Conversely, assume that (G; , e) is

Conversely, assume that (G; , e) is a p-semisimple BCI-algebra. If we define
x + y := x (e y), then (G; +) is an abelian group and x − y = x y (see
[4]). Hence we can prove: (K3) x x = x − x = e; (K4) x e = x − e = x;
(K2) x (x y) = x − (x − y) = y, since (G; +) is an abelian group; (K1)
(xy)(xz)=(x−y)−(x−z) = z −y = z y; (K5) ex = e−x = −x,
which is an inverse of x ∈ X. Thus (G; ·, , e) is a K-algebra.
By using Theorem 3.8 and Meng’s observation [4] we conclude:
Proposition

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในทางกลับกัน สมมติว่า (G e) เป็นแบบ p-semisimple บีซีไอพีชคณิต ถ้าเรากำหนดx + y: = x (e y), แล้ว (G; +) คือเป็นกลุ่มอาบีเลียนและ x − y = x y (ดู[4]) . Hence พิสูจน์ได้: (K3) x x = x − x = e (K4) x e = x − e = x(K2) x (x, y) = x − (x − y) = y ตั้งแต่ (G; +) เป็นกลุ่มอาบีเลียน (K1)(xy) (xz)=(x−y)−(x−z) = z −y = z y (K5) เช่น = e−x = −xซึ่งคือตัวผกผันของ X x ∈ ดังนั้น (G ·,, e) เป็น K-พีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบท 3.8 และของเมงสังเกต [4] เราสรุป:ข้อเสนอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตรงกันข้ามสมมติว่า (G;, E) เป็น P-BCI semisimple พีชคณิต ถ้าเรากำหนด
X + Y = X (EY) แล้ว (G; +) เป็นกลุ่มศาสนาคริสต์และ x - y = XY (ดู
[4]) ดังนั้นเราสามารถพิสูจน์ได้ (K3) xx = x - x = E; (K4) XE = x - e = x;
X (K2) (XY) = x - (x - y) y = ตั้งแต่ (G; +) เป็นคริสต์กลุ่ม; (K1)
(XY) (XZ) = (x-y) - (x-z) = Z -y = ZY; (K5) อดีต = E-X = -x,
ซึ่งเป็นผกผันของ x ∈เอ็กซ์ดังนั้น (G; ·, E) เป็น K-พีชคณิต.
โดยใช้ทฤษฎีบท 3.8 และการสังเกตของเม้ง [4] เราสรุป:
โจทย์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางกลับกันสมมติว่า ( g ; E ) เป็นพีชคณิต BCI p-semisimple . ถ้าเรากำหนดx + y : = x ( E Y ) แล้ว ( G ; + ) เป็นกลุ่มอาบีเลียนและ x y = x y − ( ดู[ 4 ] ) ดังนั้นเราสามารถพิสูจน์ ( K3 ) x x = x − x = e ; ( ทาง ) x E = x = − e x ;( K2 ) x ( x y ) = x ( x = −− Y ) Y ( G ; + ) เนื่องจากเป็นกลุ่มอาบีเลียน ( K1 )( xy ) ( ระนาบ ) = ( x y −− ( − Z ) x ) = − Z Y = Z y ; e ( เสียใจ ) = E = −− X Xซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของ X ( g ; X . ดังนั้น∈ Suite , E ) คือ k-algebra .โดยใช้ทฤษฎีบท 3.8 และเหมิงการสังเกต [ 4 ] เราสรุปว่าข้อเสนอ