Throughout this paper, all graphs c

Throughout this paper, all graphs considered are finite, undirected, loopless
and without multiple edges. We refer the reader to [2] for terminology in graph
theory. A k-coloring of a graph G is a labeling f : V (G) → T, where |T| = k
and it is proper if adjacent vertices have different labels. A graph is k-colorable
if it has a proper k-coloring. The chromatic number χ(G) is the least k such
that G is k-colorable [2].
Definition [2]. The Harary graph Hk,n is defined as follows:
Case 1. k even. Let k = 2r, then H2r,n is constructed as follows:
It has vertices 0,1,...,n−1 and two vertices i and j are joined if i−r ≤ j ≤ i+r
(where addition is taken modulo n).
Case 2. k odd and n even. Let k = 2r + 1, then the H2r+1,n is constructed by

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทั้งนี้กระดาษ กราฟทั้งหมดที่ถือว่ามีจำกัด undirected, looplessโดยไม่มีขอบหลาย เราอ้างอิงผู้อ่าน [2] สำหรับคำศัพท์กราฟทฤษฎีการ K สีของกราฟ G คือ f ติดฉลาก: V (G) → T ที่ |T| = kและไม่เหมาะสมถ้าข้าง ๆ มีป้ายชื่อที่แตกต่างกัน กราฟเป็น k colorableถ้ามีสี k เหมาะสม Χ(G) หมายเลขเครื่องตั้งสายเป็นอย่างน้อย k ดังกล่าวว่า G คือ k colorable [2]คำจำกัดความ [2] กราฟ Harary Hk, n ถูกกำหนดเป็นดังนี้:กรณีที่ 1 แม้แต่ k ให้ k = 2r แล้ว H2r, n จะสร้างต่อไปนี้:มีเฉพาะจุดยอด 0,1,..., n−1 และจุดยอดทั้งสองที่ผมและเจถูกรวมถ้า i−r ≤ j ≤ฉัน + r(ที่นี้สามารถถ่าย modulo n)กรณีที่ 2 k คี่ และ n จะ ให้ k = 2r + 1 แล้ว H2r + 1, n ถูกสร้างขึ้นโดย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตลอดกระดาษนี้กราฟทั้งหมดถือว่ามี จำกัด ไม่มีทิศทาง, loopless
และไม่มีขอบหลาย เราเรียกผู้อ่าน [2] สำหรับคำศัพท์ในกราฟ
ทฤษฎี k-สีของกราฟ G เป็นการติดฉลาก f: V (G) → T ที่ | T | k =
และมันเป็นเรื่องที่เหมาะสมถ้าจุดที่อยู่ติดกันมีป้ายชื่อที่แตกต่างกัน กราฟเป็น k-มีสี
ถ้ามันมีที่เหมาะสม k-สี สีจำนวนχ (G) เป็นอย่างน้อย k ดังกล่าว
ว่า G เป็น k-มีสี [2].
ความหมาย [2] กราฟ Harary HK, n ที่กำหนดไว้ดังต่อไปนี้
1. กรณี k แม้ ให้ k = 2r แล้ว H2R, n จะถูกสร้างขึ้นดังต่อไปนี้
มันมีจุด 0,1, ... , n-1 และสองจุด i และ j จะเข้าร่วมถ้าฉัน-R ≤≤ J ฉัน + R
(ซึ่งนอกจากเป็น นำโมดูโล n).
กรณี 2. k แปลกและ n แม้ ให้ k = 2r + 1 แล้ว H2R + 1, n ถูกสร้างโดย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตลอดบทความนี้ทั้งหมด ถือว่าเป็น undirected กราฟจำกัด , และหลาย loopless
ไม่มีขอบ เราหมายถึงผู้อ่าน [ 2 ] สำหรับคำศัพท์ทฤษฎีกราฟ

เป็น k-coloring ของกราฟ G เป็นฉลาก f : V ( G ) → keyboard - key - name ที่ | T T | = k
และมันเหมาะสมถ้าติดจุดมีป้ายต่าง ๆ กราฟเป็น k-colorable
ถ้ามันมี k-coloring เหมาะสม การχหมายเลขรงค์ ( G ) เป็นอย่างน้อย
K เช่นที่ G เป็น k-colorable [ 2 ] .
นิยาม [ 2 ] กราฟ harary HK N เป็นดังนี้ :
กรณี 1 K . ให้ k = 2R แล้ว h2r , จะถูกสร้างขึ้น ดังนี้
มันมีจุด 0.1 , . . . , n − 1 และ 2 จุด และ เจ จะเข้าร่วมถ้า− R ≤ J ≤ผม R
( ที่นอกจากถ่ายมอดุโล n )
2 กรณี K คี่และแม้แต่ ให้ k = 2R 1 แล้ว h2r 1 , จะถูกสร้างขึ้นโดย