We see that the equation of motion

We see that the equation of motion is unchanged if ¨R = 0: this is because the supportwould
be moving with constant velocity, and thus it is just like setting up the system in
another inertial frame. We also notice that a vertical acceleration of the support point is
like increasing or decreasing the local gravitational acceleration g: this can be recognized
as the relativity principle (imagine Einstein in an elevator).
The energy function is
h = ˙
@L
@˙
− L
= ˙

ml2 ˙  + ml( ˙X cos  − ˙Y sin )

−

1
2ml2 ˙ 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) +
1
2mV 2 + mgl cos  + mgY

=
1
2ml2˙2 − mgl cos  −
1
2mV 2 − mgY
The first two terms are the usual expression for the energy of a pendulum hanging from
a fixed support (or the energy with respect to a frame moving with the support), but there
are extra terms.
Since the Lagrangian is not homogeneous in the second order with respect to ˙ (through
the terms ˙  ˙X , ˙ ˙Y ), the energy function is not equal to the mechanical energy, which we
can calculate:
E = T + V
=
1
2ml2˙2 +
1
2mV 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) − mgl cos  − mgY
= h + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) + mV 2
We can calculate the time derivative of the energy from this expression:
E =
1
2ml2˙2 +
1
2mV 2 + ml ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin ) − mgl cos  − mgY
dE
dt
= ml2 ˙ ¨ + m˙R · ¨R + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) + ml ˙ (¨X cos  − ¨ Y sin )
−ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + mgl ˙  sin  − mg˙Y
= −ml ˙ (¨X cos  − ¨ Y sin  + g sin ) + m˙R · ¨R + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) + ml ˙ (¨X cos  − ¨ Y sin )
−ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) + mgl ˙  sin  − mg˙Y
= m˙R · ¨R + ml¨( ˙X cos  − ˙Y sin ) − ml ˙ 2( ˙X sin  + ˙Y cos ) − mg˙Y
where we have used Lagrange’s equation −l¨ = ¨X cos − ¨ Y sin +g sin  to obtain the final
expression.
2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราเห็นว่า สมการของการเคลื่อนไหวมีการเปลี่ยนแปลงถ้า ¨R = 0: เนื่องจากการ supportwouldสามารถเคลื่อนที่ ด้วยความเร็วคง และดังนั้น จึงเหมือนกับการตั้งค่าระบบในเฟรม inertial อื่น เรายังสังเกตว่า เร่งแนวตั้งของจุดสนับสนุนเป็นเช่นเพิ่ม หรือลด g: เร่งความโน้มถ่วงที่ท้องถิ่น นี้สามารถรับรู้เป็นหลักทฤษฎีสัมพัทธภาพ (จินตนาการไอน์สไตน์ในลิฟท์)ฟังก์ชันพลังงานh = ˙@L@˙− L= ˙ml2 ˙ + ml (˙X cos − ˙Y บาป)−1˙มล 2 2 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y sin) +12mV 2 + mgl cos + mgY=12ml 2 ˙2 − mgl cos −1mgY 2mV 2 −เงื่อนไขสองเป็นค่าปกติสำหรับพลังงานของลูกตุ้มที่แขวนจากการสนับสนุนถาวร (หรือพลังงานกับเฟรมเคลื่อนย้าย ด้วยการสนับสนุน), แต่มีมีเงื่อนไขพิเศษตั้งแต่ Lagrangian ไม่เหมือนในใบสั่งที่สองกับ˙ (ผ่านเงื่อนไข˙ ˙X ˙ ˙Y), ฟังก์ชันพลังงานไม่เท่ากับพลังงานกล ซึ่งเราสามารถคำนวณ:E = T + V=12ml 2 ˙2 +12mV 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) − mgl cos − mgY= h + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) + mV 2เราสามารถคำนวณเวลาอนุพันธ์ของพลังงานจากนิพจน์นี้:E =12ml 2 ˙2 +12mV 2 + ml ˙ (˙X cos − ˙Y บาป) − mgl cos − mgYเดอdt= m˙R + เลขจด ml2 ˙· ¨R + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) + ml ˙ (¨X cos sin −เลขจด Y)−ml ˙ 2 (˙X sin + ˙Y cos) mgl ˙ sin − mg˙Y += −ml ˙ (¨X cos เลขจด− Y บาป + g บาป) + m˙R · ¨R + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) + ml ˙ (¨X cos sin −เลขจด Y)−ml ˙ 2 (˙X sin + ˙Y cos) mgl ˙ sin − mg˙Y += m˙R · ¨R + ml¨ (˙X cos − ˙Y บาป) − ml ˙ 2 (˙X บาป + ˙Y cos) − mg˙Yที่เราได้ใช้ของโรงแรมลากรองจ์สมการ −l¨ = ¨X cos sin −เลขจด Y + g บาปรับสุดท้ายนิพจน์2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราพบว่า สมการของการเคลื่อนไหวจะไม่เปลี่ยนแปลงถ้าตั้ง R = 0 : นี้เป็นเพราะ supportwould
จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่และดังนั้นจึงเป็นเหมือนการตั้งค่าระบบใน
อีกแบบกรอบ นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่า ความเร่งแนวดิ่งของจุดสนับสนุน
เช่นการเพิ่มหรือลดความเร่งโน้มถ่วง g : ท้องถิ่นนี้สามารถรับรู้
เป็นหลักการสัมพัทธภาพ ( จินตนาการ ไอน์สไตน์ ในลิฟต์ ) .
พลังงานฟังก์ชัน
H =  ˙
@ @
L
 ˙− l
=

 ˙  ml2 ˙  ml ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป   )




2ml2  − 1 ˙  2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙บาป  y )
1
2mv 2 มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ  mGy

=
1
2ml2  ˙ 2 −− 1 มิลลิกรัมต่อลิตร เพราะ 

2mv 2 − mGy
สองแง่แรกคือการแสดงออกปกติ พลังของลูกตุ้มนาฬิกา แขวนจาก
สนับสนุนการแก้ไข ( หรือ พลังงานด้วยการย้ายกรอบด้วยการสนับสนุน ) แต่มีเงื่อนไขพิเศษ
.
เนื่องจากระบบไม่ได้เป็นเนื้อเดียวกันในอันดับที่สองส่วน  ˙ ( ผ่านเงื่อนไข˙  ˙
x ˙  ˙ Y ) , ฟังก์ชันพลังงานไม่เท่ากับ พลังงานกลซึ่งเราสามารถคำนวณ :
e
=
=
1
t V 2ml2  ˙
1
22mv 2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) cos −−มิลลิกรัมต่อลิตร  mGy
= H ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) MV 2
เราสามารถคำนวณเวลาจาก พลังงานจากนิพจน์นี้ :
E =
1
2ml2  ˙ 2
1
2mv 2 ml ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) cos −−มิลลิกรัมต่อลิตร  mGy


= ml2 เดอ DT ˙  ตั้ง  M R ด้วย˙ตั้ง R มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) ˙  ตั้ง x cos ( มล.  −ตั้ง Y )
 บาปบริษัท เวสเทิร์น มล ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) มิลลิกรัมต่อลิตร ˙  บาป  ˙ Y
= −−มิลลิกรัมต่อมิลลิลิตร˙  ( ตั้ง x cos −  ตั้ง  G Y บาปบาป  ) M ˙ R ด้วยตั้ง R มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) มล ˙  ( ตั้ง  x cos −−บาป  ตั้ง Y )
+ ˙  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) มิลลิกรัมต่อลิตร ˙  บาป  −มิลลิกรัม˙ Y
= M ˙ R ด้วยตั้ง R มลตั้ง  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  ) −˙มล  2 ( ˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) −มิลลิกรัม˙ Y
ที่เราได้ใช้สมการของลากรองจ์− l ตั้ง  = ตั้ง x cos −  ตั้ง  G Y บาปบาป  ได้รับการแสดงออกสุดท้าย
.
2