Combinatorics of labelled parallelo

Combinatorics of labelled parallelogram
polyominoes ✩
J.-C. Aval a, F. Bergeron b, A. Garsia c
a LaBRI, CNRS, Université de Bordeaux, 351 Cours de la Libération, Bordeaux,
France
b Département de Mathématiques, UQAM, C.P. 8888, Succ. Centre-Vil le,
Montréal, H3C 3P8, Canada c Department of Mathematics, UCSD, United States
a r t i c l e i n f o a b s t r a c t
Article history:
Received 15 May 2013
Available online 19 December 2014
Keywords:
Parallelogram polyominoes
Representation theory
Macdonald polynomials
We obtain explicit formulas for the enumeration of labelled
parallelogram polyominoes. These are the polyominoes that
are bounded, above and below, by north-east lattice paths
going from the origin to a point (k, n). The numbers from
1 to n (the labels) are bijectively attached to the n north
steps of the above-bounding path, with the condition that
they appear in increasing values along consecutive north steps.
We calculate the Frobenius characteristic of the action of the
symmetric group Sn on these labels. All these enumeration
results are refined to take into account the area of these
polyominoes. We make a connection between our enumeration
results and the theory of operators for which the integral
Macdonald polynomials are joint eigenfunctions. We also
explain how these same polyominoes can be used to explicitly
construct a linear basis of a ring of SL2-invariants.
© 2014 Published by Elsevier Inc.
✩ This work has been supported by ANR-France (PSYCO project ANR-11-JS02-001), by CNRS-France
(LIA LIRCO), by NSERC-Canada and by NSF-USA (NSF DMS10-68883).
E-mail address: [e-mail] (J.-C. Aval).
http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2014.12.003
0097-3165/© 2014 Published by Elsevier Inc.J.-C. Aval et al. / Journal of Combinatorial Theory, Series A 132 (2015) 32–57 33
Contents
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Paths and labelled paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Parallelogram polyominoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Parallelogram polyominoes, as indexing set of SL2-invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Labelled parallelogram polyominoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6. Doubly labelled polyominoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Operators and Macdonald polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8. Formula for the q-Frobenius characteristic of the labelled polyomino module . . . . . . . . . . . 51
9. Thanks and future considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ 57
1. Introduction
Parallelogram polyominoes have been studied by many authors (see [5,11,8] for a nice
survey and enumeration results). They correspond to pairs π = (α, β) of north-east
paths going from the origin to a point (k, n) in the combinatorial plane N × N, with
the path α staying “above” the path β. Our aim here is to study properties, and related
nice formulas, of “labelled parallelogram polyominoes”. These are obtained by bijectively
labelling each of the n north steps of the path α with the numbers between 1 and n.
Our motivation stems from a similarity between this new notion and recent work on
labelled intervals in the Tamari lattice, in connection with the study of trivariate diagonal
harmonic polynomials for the symmetric group (see [4]).
We calculate explicitly the Frobenius characteristic of the natural action of the symmetric
group Sn on these labelled polyominoes; and study aspects of a weighted version
of this Frobenius characteristic with respect to the area of the polyominoes. This connects
our study to interesting operators for which adequately normalized Macdonald
polynomials are joint eigenfunctions. This is the same theory that appears in the study
of the Sn-module of bi-variate diagonal harmonics (see [13,14,10]).
We also extend some of our considerations to parallelogram polyominoes, with added
labels on east steps of the below-bounding path; with a corresponding action of the group
Sk × Sn. Several components of these spaces are naturally related to parking function
modules.
2. Paths and labelled paths
Let k and n be two positive integers and set N = k + n. A k × n north-east (lattice)
path in N × N is a sequence α = (p0, ..., pi, ...pN ) of points pi = (xi, yi) in N × N, with
p0 = (0, 0) and pN = (k, n), and such that
(xi+1, yi+1) = (xi, yi) + (1, 0) an east step, or
(xi, yi) + (0, 1) a north step.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณิตศาสตร์เชิงการจัดของมันสี่เหลี่ยมด้านขนานpolyominoes ✩J. C. Aval a, F. Bergeron b, c A. Garsiaการ LaBRI, CNRS, Université de Bordeaux, la 351 ผับ de Libération บอร์โดซ์ฝรั่งเศสบี Département de Mathématiques, UQAM, C.P. 8888, Succ ศูนย์ Vil เลอมอนทรีออ UCSD 3P 8 แคนาดา c ภาควิชาคณิตศาสตร์ H3C สหรัฐอเมริกาr t ฉัน c l e ฉัน n f o เป็น b s t r c tบทความประวัติ:ได้รับ 15 2013 พฤษภาคมมีออนไลน์ 19 2557 ธันวาคมคำสำคัญ:Polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนานนำเสนอทฤษฎีแมคโดนัลด์ polynomialsเราได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับการแจงนับของมันpolyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน มี polyominoes การที่ล้อมรอบ ด้านบน และด้าน ล่าง โดยเส้นทางตะวันออกเฉียงเหนือโครงตาข่ายประกอบจากจุดเริ่มต้นไปยังจุด (k, n) หมายเลขจาก1 n (ป้ายชื่อ) จะ bijectively กับทิศเหนือ nขอบด้านบนเส้นทาง มีขั้นตอนที่ปรากฏในการเพิ่มค่าตามขั้นตอนต่อเนื่องเหนือเราคำนวณโฟรเบนีอุสลักษณะของการดำเนินการกลุ่มสมมาตร Sn บนป้ายชื่อเหล่านี้ แจงนับเหล่านี้ทั้งหมดผลลัพธ์จะกลั่นถึงบริเวณเหล่านี้polyominoes เราทำการเชื่อมต่อระหว่างการแจงนับของเราผลและทฤษฎีของตัวดำเนินการที่ทฤษฎีบูรณาการการแมคโดนัลด์ polynomials eigenfunctions ร่วมกัน เรายังอธิบายวิธีเหล่านี้ polyominoes เดียวกันสามารถใช้อย่างชัดเจนสร้างพื้นฐานเส้นแหวนของ SL2 invariants© ประกาศ 2014 โดย Elsevier อิงค์✩สนับสนุนงานนี้ โดยเอ็นฝรั่งเศส (ไซโคโครงการเอ็น-11-JS02-001), โดย CNRS ประเทศฝรั่งเศส(LIA LIRCO), NSERC-แคนาดา และโดย NSF-สหรัฐอเมริกา (NSF DMS10-68883)ที่อยู่อีเมล์: [e-mail] (J. C. Aval)http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2014.12.0030097-3165 / © 2014 เผยแพร่โดย Elsevier Inc.J-ซี Al. ร้อยเอ็ด aval / สมุดรายวันของปัญหาทฤษฎี ชุดที่ 132 (2015) 33 32 – 57เนื้อหา1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332. Paths and labelled paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. สี่เหลี่ยมด้านขนาน polyominoes............................................. 364. polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นชุดดัชนีของ SL2 invariants...................... 395. มัน polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน....................................... 426. สองเหตุการณ์มัน polyominoes........................................... . 467. ผู้ประกอบการและแมคโดนัลด์ polynomials.................................... . 488. สูตรสำหรับลักษณะโฟรเบนีอุส q ของโมดูล polyomino มัน.............. 519. ขอบคุณ และข้อพิจารณาในอนาคต......................................... 56References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ 571. บทนำมีการศึกษา polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยมากผู้เขียน (ดู [5,11,8] ดีสำรวจแจงนับผล) พวกเขาตรงกับคู่π = (α β) ของตะวันออกเฉียงเหนือเส้นทางที่ไปจากจุดเริ่มต้นไปยังจุด (k, n) ในระนาบปัญหา N × N ด้วยαการเส้นทางที่อยู่ "เหนือ" βเส้นทาง เป้าหมายของเราคือการ ศึกษาคุณสมบัติ และที่เกี่ยวข้องดีสูตร ของ "สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มัน polyominoes" เหล่านี้จะได้รับ โดย bijectivelyฉลากแต่ละขั้นตอนเหนือ n ของαเส้นทาง ด้วยหมายเลขระหว่าง 1 ถึง nแรงจูงใจมาจากความคล้ายคลึงกันระหว่างแนวคิดใหม่นี้และล่าสุดงานในช่วงเวลามันในการซีอิ้วญี่ปุ่นโครงตาข่ายประกอบ กับการศึกษาของ trivariate ขวางpolynomials มีค่าสำหรับกลุ่มสมมาตร (ดู [4])เราคำนวณอย่างชัดเจนลักษณะของการกระทำตามธรรมชาติของการสมมาตรโฟรเบนีอุสกลุ่ม Sn polyominoes มันเหล่านี้ และศึกษาแง่มุมของแบบถ่วงน้ำหนักของนี้ลักษณะโฟรเบนีอุสกับพื้นที่ของ polyominoes นี้เชื่อมต่อเราศึกษาเพื่อผู้ประกอบการสนใจที่เพียงพอตามปกติแมคโดนัลด์polynomials eigenfunctions ร่วมกัน เป็นทฤษฎีเดียวกันกับที่ปรากฏในการศึกษาSn-โมของ bi variate นิคส์เส้นทแยงมุม (ดู [13,14,10])เรายังขยายบางส่วนของสี่เหลี่ยมด้านขนาน polyominoes เราควรมีเพิ่มป้ายชื่อในตอนตะวันออกของเส้นขอบด้านล่าง มีการดำเนินการที่สอดคล้องกันของกลุ่มSk × Sn ส่วนประกอบต่าง ๆ ของเหล่านี้ธรรมชาติเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่จอดรถโมดูล2. เส้นทางและเส้นทางมันให้ k และ n เป็นจำนวนเต็มบวก 2 และ N = k + n K × n-ตะวันออกเฉียงเหนือ (โครงตาข่ายประกอบ)เส้นทางใน N × N คือ αลำดับ = (p0,..., ผี, ... .pN) ของพี่จุด = (xi, yi) N × N ด้วยp0 = (0, 0) และ pN = (k, n), และที่(ซี + 1 ยี่ + 1) = (xi, yi) + (1, 0) มีขั้นตอนตะวันออก หรือ(xi, yi) + (0, 1) ขั้นตอนเหนือ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Combinatorics ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีข้อความ
polyominoes ✩
J. -C. การรับอาวัลเอฟรอนขอ Garsia ค
labri, CNRS, Université de Bordeaux, 351 Cours De La Liberation, Bordeaux,
France
ขDépartement de Mathématiques, UQAM, CP 8888, Succ ศูนย์ Vil le,
มอนทรีออ, H3C 3P8 แคนาดาคภาควิชาคณิตศาสตร์ UCSD, สหรัฐอเมริกา
rticleinfoabstract
ประวัติศาสตร์บทความ
ที่ได้รับ 15 พฤษภาคม 2013
พร้อมให้บริการออนไลน์ 19 ธันวาคม 2014
คำสำคัญ:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน polyominoes
แทนทฤษฎี
พหุนาม Macdonald
เราได้รับสูตรอย่างชัดเจนสำหรับการแจงนับ ติดป้าย
polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน เหล่านี้เป็น polyominoes ที่
จะกระโดดด้านบนและด้านล่างโดยเส้นทางตาข่ายตะวันออกเฉียงเหนือ
ไปจากแหล่งกำเนิดไปยังจุด (k, n) ตัวเลขจาก
1 ถึง n (ป้าย) ที่แนบมา bijectively ไปทางทิศเหนือ n
ขั้นตอนของเส้นทางดังกล่าวข้างต้นขอบเขตด้วยเงื่อนไขที่ว่า
พวกเขาจะปรากฏในการเพิ่มค่าไปตามขั้นตอนทางทิศเหนือติดต่อกัน.
เราคำนวณลักษณะ Frobenius ของการกระทำของ
สมมาตร กลุ่ม Sn บนฉลากเหล่านี้ ทั้งหมดเหล่านี้การนับ
ผลที่ได้จากการกลั่นที่จะคำนึงถึงพื้นที่เหล่านี้
polyominoes เราทำให้การเชื่อมต่อระหว่างการนับของเรา
ผลและทฤษฎีของผู้ประกอบการที่สำคัญ
มีหลายชื่อ Macdonald มี eigenfunctions ร่วมกัน นอกจากนี้เรายัง
อธิบายวิธี polyominoes เดียวกันนี้สามารถนำมาใช้อย่างชัดเจน
สร้างพื้นฐานเชิงเส้นของแหวน SL2-invariants.
© 2014 เผยแพร่โดยเอลส์อิงค์
✩งานนี้ได้รับการสนับสนุนโดย ANR-ฝรั่งเศส (Psyco โครงการ ANR-11-JS02- 001) โดย CNRS ฝรั่งเศส
(LIA LIRCO) โดย NSERC แคนาดาและโดย NSF-สหรัฐอเมริกา (NSF DMS10-68883).
E-mail address:. [e-mail] (J. -C. อาวัล)
http: / /dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2014.12.003
0097-3165 / © 2014 เผยแพร่โดยเอลส์ Inc.J. -C. อาวัลและคณะ / วารสาร Combinatorial ทฤษฎีซีรี่ส์ 132 (2015) 32-57 33
สารบัญ
1 การแนะนำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. เส้นทางและเส้นทางที่มีข้อความ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. สี่เหลี่ยมด้านขนาน polyominoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นชุดของการจัดทำดัชนี SL2-invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. ป้าย polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6. polyominoes ติดป้ายทวีคูณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. ผู้ประกอบการและมีหลายชื่อ Macdonald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8. สูตรสำหรับลักษณะ Q-Frobenius ของโมดูล polyomino ติดป้าย . . . . . . . . . . 51
9. ขอขอบคุณและขอพิจารณาในอนาคต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
อ้างอิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ 57
1. บทนำ
สี่เหลี่ยมด้านขนาน polyominoes ได้รับการศึกษาโดย หลายคนเขียน (ดู [5,11,8] สำหรับความสุข
และผลการสำรวจการแจงนับ) พวกเขาสอดคล้องกับคู่ = π (α, β) ของภาคตะวันออกเฉียงเหนือ
เส้นทางไปจากแหล่งกำเนิดไปยังจุด (k, n) ในระนาบ combinatorial N รยังไม่มีข้อความที่มี
เส้นทางαพักอยู่ "เหนือ" βเส้นทาง เป้าหมายของเราที่นี่คือการศึกษาคุณสมบัติและที่เกี่ยวข้องกับ
สูตรที่ดีของ "ติดป้าย polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนาน" เหล่านี้จะได้รับจากการ bijectively
ติดฉลากแต่ละขั้นตอนเหนือของเส้นทาง n αกับตัวเลขระหว่าง 1 และ n.
แรงจูงใจของเราเกิดจากความคล้ายคลึงกันระหว่างความคิดใหม่นี้และการทำงานที่ผ่านมาใน
ช่วงเวลาที่มีข้อความในตาข่าย Tamari ในการเชื่อมต่อกับการศึกษา ของ trivariate เส้นทแยงมุม
หลายชื่อฮาร์โมนิสำหรับกลุ่มสมมาตร (ดู [4]).
เราคำนวณอย่างชัดเจนลักษณะ Frobenius ของการกระทำตามธรรมชาติของสมมาตร
กลุ่ม Sn ใน polyominoes ติดป้ายเหล่านี้ และการศึกษาลักษณะของการถ่วงน้ำหนักรุ่น
นี้ลักษณะ Frobenius ด้วยความเคารพไปยังพื้นที่ของ polyominoes นี้เชื่อมต่อ
การศึกษาของเรากับผู้ประกอบการที่น่าสนใจที่เพียงพอ Macdonald ปกติ
หลายชื่อเป็น eigenfunctions ร่วมกัน นี้เป็นทฤษฎีเดียวกับที่ปรากฏในการศึกษา
ของ Sn โมดูลของสอง variate ประสานในแนวทแยง (ดู [13,14,10]).
นอกจากนี้เรายังขยายบางส่วนของการพิจารณาของเราที่จะ polyominoes สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเพิ่ม
ป้ายในขั้นตอนทางทิศตะวันออกของ เส้นทางด้านล่างขอบเขต; ที่มีการดำเนินการที่สอดคล้องกันของกลุ่ม
Sk × Sn องค์ประกอบหลายพื้นที่เหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับการทำงานตามธรรมชาติที่จอดรถ
โมดูล.
2 เส้นทางและเส้นทางที่มีข้อความ
ให้ k และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและตั้งจำนวน = k + n k × n ตะวันออกเฉียงเหนือ (ตาข่าย)
เส้นทางใน N ร N คือลำดับα = (p0 ... , ปี่ ... pN) ของจุดปี่ = (Xi, Yi) ใน N ร N กับ
p0 = (0, 0) และ PN = (k, n), และเช่นนั้น
(XI + 1, ยี่ + 1) = (XI, ยี่) + (1, 0) ขั้นตอนที่ทางทิศตะวันออกหรือ
(XI, ยี่) + (0, 1) ขั้นตอนเหนือ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คณิตศาสตร์เชิงการจัดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี✩
J
รูปหลายเหลี่ยม - C . F . Bergeron อาวัล , B , A . การ์ซ่า C
เป็น labri cnrs é de Bordeaux , มหาวิทยาลัย , 351 lib é ration de la ที่ บอร์โดซ์ ประเทศฝรั่งเศส

b d é partement de คณิตศาสตร์และ matiques uqam บริษัท 8888 ลูสกร็องซูกเซ , , , . ศูนย์บริการบ้านพักเลอ ,
มนตรี ) อัล อัน 3p8 แคนาดา c ภาควิชาคณิตศาสตร์ , UCSD , สหรัฐอเมริกา
r t i C L E ( F O B S T R A C T :

บทความประวัติศาสตร์ได้รับ 15 พ.ค.
ออนไลน์ 19 ธันวาคม 2014
คำสำคัญ :

ทฤษฎีสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหลายเหลี่ยม

เราขอรับสูตรพหุนาม Macdonald ที่ชัดเจนสำหรับการติดป้าย
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหลายเหลี่ยม . เหล่านี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่
ถูกล้อมรอบที่ด้านบนและด้านล่าง โดยภาคตะวันออกเฉียงเหนือตารางเส้นทาง
จากต้นทางไปยังจุด ( K ( , n ) ตัวเลขจาก
1 N ( ป้ายชื่อ ) bijectively แนบกับ N เหนือ
ขั้นตอนข้างบนวิ่งเส้นทาง ด้วยเงื่อนไขที่พวกเขาปรากฏขึ้นในการเพิ่มคุณค่าด้วย

เราคำนวณเหนือขั้นตอนต่อเนื่องกัน ลักษณะของการกระทำของโฟรเบนีอุส
SN กลุ่มสมมาตรบนป้ายชื่อเหล่านี้ ทั้งหมดเหล่านี้แจง
ผลการกลั่นให้พิจารณาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้

เราทำการเชื่อมต่อระหว่างผลการนับ
ของเรา และทฤษฎี ของผู้ประกอบการ ซึ่งครบถ้วน
MacDonald พหุนามเป็น eigenfunctions ร่วมกัน เรายัง
อธิบายว่ารูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้สามารถใช้อย่างชัดเจน
สร้างพื้นฐานเชิงเส้นของแหวนของ sl2 ผลยืนยง .
สงวนลิขสิทธิ์เผยแพร่โดยเอลส์ในปี 2014 )
✩งานนี้ได้รับการสนับสนุนโดย ANR ฝรั่งเศส ( โครงการ anr-11-js02-001 ไซโค )โดย cnrs ฝรั่งเศส
( เลีย lirco ) โดย nserc แคนาดาและ nsf-usa ( NSF dms10-68883 )
e - mail address : [e-mail] ( J - C อาวัล ) .
http : / / DX ดอย . org / 10.1016 / j.jcta . 2014.12.003
0097-3165 / สงวนลิขสิทธิ์เผยแพร่โดยเอลส์ในปี 2014 inc.j. - C อาวัล et al . วารสารของทฤษฎี ชุดเป็น 132 ( 2015 ) 32 – 57 33
เนื้อหา
1 แนะนำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 เส้นทางและชื่อเส้นทาง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหลายเหลี่ยม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหลายเหลี่ยมเป็นดัชนีชุด sl2 ผลยืนยง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีรูปหลายเหลี่ยม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 ทวีคูณข้อความรูปหลายเหลี่ยม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 ผู้ประกอบการและแมคโดนัลด์พหุนาม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8สูตรสำหรับลักษณะ q-frobenius ของข้อความ polyomino โมดูล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 ขอบคุณ และอนาคต พิจารณา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
การอ้างอิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ 57
1 บทนำ
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Name ได้รับการศึกษาโดยผู้เขียนหลายคน ( เห็น 5,11,8 ดี
[ ] สำหรับการสำรวจและการผล พวกเขาสอดคล้องกับคู่π = ( αบีตา , ) ของภาคตะวันออกเฉียงเหนือ
เส้นทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุด ( K ( , n ) ในการเครื่องบิน n × n ,
เส้นทางαอยู่ " เหนือ " เส้นทางบีตา . เป้าหมายของเราคือเพื่อศึกษาคุณสมบัติและที่เกี่ยวข้องกับ
สูตรดี" ชื่อของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน Name " เหล่านี้จะได้รับโดย bijectively
ฉลากของแต่ละขั้นตอนของเส้นทางที่อยู่เหนือαกับตัวเลขระหว่าง 1 และ N .
แรงจูงใจของเราเกิดจากความเหมือนระหว่างนี้ความคิดใหม่และผลงานล่าสุดใน
labelled ช่วงเวลาใน tamari ขัดแตะในการเชื่อมต่อกับการศึกษา trivariate เส้นทแยงมุม
ฮาร์นที่สําหรับกลุ่มสมมาตร ( ดู
[ 4 ] )เราคำนวณอย่างชัดเจน ลักษณะของการกระทำที่เป็นธรรมชาติของโฟรเบนีอุส SN
กลุ่มสมมาตรเหล่านี้ข้อความรูปหลายเหลี่ยม และศึกษาลักษณะของน้ำหนักรุ่น
ลักษณะโฟรเบนีอุสนี้ด้วยความเคารพพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม . นี้เชื่อมต่อกับ
การศึกษาของเรากับผู้ประกอบการที่น่าสนใจซึ่งเพียงพอทีปพหุนาม MacDonald
เป็น eigenfunctions ร่วมกันนี่เป็นทฤษฎีเดียวกันที่ปรากฏในการศึกษา
ของ SN โมดูล ของ บี variate เส้นทแยงมุมฮาร์มอนิก ( ดู [ 13,14,10 ] )
เรายังขยายบางส่วนของการพิจารณาของเรารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหลายเหลี่ยมที่มีเพิ่ม
ป้าย ทิศตะวันออก ขั้นตอนของด้านล่าง วิ่งเส้นทาง ด้วยการกระทำที่สอดคล้องกันของกลุ่ม
SK × SN . ส่วนประกอบต่างๆของเป็นเหล่านี้เป็นธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับโมดูลฟังก์ชันที่จอดรถ
.
2เส้นทางและชื่อเส้นทาง
ให้ k และ n เป็นจำนวนเต็มและสองบวกชุด N = k . k × N ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ ( lattice )
n × n เป็นเส้นทางในลำดับα = ( P0 , . . . . . . . เมื่อ . . . . . . . ? ) จุด PI = ( ซีอี ) ใน n × n ,
PO = ( 0 , 0 ) และ PN = ( K ( , n ) และเช่นที่
( ซี 1 อี 1 ) = ( ซีอี ) ( 1 , 0 ) ขั้นตอนตะวันออกหรือ
( ซีอี ) ( 0 , 1 ) ขั้นตอนที่เหนือ