ BA, respetively

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ดังที่เราจะเห็น distan
E
O1O2 คือ 2
√
5 จุด O1 และ O2
อยู่ใน
entres ของ
ongruent ขวา
สามเหลี่ยม ABD และ BCD, WHI
H อยู่
ในเอฟเอ
ทีพีทาโกรัสสามเหลี่ยมที่มี

ด้านตรงข้ามมุมฉาก ommon BD ของความยาว 10
หมายเหตุว่า BO1DO2 รูปสี่เหลี่ยม
คือในเอฟเอคั
T, สี่เหลี่ยมด้านขนานกับที่ เส้นทแยงมุม
O1O2 และ BD interse
Ting ที่
พวกเขา
จุดกึ่งกลาง ommon ตอนนี้พี่
ture
ทั่วไป
ASE ใน WHI
H อีก
ยุ่งเหยิง
ABCD จะเกิดขึ้นโดย glueing ด้วยกัน
สอง
รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส ongruent
ABD และ BCD แต่กลับกลายเป็นว่า
distan
E ระหว่างสองใน
entres เป็น
เสมอจำนวนอตรรกยะ (ก quadrati
ไม่มีเหตุผล) นอกจากนี้ด้านทั้งสี่
ยาว O1D = BO2 และ BO1 = DO2,
.
.............
................
.
.... .........
.................
. ....................... . .......................... ....................... ... .......................... ..................... ..... .......................... ................... .......
........................................... .................................................. .................................................. ..................................
.
.
.
.
..........
.. ........
.
..........
.......... B C D O1 O2 ρ ρ 6 8 s s รูปที่ 1 สอง (เท่ากับ) คนที่มักจะไม่มีเหตุผล . อีกสองคน (เท่ากับ) คนที่สามารถนำมาในเอฟเอคัT, จำนวนเต็ม เราจะให้ก่อนISE onditions ว่าเมื่อ o นี้Urs; มิฉะนั้นพวกเขาจะยังไม่ลงตัว. ในทั่วไปASE เราจะแสดงในentres โดย I1 และ I2 แทนO1 และ O2 นอกจากนี้สำหรับเหตุผลของonvenien E, สับอีกABCD ยุ่งเหยิงเป็น BCAD เช่นเดียวกับในรูปที่ 2 ในหน้าถัดไป ในรูปที่ 2 BI1AI2 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและρยืนสำหรับ inradii ของทั้งสองongruent สามเหลี่ยมขวาเก็บกวาดและ ADB. ตามปกติเราตั้ง BC = A, CA = B, AB = C และเรายัง introdu E Y = BT2 = 3 บาท , x = = AT3 AT1 และ Z = = CT2 CT1 = ρ; ที่ T1, T2, T3 และเป็นสามจุด Tangen Y ของในIR Le ของ BCA รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน CA, CB, และปริญญาตรีที่ respe ลำดับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราก็จะเห็น distanอีo1o2 2√5 . จุด 01 และโอทูเป็นในentres ของongruent ขวาและสามเหลี่ยม ABD BCD , whiH คือในเอฟเอสามเหลี่ยมพีทาโกรัส T กับommon ด้านตรงข้ามมุมฉาก BD ของความยาว 10โปรดทราบว่า bo1do2 รูปสี่เหลี่ยมคือ ฟ้าT , รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมo1o2 BD interse และติ่ง ที่ของพวกเขาommon จุดกึ่งกลาง ตอนนี้พีtureโดยทั่วไปase ใน WHIH อีกครั้งยุ่งเหยิงABCD เป็นรูปแบบโดย glueing ด้วยกันสองongruent พีทาโกรัสสามเหลี่ยมอับดุล และ BCD . ปรากฎว่าdistanและระหว่างสองในentres คือหมายเลข ( quadrati ไร้เหตุผลเสมอไม่มีเหตุผล ) นอกจากนี้ ใน 4 ด้านความยาว o1d = = do2 และ bo2 bo1 ,.ซื้.................ซื้.................. ........................ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ................................................................................................................................................................................................................ . .. . ... . .. . .เป็นบี ซีD01โอทูρρ68 .ssรูปที่ 12 ( เท่ากับ ) ที่มักจะไม่มีเหตุผล อีก 2 คน ( เท่ากับ ) ที่การเป็นฟ้าt เป็นจำนวนเต็ม . เราให้ก่อนค้นหาonditions เป็นเมื่อโอUrs มิฉะนั้นพวกเขายังมีที่ไร้เหตุผลในทั่วไปase เราจะแสดงในentres โดย i1 I2 แทนและ01 และ 02 . นอกจากนี้ เหตุผลของonvenienRe relabel Eยุ่งเหยิง ABCDเป็น bcad เหมือนในรูปที่ 2 ในหน้าถัดไป รูปที่ 2 bi1ai2 เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานρและยืนสำหรับ inradii ของทั้งสองongruent สามเหลี่ยมขวาและปัญหาที่เกี่ยวข้องปกติเราตั้งค่า BC = , CA = B , AB = C , และเรายัง introduอีY = 2 บาท = 3 , X = 3 = 1 , และ Z = = = ct2 ct1 ρ ; T1 , T2 ,T3 และเป็นสามจุดของ tangenและของในและเลอของ BCA สามเหลี่ยมด้วยด้าน CA , CB , BA , respeมี