3.4 Recursive formulasThe pair of e

3.4 Recursive formulas
The pair of equations
a0 = a
an = an−1 + d, n = 1, 2, 3 . . .
is called a recursive description of the arithmetic sequence with initial term a
and common difference d. The first equation tells us that the sequence starts
with a, and the second equation tells us that the number in the sequence at
index n, that is, the nth term of the sequence, is obtained by adding d to the
(n − 1)st term of the sequence.
Similarly, the pair of equations
g0 = a
gn = rgn−1, n = 1, 2, 3 . . .
is a recursive description of the geometric sequence with initial term a and
common ratio r. The first equation tells us that the sequence starts with a, and
the second equation tells us that the nth term of the sequence is obtained by
multiplying the (n − 1)st term of the sequence times r.
In general, a recursive description tells us how to generate the next term in a
sequence by applying a regular process to the previous terms in the sequence.
3.5 Sums of terms in a sequence
One of the most common operations performed on sequences is to sum a number
of consecutive terms. For example, if I1, I2, I3, . . . is a sequence of dollar values,
where Ik is the amount of interest earned by a certain investment in its kth
year, then I1 + I2 + · · · + I10 is the total amount of interest earned in years 1
through 10. For an arbitrary sequence of numbers
a0, a1, a2, . . .
finding the sum a0 + a1 + . . . + an of the first n + 1 terms requires n addition
operations (first add a1 to a0, then add a2 to that result, and so on). For
arithmetic and geometric sequences, there are alternative formulas for sums
that involve only a few operations. First, we demonstrate a method for sums of
terms of arithmetic sequences.
Let sn be the sum
sn = a + (a + (3.5.1) d) + (a + 2d) + · · · + (a + nd)
of the first n+1 terms of the arithmetic sequence with initial term a and common
difference d. Listing the summands in reverse order we have
(3.5.2) sn = (a + nd) + (a + (n − 1)d) + (a + (n − 2)d) + · · · + a.
The sum of the first term on the right hand side of (3.5.1) with the first term on
the right hand side of (3.5.2) is a + (a + nd) = 2a + nd. Notice that the sum of
the second terms on the right hand sides of these two equations is also 2a+nd,
and so on. Thus we have
2sn = (2a + nd) + (2a + nd) + · · · + (2a + nd) = (n + 1)(2a + nd).
Mathematical Reasoning I, Course Notes 24
Solving for sn we have
(3.5.3) sn = (n + 1)(2a + nd)/2.
Next we demonstrate a method for sums of terms of geometric sequences. Let
(3.5.4) sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + arn
be the sum of the first n + 1 terms of the geometric sequence with initial term
a and common ratio r. Multiplying both sides by r, we obtain
(3.5.5) rsn = ar + ar2 + · · · + arn + arn+1
Subtracting (3.5.5) from (3.5.4), we get
sn − rsn = a − arn+1.
Factoring both sides yields
sn(1 − r) = a(1 − rn+1).
Finally, dividing both sides by 1 − r, we obtain the following formula for sn.
sn = a

1 − rn+1
1 − r

(3.5.6)
3.6 Geometric Series and Convergence
In this subsection we make some observations and a definition about the sum
of terms of a geometric sequence (3.5.6).
Let r be a number such that |r| < 1. It is clear that
|r| > |r|2 > |r|3 > · · ·
and that |r|n is “very small” when n is “very large”. We express this observation
with the symbols
lim
n!1|r|n = 0
or |r|n ! 0 as n ! 1 and say “the limit as n goes to infinity of |r|n is zero” or
“|r|n goes to zero as n goes to infinity” (because the intuitive meaning is clear,
it is customary to use this limit language whether or not the reader understands
the formal definition of limit from first year calculus).
If |r| < 1, the term |r|n+1 in the expression for sn in (3.5.6) vanishes to zero as
n ! 1, so it makes sense to say sn ! a/(1 − r) as n ! 1. We call expression
lim
n!1
sn
a geometric series, which we also write as an “infinite sum”
a + ar + ar2 + ar3 + · · · .
When |r| < 1, we say that the geometric series converges to s = a/(1 − r). We
also call s the sum of the geometric series and write
s = a + ar + ar2 + ar3 + · · · .
Mathematical Reasoning I, Course Notes 25
3.7 Linear and exponential growth
For constants a and d, let L:R ! R be the linear function defined by L(x) =
a + dx. Observe that the sequence of values
L(0),L(1),L(2),L(3), . . .
is the arithmetic sequence with initial term a and common difference d.
Similarly, given constants a and r with a 6= 0, r > 0 and r 6= 1, let E:R ! R
be the exponential function given by E(x) = arx. Then the sequence
E(0),E(1),E(2),E(3), . . .
is the geometric sequence with initial term a and common ratio r.
Because of these natural associations between sequences and functions, arith-
metic sequences are sometimes called linear and geometric sequences are some-
times called exponential. When the function L or E is increasing (that is, when
the graph of the function rises from left to right) we say that values of an
arithmetic sequence follow linear growth or grow linearly and that values of a
geometric sequence follow exponential growth or grow exponentially. When L
or E decreases (when the graph drops from left to right) we say that the asso-
ciated arithmetic sequence follows linear decay or decays linearly, and that the
associated geometric sequence follows exponential decay or decays exponentially.
3.8 Exercises
1. Fill in the missing terms of the following arithmetic and geometric se-
quences. Identify the initial term and the common difference or common
ratio for each.
(a) 5, 2,−1, , , , . . .
(b) 5, 2, 0.8, , , , . . .
(c) , 2, , 5, , 8, . . .
(d) , 2, , 4, , 8, . . .
2. Find the sum of the first 100 positive integers.
3. Find the given sums of terms of arithmetic and geometric sequences.
(a) 2 + 5 + 8 + 11 + · · · + 302
(b) 2 + 5 + 8 + 11 + · · · + 1571
(c) 2 + 6 + 18 + 54 + · · · + 2(3100)
(d) 2 + 6 + 18 + 54 + · · · + 9565938
4. In the formula (3.5.6), what happens if r = 1? Is there any way to find
the sum sn?
5. The following questions are about the definitions of linear and exponential
growth and decay.
(a) For the exponential function associated to a geometric sequence, why
do we make the restrictions a 6= 0, r > 0 and r 6= 1 for the exponential
function?
Mathematical Reasoning I, Course Notes 26
(b) What values of the common difference d correspond to linear growth?
To linear decay?
(c) What values of the common ratio r correspond to exponential growth?
To exponential decay?
6. Consider the following true life situation.
“I want to rent this room for the month of July,” he said. The
clerk wheezed. He peered through the narrow slits of his blood-
shot eyes, glaring through the murk of the humid dusty darkness
of the fleabag lobby, and said, “for you—a deal.” “How much?”
said the big guy, sweat trickling down his face, staining the col-
lar of his dingy shirt which didn’t appear to have been washed
in weeks. Noticing the telltale bulge of a revolver under the
stranger’s dirt stained jacket, the clerk replied, “First day—one
cent. Second day—two cents. Third day—four. Every day it
doubles.” The stranger’s face drew into a knot as he scrutinized
the greasy poker faced clerk. He said, “That’s nothin’. What’s
the hitch?”
(a) How much would the stranger pay on July 31st?
(b) What would the bill be for the month of July?
7. You get a letter in the mail that says, “Send a dollar to each of the five
people on this list. Add your name to the bottom, take the top name off,
and send a copy of the new list plus these instructions to five new people.
P.S. If you break the chain you will have to sit in a math lecture every
day for the rest of your life.”
(a) Assuming nobody broke the chain, and every letter was passed on in
one day, how much money would you have after 10 days? 20 days?
One hundred days?
(b) Assuming no person ever received the letter twice, and each letter
was passed on in one day (and nobody broke the chain) how long
would it take for everyone on the planet to get a letter?
8. Gumby and Pokey decide to go on a diet together. Gumby and Pokey
both weigh 10 ounces. Starting their diets on the same day, Gumby loses
1/10 of an ounce each day, while Pokey loses half his body weight each
day.
(a) Who wins the race to the body weight of 1 ounce?
(b) Explain how you know, without calculating, that Gumby will win the
race to zero body weight.
(c) How much of Pokey is left when Gumby vanishes?

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.4 สูตรซ้ำ
คู่ของสมการ
a0 =
=-1 + d, n = 1, 2, 3 . .
ที่เรียกว่าคำอธิบาย recursive ของลำดับเลขคณิตที่มีระยะเวลาเริ่มต้น
และงความแตกต่างที่พบบ่อย สมการแรกบอกเราว่าลำดับเริ่มต้น
ด้วยและสมการที่สองบอกเราว่าตัวเลขในลำดับที่
ดัชนี n, ที่อยู่, พจน์ที่ n ของลำดับที่จะได้รับโดยการเพิ่ม d เพื่อ
(n - 1) ระยะเซนต์ลำดับ.
ในทำนองเดียวกันคู่ของสมการ
g0 =
GN = RGN-1, n = 1, 2, 3 . .
เป็นคำอธิบาย recursive ของลำดับเรขาคณิตมีระยะเวลาเริ่มต้นและ
อัตราส่วนที่พบบ่อย R สมการแรกบอกเราว่าลำดับเริ่มต้นด้วยและ
สมการที่สองบอกเราว่าพจน์ที่ n ของลำดับจะได้รับโดย
การคูณ (n - 1). ระยะ ST ครั้งลำดับ r
โดยทั่วไปคำอธิบาย recursive บอก เรารู้ว่าจะสร้างระยะต่อไปใน
ลำดับโดยใช้กระบวนการปกติถึงข้อตกลงก่อนหน้านี้ในลำดับ.
3.5 ผลรวมของคำในลำดับที่
หนึ่งของการดำเนินงานที่พบมากที่สุดดำเนินการในลำดับคือการสรุปตัวเลข
ของวาระติดต่อกัน ตัวอย่างเช่นถ้า I1, I2, I3, . . เป็นลำดับของค่าเงินดอลลาร์
ที่ Ik คือปริมาณของดอกเบี้ยที่ได้รับจากการลงทุนบางอย่างใน KTH ของ
ปีที่แล้ว I1 + I2 + ··· + I10 เป็นจำนวนเงินรวมของดอกเบี้ยที่ได้รับในปีที่ 1
ถึง 10 สำหรับพล ลำดับของตัวเลข
a0, a1, a2, . .
การหาผลรวม a0 a1 + + . . + ของ n แรก + 1 เงื่อนไขต้องนอกจาก n
การดำเนินงาน (เป็นครั้งแรกที่จะเพิ่ม a1 a0 แล้วเพิ่ม a2 ผลที่และอื่น ๆ ) สำหรับ
ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิตมีสูตรทางเลือกสำหรับจำนวนเงิน
ที่เกี่ยวข้องกับการเพียงไม่กี่การดำเนินงาน ครั้งแรกที่เราแสดงให้เห็นถึงวิธีการสำหรับผลบวกของ
แง่ของลำดับเลขคณิต.
ให้ SN เป็นผลรวม
SN = + (+ (3.5.1) ง) + (+ 2d) + ··· + (+ ND)
ของ n แรก + 1 แง่ของลำดับเลขคณิตที่มีระยะเวลาเริ่มต้นและร่วมกัน
งความแตกต่าง รายการ summands ในลำดับที่กลับเรามี
(3.5.2) SN = (ND +) + (+ (n - 1) ง) + (+ (n - 2) ง). + ··· +
ผลรวมของระยะแรกบนด้านขวามือของ (3.5.1) ที่มีระยะแรกบน
ด้านขวามือของ (3.5.2) เป็น + (ND +) = 2a + ครั้ง ขอให้สังเกตว่าผลรวมของ
เงื่อนไขที่สองในด้านขวามือของสมการทั้งสองยังเป็น 2a + ND,
และอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงได้
2SN = (2a + ND) + (2a + ND) + ··· + (2a + ND) = (1 + n) (2a + ND).
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 24
การแก้สำหรับ SN เรามี
(3.5.3) SN = (1 + n) (2a + ND) / 2.
ต่อไปเราจะแสดงให้เห็นถึงวิธีการสำหรับผลรวมของข้อตกลงของลำดับเรขาคณิต Let
(3.5.4) SN = + + AR ar2 + ··· + ARN-1 + ARN
เป็นผลรวมของ n แรก + 1 แง่ของลำดับเรขาคณิตที่มีระยะเวลาเริ่มต้น
และอัตราการใช้ร่วมกัน R คูณทั้งสองข้างด้วย R, เราได้รับ
(3.5.5) RSN = AR + ar2 + ··· + + ARN ARN + 1
การลบ (3.5.5) จาก (3.5.4) ที่เราได้รับ
SN - RSN = - ARN . 1
Factoring ทั้งอัตราผลตอบแทน
SN (1 - R) =. (1 - RN + 1)
สุดท้ายหารทั้งสองข้างด้วย 1 -. R, เราได้รับสูตรต่อไปนี้สำหรับ SN
SN =
?
1 - RN + 1
1 - R
?
(3.5.6)
3.6 ซีรีส์ทางเรขาคณิตและบรรจบกัน
ในหมวดนี้เราให้ข้อสังเกตบางอย่างและความหมายเกี่ยวกับผลรวม
ของแง่ของลำดับเรขาคณิต (3.5.6).
ให้ R เป็นตัวเลขดังกล่าวที่ | R | < 1. เป็นที่ชัดเจนว่า
| R |> | R | 2> | R | 3> ···
และที่ | R | n คือ "เล็กมาก" เมื่อ n คือ "ขนาดใหญ่มาก" เราแสดงข้อสังเกตนี้
กับสัญลักษณ์
ลิม
1 n! | R | n = 0
หรือ | R | n! 0 เป็น n! 1 และกล่าวว่า "จำกัด เป็น n ไปที่อินฟินิตี้ของ | R | n เป็นศูนย์" หรือ
"| R | n ไปที่ศูนย์เป็น n ไปที่อินฟินิตี้" (เพราะความหมายที่ใช้งานง่ายมีความชัดเจน
มันเป็นธรรมเนียมที่จะต้องใช้ภาษาขีด จำกัด นี้ หรือไม่ว่าผู้อ่านเข้าใจ
ความหมายอย่างเป็นทางการของวงเงินจากแคลคูลัสปีแรก).
ถ้า | R | <1 คำ | R | 1 + n ในการแสดงออกใน SN (3.5.6) หายตัวไปให้เป็นศูนย์เป็น
n! 1 จึงทำให้ความรู้สึกที่จะบอกว่า SN! / (1 - R) ในฐานะ n! 1. เราขอเรียกร้องการแสดงออก
ลิม
1 n!
SN
ชุดเรขาคณิตซึ่งเรายังเขียนว่าเป็น "ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด"
AR + + + ar2 AR3 + ···.
เมื่อ | R | <1, เราบอกว่าลู่ชุดเรขาคณิต เพื่อ s = / (1 ​​- R) เรา
ยังเรียกร้องของผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตและเขียน
s = + + AR ar2 + AR3 + ···.
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 25
3.7 เชิงเส้นและการเจริญเติบโต
สำหรับค่าคงที่และงให้ L: R! R เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่กำหนดโดย L (x) =
+ DX สังเกตว่าลำดับของค่า
L (0), L (1), (2), L (3) . .
เป็นลำดับเลขคณิตที่มีระยะเวลาเริ่มต้นและความแตกต่างที่พบบ่อยง.
ในทำนองเดียวกันค่าคงที่ที่กำหนดและ R กับ 6 = 0, R> 0 และ 6 R = 1 ให้ E: R! R
เป็นฟังก์ชั่นการชี้แจงให้โดย E (x) = ARX แล้วลำดับ
E (0), E (1), (2), E (3) . .
เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีระยะเวลาเริ่มต้นและอัตราทั่วไปร.
เพราะของสมาคมธรรมชาติเหล่านี้ระหว่างลำดับและฟังก์ชั่น, arith-
ลำดับ metic บางครั้งเรียกว่าเชิงเส้นและลำดับเรขาคณิตที่มีการประสงค์
ครั้งเรียกชี้แจง เมื่อฟังก์ชั่น L หรือ E เพิ่มขึ้น (นั่นคือเมื่อ
กราฟของฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวา) เราบอกว่าค่าของ
ลำดับเลขคณิตปฏิบัติตามการเจริญเติบโตของเส้นหรือเติบโตเป็นเส้นตรงและค่านิยมของ
ลำดับเรขาคณิตเป็นไปตามการเจริญเติบโตหรือเติบโต อย่างแทน เมื่อ L
ลดลงหรือ E (เมื่อกราฟลดลงจากซ้ายไปขวา) เราบอกว่าอ้างอิงตำแหน่งเพราะ
ลำดับเลขคณิต ciated ดังนี้สลายเส้นหรือสลายตัวเป็นเส้นตรงและ
ลำดับเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้ชี้แจงสลายหรือสลายชี้แจง.
3.8 การออกกำลังกาย
1 กรอกข้อมูลในแง่ขาดหายไปของคณิตศาสตร์ต่อไปนี้และ se- เรขาคณิต
quences ระบุระยะเวลาเริ่มต้นและความแตกต่างกันหรือมีร่วมกัน
อัตราส่วนสำหรับแต่ละ.
(ก) 5, 2, -1,,, . .
(ข) 5, 2, 0.8,,, . .
(c), 2, 5, 8, . .
(ง), 2, 4, 8, . .
2 หาผลรวมของ 100 ท่านแรกจำนวนเต็มบวก.
3 หาผลรวมที่กำหนดของเงื่อนไขของเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต.
() 2 + 5 + 8 + 11 + ··· + 302
(ข) 2 + 5 + 8 + 11 + ··· + 1571
(c) 2 + 6 + 18 + 54 + ··· + 2 (3100)
(ง) 2 + 6 + 18 + 54 + ··· + 9565938
4. ในสูตร (3.5.6) จะเกิดอะไรขึ้นถ้า r = 1? มีวิธีที่จะหา
ผลรวม SN?
5 คำถามต่อไปนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับคำนิยามของเส้นและชี้แจง
การเจริญเติบโตและการสลายตัว.
(ก) สำหรับฟังก์ชั่นการชี้แจงที่เกี่ยวข้องกับลำดับเรขาคณิตทำไม
เราจะทำให้ข้อ จำกัด 6 = 0, R> 0 และ 6 R = 1 สำหรับการชี้แจง
ฟังก์ชั่น?
คณิตศาสตร์เหตุผลผมหมายเหตุหลักสูตร 26
(ข) สิ่งที่คุณค่าของความแตกต่างที่พบบ่อย d สอดคล้องกับการเจริญเติบโตเชิงเส้น?
การเชิงเส้นผุ?
(ค) สิ่งที่ค่าของอัตราส่วนที่พบบ่อย R สอดคล้องกับการเจริญเติบโต?
เพื่อชี้แจงสลาย?
6 พิจารณาสถานการณ์ชีวิตที่แท้จริงต่อไป.
"ผมอยากจะเช่าห้องพักนี้สำหรับเดือนกรกฎาคม" เขากล่าว
เสมียน wheezed เขา peered ผ่านรอยแยกแคบ ๆ ของเลือดของเขา
ดวงตายิงจ้องมองผ่านความมืดของความมืดเต็มไปด้วยฝุ่นชื้น
ของล็อบบี้ Fleabag และกล่าวว่า "สำหรับการจัดการที่คุณ." "เท่าไหร่?"
กล่าวว่าคนที่แต่งตัวประหลาดใหญ่เหงื่อไหล ลงใบหน้าของเขาย้อมสีซึ่งจะเก็บ
Lar ของเสื้อสกปรกของเขาซึ่งไม่ปรากฏว่าได้รับการล้าง
ในสัปดาห์ที่ผ่าน สังเกตเห็นกระพุ้งปากโป้งของปืนภายใต้
สิ่งสกปรกของคนแปลกหน้าแจ็คเก็ตสีเสมียนตอบว่า "วันแรกหนึ่ง
ร้อย วันสองเซ็นต์ที่สอง สามสี่วัน ทุกวันมัน
เป็นสองเท่า. "ใบหน้าของคนแปลกหน้าเข้ามาเป็นปมในขณะที่เขาพิจารณา
โป๊กเกอร์เลี่ยนต้องเผชิญกับพนักงาน เขากล่าวว่า "นั่นคือไม่มีอะไร มีอะไร
ผูกปมได้หรือไม่ "
(ก) จะจ่ายเท่าไหร่คนแปลกหน้าใน 31 กรกฎาคม?
(ข) สิ่งที่เรียกเก็บเงินจะเป็นสำหรับเดือนกรกฎาคม?
7 คุณจะได้รับจดหมายในจดหมายที่บอกว่า "ส่งเงินดอลลาร์ให้กับแต่ละห้า
คนในรายการนี้ เพิ่มชื่อของคุณไปที่ด้านล่างใช้ชื่อด้านบนออก
และส่งสำเนาของรายการใหม่บวกคำแนะนำเหล่านี้ถึงห้าคนใหม่.
PS ถ้าคุณทำลายห่วงโซ่ที่คุณจะต้องนั่งในการบรรยายคณิตศาสตร์ทุก
วันสำหรับส่วนที่เหลือของ ชีวิตของคุณ. "
(ก) สมมติว่าไม่มีใครยากจนห่วงโซ่และทุกตัวอักษรที่ถูกส่งผ่านไปใน
วันหนึ่งเท่าใดเงินที่คุณจะได้หลังจาก 10 วัน? 20 วัน?
หนึ่งร้อยวัน?
(ข) สมมติว่าคนที่ไม่เคยได้รับจดหมายสองครั้งและตัวอักษรแต่ละตัว
ก็ผ่านไปได้ในวันหนึ่ง (และไม่มีใครยากจนห่วงโซ่) นานแค่ไหน
ก็จะใช้เวลาสำหรับทุกคนบนโลกนี้ที่จะได้รับจดหมายหรือไม่?
8 Gumby และช้าตัดสินใจที่จะไปในอาหารร่วมกัน Gumby และช้า
ทั้งสองมีน้ำหนัก 10 ออนซ์ เริ่มต้นอาหารของพวกเขาในวันเดียวกัน, Gumby สูญเสีย
1/10 ออนซ์ในแต่ละวันในขณะที่ช้าสูญเสียครึ่งหนึ่งของน้ำหนักร่างกายของเขาในแต่ละ
วัน.
(ก) ผู้ที่ชนะการแข่งขันที่จะน้ำหนักตัว 1 ออนซ์หรือไม่
(ข) อธิบายวิธีการที่คุณ รู้โดยการคำนวณที่ Gumby จะเป็นผู้ชนะ
การแข่งขันกับน้ำหนักศูนย์ร่างกาย.
(c) เท่าใดของช้าที่เหลือหายไป Gumby?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3.4 recursive สูตร
คู่ของสมการ
A0 =
= − 1 เป็น D , n = 1 , 2 , 3 . . . . . . .
เรียกว่า วิธีการอธิบายของลำดับเลขคณิตกับระยะ
และความแตกต่างทั่วไป D แรกสมการเริ่มต้นบอกเราว่าลำดับเริ่มต้น
ด้วย และสมการที่สอง บอกเราว่า ตัวเลขในลำดับที่
ดัชนี n , ที่เป็น , อื่น ๆของลำดับได้โดยการเพิ่ม D
( n − 1 ) เซนต์ ส่วนลำดับ .
ส่วนคู่ของสมการ G0
=
rgn GN = − 1 , n = 1 , 2 , 3 . . . . . . .
เป็นผู้อธิบายลําดับเรขาคณิตกับการเริ่มต้นในระยะและ
ทั่วไปอัตราส่วน R . สมการแรกบอกเราว่าลำดับเริ่มต้นด้วยและ
สมการที่สอง บอกเราว่าอื่น ๆของลำดับได้
คูณ ( − 1 ) เซนต์ด้านลำดับครั้ง R .
ทั่วไป เป็นผู้อธิบายบอกวิธีการสร้างในระยะถัดไปในลำดับ โดยใช้กระบวนการ
ปกติข้อตกลงก่อนหน้านี้ในลำดับ
3.5 จำนวนเงื่อนไขในลำดับ
หนึ่งที่พบมากที่สุดในการดำเนินการแสดงลำดับคือผลรวมของตัวเลข
สมัยติดต่อกัน ตัวอย่างเช่น ถ้า I1 I2 I3 , , , , , , , , . . . . . . . .เป็นลำดับของดอลลาร์ค่า
ที่ผมเป็นยอดของดอกเบี้ยที่ได้รับจากการลงทุนบางอย่างใน kth
ปี จากนั้น i1 I2 · · ·ไอเท็นเป็นจำนวนเงินของดอกเบี้ยที่ได้รับในปี 1
ผ่าน 10 สำหรับลำดับโดยพลการของตัวเลข
A0 , A1 , A2 , . . . . . . . .
หาผลรวม A0 A1 . . . . . . . เป็นครั้งแรกที่ใช้นอกจาก n
n 1 ด้านการดำเนินงาน ( ก่อนใส่ต้อง A0 A1 ,แล้วเพิ่ม A2 เพื่อผลที่ , และอื่น ๆ ) สำหรับ
เลขคณิตและเรขาคณิตลำดับ มีสูตรทางเลือกสำหรับผลรวม
ที่เกี่ยวข้องเพียงไม่กี่งาน ครั้งแรกเราแสดงวิธีผลรวม
แง่ของลำดับเลขคณิต คิดเป็นเงิน

ขอ SN = ( ( : ) D ) ( 2D ) · · · ( ND )
1 N 1 ในแง่ของค่าเริ่มต้นและลำดับระยะความแตกต่างทั่วไป
Dรายการ summands เพื่อย้อนกลับเรามี
( 3.5.2 ) Sn = ( ND ) ( ( n − 1 ) D ) ( ( n − 2 ) D ) · · · a .
ผลรวมของเทอมแรกด้านขวามือ ( ที่สำคัญ ) โดยในระยะแรก
สิทธิ ขวามือ ( 3.5.2 ) เป็น ( ND ) = 2A A . สังเกตว่าผลรวมของ
เงื่อนไขที่สองบนด้านขวามือของทั้งสองสมการเป็น 2A ND ,
และอื่น ๆ เราจึง
2sn = ( 2A A ) ( 2A ND ) · · · ( 2A A ) = ( - 1 ) ( 2A A )
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 24
แก้สำหรับ SN เรามีบันทึก
( 3.5.3 ) Sn = ( 1 ) ( 2A A ) / 2 .
ถัดไปที่เราแสดงให้เห็นถึงวิธีการ สำหรับผลรวมของด้านเรขาคณิต ลำดับ ให้
( 3.5.4 ) Sn = AR ฮีเลียม· · · ARN − 1 อาร์น
เป็นผลรวมของแรก n 1 แง่ของลําดับเรขาคณิตกับการเริ่มต้นเทอม
และอัตราส่วนร่วม .คูณทั้งสองข้างด้วย R เราขอรับ
( 3.5.5 ) เอ็มเอสเอ็น = AR ฮีเลียม· · · ARN ARN 1
ลบ ( 3.5.5 ) จาก ( 3.5.4 ) เราได้รับ
Sn −เอ็มเอสเอ็น = − 21 1 .
จากทั้งสองด้านผลผลิต
SN ( 1 − 2 = ( RN 1 − 1 ) .
สุดท้ายหารทั้งสองฝ่าย โดย 1 − r , เราได้รับสูตรดังต่อไปนี้สำหรับ SN .
Sn =

1 − Rn 1
1 −  R

( 3.5.6 ) 3.6 อนุกรมเรขาคณิต และบรรจบกัน

ในส่วนนี้เราจะสังเกตและคำจำกัดความเกี่ยวกับผลรวม
ของแง่ของลําดับเรขาคณิต ( 3.5.6 )
ให้ R เป็น ตัวเลขดังกล่าวที่ | R | < 1 มันเป็นที่ชัดเจนว่า
| r > r | | | 2 > 3 > | R | · · ·
และที่ | R | N " น้อยมาก " เมื่อ N คือ " ใหญ่มาก " เราแสดงนี้สังเกต
กับสัญลักษณ์
ลิม
N ! 1 | R | n = 0 =
หรือ | R | n ! 0 เป็น n !1 และพูดว่า " จำกัด เป็น N ไปไม่มีที่สิ้นสุด | R | n เป็นศูนย์ " หรือ " |
R | N ไปที่ศูนย์เป็น n ไปไม่มีที่สิ้นสุด " ( เพราะความหมายง่ายชัดเจน
มันเป็นประเพณีที่จะใช้กำหนดภาษาหรือไม่ ผู้อ่านเข้าใจ
นิยามอย่างเป็นทางการของจำกัด จากแคลคูลัสปีแรก ) .
ถ้า | R | < 1 เทอม | R | N 1 ในการแสดงออกสำหรับ SN ( 3.5.6 ) หายไปถึงศูนย์เป็น
N ! 1ดังนั้นมันทำให้รู้สึกว่า SN ! / ( 1 − r ) n ! 1 . เราเรียกสีหน้า
ลิม
N ! 1
SN
ชุดเรขาคณิต ซึ่งเรายังเขียนเป็น " อนันต์ผลรวม "
เป็น AR ฮีเลียม ar3 · · · .
เมื่อ | R | < 1 เราว่าชุดเรขาคณิตเข้าสู่ S = / ( r − 1 ) เรา
ยังเรียกผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตและเขียน
S = AR ฮีเลียม ar3 · · · .
เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ หลักสูตร 25
3 บันทึก7 เส้น
การเจริญเติบโตสำหรับค่าคงที่และ D ให้ L : R R เป็นเชิงเส้นฟังก์ชันนิยามโดย l ( x ) =
เป็น DX สังเกตว่าลำดับของค่า
L ( 0 ) , L ( , 1 ) / ( 2 ) , L ( 3 ) . . . . . . .
คือเลขลำดับเริ่มต้นในระยะและพบความแตกต่าง D .
เหมือนกับ , ได้รับค่าคงที่และ R กับ 6 = 0 r > 0 และ R 6 = 1 ให้ E : R R
เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลให้ E ( X ) = arx . ลำดับ
E ( 0 ) , E ( , 1 ) และ ( 2 ) และ ( 3 ) . . . . . . .
เป็นลําดับเรขาคณิตกับการเริ่มต้นในระยะและทั่วไปอัตราส่วน R .
เพราะของเหล่านี้ธรรมชาติความสัมพันธ์ระหว่างลำดับและฟังก์ชัน arith -
metic ลำดับบางครั้งเรียกว่าเชิงเส้นและรูปทรงเรขาคณิตลำดับบาง -
ครั้งเรียกชี้แจง เมื่อฟังก์ชัน L หรือ E เพิ่มขึ้น ( นั่นคือ เมื่อ
กราฟของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวา ) เราบอกว่า ค่าของเลขลําดับตามการเจริญเติบโต
เส้นหรือขึ้นนำ และที่ค่าของ
การก้าวหน้าเรขาคณิตตามการเจริญเติบโต หรือเติบโตชี้แจง เมื่อ L
หรือ E ลดลง ( เมื่อกราฟ หยอดจากซ้ายไปขวา ) เราบอกว่า รศ -
ciated คณิตศาสตร์ลำดับตามเส้นสลายตัวหรือสลายตัวเป็นเส้นตรง , และที่
ที่สลายตัวหรือสลายตัวลำดับเรขาคณิตคือชี้แจงชี้แจง
3.8 แบบฝึกหัด
1 ที่หายไปมาเติมในส่วนของคณิตศาสตร์และเรขาคณิต เซ -
quences ดังต่อไปนี้ ระบุระยะเวลาเริ่มต้นและพบความแตกต่างหรือเหมือนกัน

) แต่ละ ( ) 5 , 2 , − 1 , , , , , , , , , . . . . . . . .
( b ) 5 , 2 , 1 , , , , , , , , , . . . . . . . .
( C ) , 2 , 5 , 8 , . . . . . . . .
( D ) , 2 , 4 , 8 , . . . . . . . .
2หาผลรวมของแรก 100 บวกจำนวนเต็ม .
3 ค้นหารับผลบวกของด้านคณิตศาสตร์และเรขาคณิตลำดับ .
( A ) 2 5 8 11 · · · 302
( B ) 2 5 8 11 · · · 1406
( c ) 2 6 18 54 · · · 2 ( 3100 )
( D ) 2 6 18 54 · · · 9565938
4 . ในสูตร ( 3.5.6 ) จะเกิดอะไรขึ้นถ้า R = 1 มีทางใดที่จะหา
ผลรวม SN ?
5คำถามต่อไปนี้จะเกี่ยวกับความหมายของเส้นตรงและการเจริญเติบโตและการสลาย
.
( ) ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง เพื่อชี้แจงตามลําดับเรขาคณิต , ทำไม
เราทำข้อ จำกัด 6 = 0 r > 0 และ R 6 = 1 สำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
?
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 26
หมายเหตุ ( B ) แล้วค่าของความแตกต่าง สอดคล้องกับการเจริญเติบโตเชิงเส้นทั่วไปดี ?
การสลายตัวเชิงเส้น ?
( C ) แล้วค่าของอัตราส่วนร่วม R สอดคล้องกับการเจริญเติบโต ?
จะสลายชี้แจง ?
6 พิจารณาสถานการณ์จริงต่อไปนี้ .
" ฉันต้องการเช่าห้องเดือนกรกฎาคม , " เขากล่าวว่า
เสมียน wheezed . เขามองผ่านช่องแคบของเลือด -
ยิงสายตาจ้องมองผ่านความมืดมนของชื้นฝุ่นมืด
ของล็อบบี้โรงแรมราคาถูก และตรัสว่า " you-a จัดการ " " เท่าไหร่"
บอกว่าผู้ชายใหญ่ เหงื่อไหลลงใบหน้าของเขา , การย้อม Col -
lar ของเขาสกปรกเสื้อซึ่งไม่ได้ปรากฏได้รับการล้าง
ในสัปดาห์ สังเกตเห็นคล้ายตุงของปืนได้ที่ดิน
คนอื่นเปื้อนเสื้อ เสมียนตอบ " วันแรก
เซนต์ สองวันสองเซนต์ วันที่สาม สี่ ทุกวันมัน
คู่ " ใบหน้าของคนแปลกหน้ามาผูกเป็นเงื่อนที่เขาพิจารณา
ที่โป๊กเกอร์มันเผชิญ เสมียน เขากล่าวว่า " มันไม่มีอะไรเลย อะไร
เร้อ ? "
( A ) เท่าไหร่ คนแปลกหน้า จ่ายในวันที่ 31 กรกฎาคม
( B ) อะไรจะเรียกเก็บเงินสำหรับเดือน กรกฎาคม
7 คุณได้รับจดหมายในจดหมายเขียนว่า " ส่งเงินให้แต่ละของห้า
คนในรายชื่อนี้ ใส่ชื่อของคุณด้านล่าง ใช้ชื่อด้านบนออก
และส่งสำเนาของรายการใหม่และคำแนะนำเหล่านี้ห้าคนใหม่ .
ปล . ถ้าคุณทำลายห่วงโซ่คุณจะต้องนั่งอยู่ในคณิตศาสตร์บรรยายทุกวัน
สำหรับส่วนที่เหลือของชีวิตของคุณ . "
( ) สันนิษฐานว่า ไม่มีใครทำลายโซ่และทุกตัวอักษรที่ผ่านใน
วันนึง คุณจะเหลือเงินเท่าไหร่ หลังจากนั้น 10 วัน 20 วัน
หนึ่งร้อยวัน
( B ) ถ้าคนไม่เคยได้รับจดหมายสองและทุกตัวอักษร
ถูกส่งให้ในวันเดียว ( และไม่มีใครแหกกฏ ) นาน
ที่จะทำให้ทุกคนบนโลกจะได้รับจดหมาย
8 กัมบี้ และช้า ตัดสินใจที่จะไปในอาหารด้วยกัน กัมบี้ Pokey
ทั้งหนักและ 10 ออนซ์ เริ่มจากอาหารของพวกเขาในวันเดียวกัน กัมบี้ แพ้
1 / 10 ออนซ์ในแต่ละวันในขณะที่ช้าเสียครึ่งหนึ่งของน้ำหนักแต่ละวัน
.
( ก ) ผู้ชนะการแข่งขันน้ำหนัก 1 ออนซ์
( b ) อธิบายว่า คุณรู้ โดยไม่ต้องคำนวณว่า กัมบี้ จะชนะการแข่งขันน้ำหนักศูนย์ตัว
.
( C ) วิธีการมากของเมืองซ้าย เมื่อกัมบี้หายไป ?