Let G = (V, E) be a simple graph, w

Let G = (V, E) be a simple graph, with vertex set V and edge set E. A subset F ⊂ V(G) is called a decycling set if the
subgraph G−F is acyclic, that is, if G−F is a forest. The minimum cardinality of a decycling set is called the decycling number
(or feedback number) of G, which is proposed first by Beineke and Vandell [3]. A decycling set of this cardinality is called a
minimum decycling set (or feedback set).
Determining the decycling number of a graph G is equivalent to finding the greatest order of an induced forest of G
proposed first by Erdős, Saks and Sós [4], since the sum of the two numbers equals the order of G. A review of several results
and open problems on the decycling number was provided by Bau and Beineke [2].
In fact, the problem of finding the decycling number is NP-hard for graphs in general [7] (also see [6]). The best known
approximation algorithm for this problem has approximation ratio 2 [1].
Determining the decycling number is quite difficult even for some elementary graphs. We refer the reader to an original
research paper [3] for some results. Bounds on the decycling numbers have been established for some well-known graphs,
such as hypercubes [5], star graphs [9], (n, k)-star graphs [10], distance graphs and circulant graphs [8].
In this paper, we consider a particular topology graph called a generalized Petersen graph. We use ∇(Pn,k) to denote the
decycling number of Pn,k, this paper proves that ∇(Pn,k) = ⌈ n+1
2
⌉(n ̸= 2k), ∇(P2k,k) = ⌈ k+1
2
⌉. The proof of the result is in
Section 3. In Section 2, we obtain a lower bound of decycling number of Pn,k.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ G = (V, E) เป็นกราฟอย่างง่าย จุดยอด V และขอบตั้งอี ⊂ย่อย F V(G) เรียกว่าชุด decycling ถ้าการsubgraph G−F เป็น acyclic คือ ถ้า G−F ป่า เรียกว่าจำนวนนับที่น้อยที่สุดของชุด decycling หมายเลข decycling(หรือจำนวนความคิดเห็น) ของ G ซึ่งเสนอครั้งแรก โดย Beineke และ Vandell [3] ชุด decycling ของจำนวนนับนี้เรียกว่าการตั้งค่า decycling ที่ต่ำสุด (หรือชุดคำติชม)กำหนดกราฟ G จำนวน decycling จะเท่ากับการค้นหาลำดับต้น ๆ ของการเกิดป่าของ Gเสนอครั้งแรก โดย Erdős, Saks และ Sós [4], เนื่องจากผลบวกของจำนวนสองจำนวนเท่ากับลำดับของกรัม รีวิวผลหลายและปัญหาเปิดหมายเลข decycling ได้รับจากบัวและ Beineke [2]ในความเป็นจริง ปัญหาของการค้นหาหมายเลข decycling เป็น NP ยากสำหรับกราฟโดยทั่วไป [7] (ยังดู [6]) ที่รู้จักกันดีอัลกอริทึมประมาณสำหรับปัญหานี้มีอัตราส่วนประมาณ 2 [1]การกำหนดหมายเลข decycling ได้ค่อนข้างยากสำหรับกราฟบางประถม เราถึงอ่านต้นฉบับวิจัย [3] สำหรับผลลัพธ์บางอย่าง มีการกำหนดขอบเขตหมายเลข decycling สำหรับกราฟบางรู้จักhypercubes [5], [9] ดาวกราฟ, (n, k) - [10] กราฟ กราฟระยะทาง และกราฟ circulant [8]ในกระดาษนี้ เราพิจารณากราฟโทโพโลยีเฉพาะที่เรียกว่ากราฟ Petersen ทั่วไป เราใช้ ∇(Pn,k) เพื่อใช้แทนหมายเลข decycling ของ Pn, k กระดาษนี้พิสูจน์ว่า ∇(Pn,k) =⌈ n + 12⌉ (n ̸ = 2k), ∇(P2k,k) =⌈ k + 12⌉การอ่านผลส่วนที่ 3 ในส่วนที่ 2 ที่เราได้รับขอบล่างของ Pn, decycling k

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ g = (V, E) เป็นกราฟที่เรียบง่ายกับจุดสุดยอดชุด V และขอบชุดอีส่วนหนึ่ง F ⊂ V (G) เรียกว่า decycling ตั้งถ้า
subgraph G-F เป็นวัฏจักรที่คือถ้า G- F เป็นป่า ขั้นต่ำ cardinality ชุด decycling เรียกว่าจำนวน decycling
(หรือข้อเสนอแนะจำนวน) ของ บริษัท จีซึ่งถูกเสนอครั้งแรกโดย Beineke และ Vandell [3] ชุด decycling ของ cardinality
นี้เรียกว่าชุดdecycling ต่ำสุด (หรือข้อเสนอแนะตั้งค่า).
กำหนดจำนวน decycling ของกราฟ G จะเทียบเท่ากับการหาลำดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของป่าเหนี่ยวนำของ G
เสนอครั้งแรกโดยแอร์ดิช, Saks และสัญญาณขอความช่วยเหลือ [4]
เนื่องจากผลรวมของตัวเลขสองเท่ากับคำสั่งของจีทบทวนผลหลายและปัญหาเปิดในจำนวนdecycling ให้ได้โดย Bau และ Beineke [2].
ในความเป็นจริงปัญหาการหาจำนวน decycling เป็น NP-ยาก สำหรับกราฟทั่วไป [7] (ดู [6]) ที่รู้จักกันดีขั้นตอนวิธีการประมาณสำหรับปัญหานี้มีอัตราส่วนประมาณ 2 [1]. กำหนดจำนวน decycling ค่อนข้างยากแม้สำหรับบางกราฟประถมศึกษา เราจะเรียกให้ผู้อ่านต้นฉบับงานวิจัย [3] สำหรับผลบางอย่าง ขอบเขตในตัวเลข decycling ได้รับการจัดตั้งขึ้นสำหรับบางกราฟที่รู้จักกันดีเช่นhypercubes [5] กราฟดาว [9] (n, k) กราฟ -star [10] กราฟระยะทางและกราฟ circulant [8]. ใน บทความนี้เราจะพิจารณากราฟโครงสร้างโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เรียกว่าปีเตอร์เสนกราฟทั่วไป เราใช้∇ (Pn, k) จะหมายถึงจำนวนdecycling ของ Pn, k บทความนี้พิสูจน์ให้เห็นว่า∇ (Pn, k) = ⌈ 1 + n 2 ⌉ (n ̸ = 2k) ∇ (P2K, k) = ⌈ k + 1 2 ⌉ หลักฐานของผลที่ได้คือในมาตรา 3 ในส่วนที่ 2 เราได้ผูกพันการลดลงของจำนวน decycling Pn, k