Let R be a ring with 1, M2(R) the r

Let R be a ring with 1, M2(R) the ring of 2 × 2 matrices over R,
and S the Sugano quaternion ring over R. Then, S is isomorphic with
a subring of M2(R) if and only if 2 is not a zero divisor in R, and
S
∼=
M2(R) if and only if 2 is invertible in R. Moreover, if 2 is invertible
in R, then M2(R) is a Galois extension of R with an abelian inner Galois
group G of order 4. This implies that the rings of 2 × 2 matrices over
the real field and complex field are central Galois algebras induced by
the central Galois algebra of 2 × 2 matrices over the rational field with
Galois group G.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ R เป็นแหวนกับ 1, M2(R) แหวน 2 × 2 เมทริกซ์ผ่าน Rและแหวนควอเทอร์เนียน Sugano ผ่านอาร์ แล้ว S คือ isomorphic ด้วยsubring ของ M2(R) และ ถ้า 2 จะไม่มีศูนย์หารใน R และS∼=M2(R) และ ถ้า 2 จะสามารถหาอินเวอร์สในอาร์ นอกจากนี้ ถ้า 2 สามารถหาอินเวอร์สR แล้ว M2(R) มีต่อ Galois ของ R ด้วยภายในอาบีเลียน Galoisกลุ่ม G สั่ง 4 นี้หมายถึงการที่แหวนของ 2 × 2 เมทริกซ์มากกว่าจริงและซับซ้อนมี algebras Galois กลางที่เกิดจากพีชคณิต Galois กลางของ 2 × 2 เมทริกซ์ผ่านฟิลด์เชือดด้วยกลุ่ม Galois กรัม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ R เป็นแหวน 1, M2 (R) แหวน 2 × 2 การฝึกอบรมมากกว่า R,
S และแหวน quaternion Sugano มากกว่าอาร์จากนั้น S เป็น isomorphic กับ
subring ของ M2 (R) และถ้าหาก 2 ไม่ได้เป็นตัวหารเป็นศูนย์ใน R และ
S
= ~
M2 (R) และถ้าหาก 2 กลับด้านในอาร์นอกจากนี้หากเป็น 2 กลับด้าน
ใน R แล้ว M2 (R) เป็นส่วนขยายของ Galois R กับลัวส์ด้านในศาสนาคริสต์
กลุ่ม G ของการสั่งซื้อ 4. นี่ก็หมายความว่าแหวน 2 × 2 การฝึกอบรมกว่า
สนามจริงและสนามที่ซับซ้อนจีบกลาง Galois เกิดจาก
พีชคณิตกลาง Galois 2 × 2 การฝึกอบรมมากกว่าเขตที่มีเหตุผลกับ
ลัวส์กลุ่มจี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

I went to the department store sales food every day.I went to the department store sales food every day.