4. Green’s relations L and RGreen’s

4. Green’s relations L and R
Green’s relations play a fundamental role in semigroup theory. If (S; ·) is a
semigroup then (a, b) ∈ L iff a = b or there are elements c, d ∈ S such that
c · a = b,d · b = a and (a, b) ∈ R if a = b or there are elements u, v ∈ S such
that a · u = b, b · v = a. We characterize Green’s relations L and R for the
semigroup P(Wτ (X)); ·xi
).
Products of Tree Languages 23
We consider the cases ALB and ARB for xi ∈ V ar(A) and xi 6∈
V ar(A).
Theorem 4.1. Let A, B ∈ P(Wτ (X)). Then
(i) Let xi 6∈ V ar(A). Then ALB if and only if xi 6∈ V ar(B).
(ii) Let xi ∈ V ar(A). Then ALB if and only if A = B, i.e. L is the
diagonal ∆P(Wτ (X)).
Proof. (i) If ALB, then there is a subset D of Wτ (X) such that B =
D·xiA. Therefore, xi 6∈ V ar(B).
If conversely xi 6∈ V ar(B), then by xi 6∈ V ar(A) and by Proposition 2.2
(iii), A = A·xiB and B = B·xiA and thus ALB.
(ii) If ALB, then there are subsets C, D ∈ P(Wτ (X)) such that A =
C·xiD·xiA and B = D·xiC·xiB. By Lemma 3.1 we have xi ∈ C·xiD and
then by Proposition 2.2 (iii) we obtain xi ∈ C. There follows
B = D·xiA ⊆ C·xiD·xiA = A
and in a similar way we get
A = C·xiB ⊆ D·xiC·xiB = B.
Altogether we have A = B. If, conversely, A = B then ALB.
Altogether we get
L = ∆P(Wτ (X)) ∪ {(A, B) | xi 6∈ V ar(A) and xi 6∈ V ar(B)}.
For Green’s relation R we have:
Theorem 4.2. Let A, B ∈ P(Wτ (X)). Then
(i) Let xi 6∈ V ar(A). Then ARB if and only if A = B.
(ii) Let xi ∈ V ar(A). If ARB, then xi ∈ V ar(B) and
{a | a ∈ A and xi 6∈ V ar({a})} = {b | b ∈ B and xi 6∈ V ar({b})}.
Proof. (i) If ARB, then then there is a set D ⊆ Wτ (X) such that
B = A·xiD. Because of xi 6∈ V ar(A) we have B = A·xiD = A. Conversely,
if A = B, then ARB.
24 K. Denecke, N. Sarasit
(ii) If ARB then there is a set D ⊆ Wτ (X) such that A = B·xiD. Then
xi ∈ V ar(B) by Proposition 2.2 (iii) If a ∈ A and xi 6∈ V ar({a}), then
{a} = {a}·xiD ⊆ A·xiD = B, i.e. a ∈ B. Therefore,a belongs to the set
on the right hand side. The opposite inclusion is also satisfied.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4. เขียวสัมพันธ์ L และ Rความสัมพันธ์ของสีเขียวมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎี semigroup ถ้า (S ·) เป็นการsemigroup แล้ว (a, b) ∈ L iff ใน = b หรือมีองค์ประกอบ c, d ∈ S เช่นที่c · มี = b, d · b =การ และ (a, b) ∈ R ถ้าเป็น = b หรือมีองค์ประกอบ u, v ∈ S เช่นที่ทรัพยากร u = b, b · v =ความ เรากำหนดลักษณะของเขียวสัมพันธ์ L และ R สำหรับการsemigroup P (Wτ (X)) ·xi).ผลิตภัณฑ์ของต้นไม้ภาษา 23เราพิจารณากรณี ALB และ ARB ที่ xi ∈ V ar(A) และ xi 6∈V ar(A)ทฤษฎีบท 4.1 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) จากนั้น(i) ให้สิ 6∈ V ar(A) ALB แล้วถ้าหากซี 6∈ V ar(B)(ii) ให้ xi ∈ V ar(A) ALB แล้วถ้าหาก A = B, L เป็นเช่นนี้∆P ทแยง (Wτ (X))หลักฐาน (i) ถ้า ALB แล้วมีชุดย่อย D ของ Wτ (X) ดังกล่าวที่ B =D·xiA ดังนั้น xi 6∈ V ar(B)ถ้าในทางกลับกันสิ 6∈ V ar(B) โดย xi 6∈ V ar(A) แล้ว และเรื่องที่ 2.2(iii) A = A·xiB และ B = B·xiA และ ALB(ii) หาก ALB แล้วมีชุดย่อย C, D ∈ P (Wτ (X)) กล่าวว่า A =C·xiD·xiA และ B = D·xiC·xiB โดยหน่วยการ 3.1 เรามีสิ∈ C·xiD และ2.2 ข้อเสนอ (iii) โดยเรารับแล้ว ซี∈ c มีดังนี้B = D·xiA ⊆ C·xiD·xiA = Aคล้าย ๆ เราได้A = C·xiB ⊆ D·xiC·xiB = bทั้งหมด เรามี A = b ถ้า ในทางกลับกัน A = B แล้ว ALBเราได้รับทั้งหมดL =∪ ∆P (Wτ (X)) {(A, B) | xi 6∈ V ar(A) และ xi 6∈ V ar(B) }สำหรับความสัมพันธ์ของสีเขียว R เรามี:ทฤษฎีบท 4.2 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) จากนั้น(i) ให้สิ 6∈ V ar(A) ARB แล้วถ้าหาก A = b(ii) ให้ xi ∈ V ar(A) ถ้า ARB แล้ว ar(B) xi ∈ V และ{การ | ∈ A และสิ 6∈ V ar({a}) } = { b | xi 6∈ V ar({b}) และ b ∈ B }หลักฐาน (i) ถ้า ARB แล้วจากนั้นมีการ⊆ชุด D Wτ (X) ซึ่งB = A·xiD เนื่องจากซี 6∈ V ar(A) เรามี B = A·xiD =ก.ตรงกันข้ามถ้า A = B, ARB แล้ว24 เค Denecke, N. Sarasit(ii) หาก ARB นั้นมี⊆ชุด D Wτ (X) เช่นให้ A = B·xiD จากนั้นar(B) ∈ V xi โดยเสนอ 2.2 (iii) ถ้า∈ A และ xi 6∈ V ar({a}) จากนั้น{แบบ} = {} ⊆ ·xiD A·xiD = B เช่น∈ b ดังนั้น มีอยู่ในชุดด้านขวามือ นอกจากนี้ความพึงพอใจรวมตรงกันข้าม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

4. สีเขียวของความสัมพันธ์ L และ R
สีเขียวของความสัมพันธ์ที่มีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎี semigroup ถ้า (S ·) เป็น
กึ่งกลุ่มแล้ว (A, B) ∈ L IFF A = B หรือมีองค์ประกอบ C, D ∈ S ดังกล่าวว่า
ค· A = B, D · B = และ (A, B) ∈ R ถ้า A = B หรือมีองค์ประกอบ U, V ∈ S เช่น
ว่า· U = B, B · V = a เราให้ลักษณะสีเขียวของความสัมพันธ์ L และ R สำหรับ
semigroup P (Wτ (X)); · Xi
).
ผลิตภัณฑ์ของต้นไม้ภาษา 23
เราพิจารณากรณี ALB และ ARB สำหรับ Xi ∈ V AR (A) และ Xi 6∈
V AR (A).
ทฤษฎีบท 4.1 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) จากนั้น
(i) ให้ Xi 6∈ V AR (A) แล้ว ALB ถ้าหาก Xi 6∈ V AR (B).
(ii) ให้ Xi ∈ V AR (A) แล้ว ALB ถ้าหากว่า A = B, L คือเป็น
ΔPในแนวทแยง (Wτ (X)).
หลักฐาน (i) หาก ALB แล้วมีเป็นส่วนหนึ่งของ D Wτ (X) เช่นที่ B =
D ·เซี่ย ดังนั้น Xi 6∈ V AR (B).
ถ้าตรงกันข้าม Xi 6∈ V AR (B), แล้วโดย Xi 6∈ V AR (A) และโดยโจทย์ 2.2
(iii), A = a · xib และ B = B · เซี่ยและทำให้ ALB.
(ii) หาก ALB แล้วมีส่วนย่อย C, D ∈ P (Wτ (X)) เช่นว่า A =
c · XID ·เซี่ยและ B = D ·· XIC xib โดยแทรก 3.1 เรามี Xi ∈ c · XID และ
แล้วโดยข้อเสนอที่ 2.2 (iii) เราได้รับ Xi ∈ซีมีดังนี้
B = D · Xia ⊆ c ·· XID Xia = a
และในทำนองเดียวกันเราได้รับ
A = c · xib ⊆ d ·· XIC xib = บี
พรึบเรามี A = B หากตรงกันข้าม A = B แล้ว ALB.
พรึบเราได้รับ
L = ΔP (Wτ (X)) ∪ {(A, B) | Xi 6∈ V AR (A) และ Xi 6∈ V AR (B)}.
สีเขียวของความสัมพันธ์ที่เรามี R:
ทฤษฎีบท 4.2 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) จากนั้น
(i) ให้ Xi 6∈ V AR (A) แล้ว ARB ถ้าหากว่า A = บี
(ii) ให้ Xi ∈ V AR (A) หาก ARB แล้ว Xi ∈ V AR (B) และ
{a | ∈ A และ Xi 6∈ V AR ({A})} = {B | B ∈ B และ Xi 6∈ V AR ({ข})}.
หลักฐาน (i) หาก ARB แล้วแล้วมีชุด D ⊆Wτ (X) เช่นที่
B = a · XID เนื่องจากการ Xi 6∈ V AR (A) เรามี B = a · XID = A. ตรงกันข้าม
ถ้า A = B แล้ว ARB.
24 เค Denecke เอ็น Sarasit
(ii) หาก ARB แล้วมีชุด D ⊆ Wτ (X) เช่นว่า A = B · XID แล้ว
Xi ∈ V AR (B) โดยข้อเสนอที่ 2.2 (iii) ถ้า∈ A และ Xi 6∈ V AR ({A}) แล้ว
{A} = {A} · XID ⊆เป็น· XID = B, เช่น∈ บีดังนั้นเป็นชุด
บนด้านขวามือ รวมตรงข้ามยังมีความพึงพอใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4 . ความสัมพันธ์ของ L และ R สีเขียวสีเขียวของความสัมพันธ์เล่นบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีกึ่งกรุป . ถ้า ( s ; ด้วย ) คือเซมิกรุปแล้ว ( A , B ) l ∈ IFF = B หรือมีธาตุ C , D ∈ s เช่นC ด้วย A = B , D ด้วย b = ( a , b ) ∈ R ถ้า a = b หรือมีองค์ประกอบ U , V ∈ s เช่นว่าด้วย u = B , B ด้วย V = A เราลักษณะความสัมพันธ์ของ L และ R สำหรับสีเขียวกึ่งกรุป P ( W τ ( x ) ; ด้วยซี)ผลิตภัณฑ์ต้นไม้ภาษา 23เราพิจารณาคดีและซี∈ ARB สำหรับ AL AR ( V ) และซี 6 ∈AR ( V )ทฤษฎีบท 4.1 . ให้ a , b ∈ P ( W τ ( x ) ) จากนั้น( ผม ) ให้ ซี 6 ∈ AR ( V ) แล้วขาวถ้าและเพียงถ้าซี 6 ∈ V AR ( B )( 2 ) ให้ ซี ∈ AR ( V ) แล้วขาวถ้าและเพียงถ้า A = B , เช่นฉันเป็นเส้นทแยงมุม∆ P ( W τ ( x ) )พิสูจน์ ( ผม ) ถ้าขาวแล้วมีเซตย่อยของτ D W ( X ) ที่ B =D ด้วย Xia . ดังนั้น ซี 6 ∈ V AR ( B )ถ้าในทางกลับกัน ซี 6 ∈ V AR ( B ) แล้ว โดย ซี 6 ∈ AR ( V ) และข้อเสนอ .( 3 ) , = ด้วย xib และ B = B ด้วยเซียจึง Alb .( 2 ) ถ้าขาว แล้วมีชุดย่อย C , D ∈ P ( W τ ( ( X ) = ) เช่นC ด้วยเซียด้วย xid และ B = D ด้วย xic ด้วย xib . โดยแทรก 3.1 เรามีซี∈ C ด้วย xid และแล้วโดยข้อเสนอ 2.2 ( 3 ) เราได้รับซี∈ C มีดังนี้B = D ด้วย⊆ C ด้วย xid Xia Xia ด้วย =และในลักษณะที่เราได้รับA = C ด้วย xib ⊆ D ด้วย xic ด้วย xib = Bทั้งหมดเรามี = B ถ้าในทางกลับกัน = b แล้วขาว .ทั้งหมดที่เราได้รับL = ∆ P ( W τ ( x ) ∪ { ( A , B ) | ซี 6 ∈ V AR ( AR ) และซี 6 ∈ v ( b ) }สำหรับสีเขียวของความสัมพันธ์ r เรามี :ทฤษฎีบท 4.2 . ให้ a , b ∈ P ( W τ ( x ) ) จากนั้น( ผม ) ให้ ซี 6 ∈ AR ( V ) จากนั้น ARB ถ้าและเพียงถ้า A = B( 2 ) ให้ ซี ∈ AR ( V ) ถ้า ARB แล้วซี∈ V AR ( B ) และ{ | เป็น∈และซี 6 ∈ V AR ( { } ) } = { B | B ∈บีและซี 6 ∈ V AR ( { B } ) }พิสูจน์ ( ผม ) ถ้า ARB แล้วมีชุด D ⊆ W τ ( x ) เช่นB = ด้วย xid . เพราะซี 6 ∈ V AR ( ) เราได้ B = ด้วย xid = . ในทางกลับกันถ้า A = B , พฤ. .24 เค เดเนิก , เอ็น sarasit( 2 ) ถ้า ARB แล้วมีชุด D ⊆ W τ ( x ) เช่น a = b ด้วย xid . จากนั้นซี∈ V AR ( B ) โดยข้อเสนอ 2.2 ( 3 ) ถ้า∈และซี 6 ∈ V AR ( { } ) แล้ว{ } = { } xid ด้วย⊆เป็นด้วย xid = b คือ∈พ. ดังนั้น เป็นของชุดทางด้านขวามือ รวมตรงข้ามยังพอใจ