In early years, analytical methods

In early years, analytical methods were the only means available to render
mathematically an understanding of physical processes involving the moving boundary.
Although analytical methods offer an exact solution and are mathematically elegant, due to
their limitations, analytical solutions are mainly for the one-dimensional cases of an infinite
or semi-infinite region with simple initial and boundary conditions and constant thermal
properties [4]. Practical solidification and melting problems are rarely one dimensional,
initial and boundary conditions are always complex, thermophysical properties can vary with
phases, temperatures and concentration, and various transport mechanisms (for example,
convection, conduction, diffusion and radiation) can happen simultaneously. With the rise
of high-speed digital computers, mathematical modelling and computer simulation often
become the most economical and fastest approaches to provide a broad understanding
of the practical processes involving the moving boundary problems. Nowadays in most
engineering applications, recourse for solving the moving boundary problems has been
made to numerical analyses that utilize either finite difference, finite element of boundary
element methods. The success of finite element and boundary element methods lies in
their ability to handle complex geometries, but they are acknowledged to be more time
consuming in terms of computing and programming. Because of their simplicity in
formulation and programming, finite difference techniques are still the most popular at
the present.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในช่วงต้นปี วิธีวิเคราะห์ถูกวิธีเท่านั้นจะทำให้mathematically เข้าใจกระบวนทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตการเคลื่อนไหวถึงแม้ว่าวิธีการวิเคราะห์นำเสนอการแก้ปัญหาที่แน่นอน และฉลาด mathematically เนื่องข้อจำกัดของพวกเขา โซลูชั่นวิเคราะห์เป็นส่วนสำคัญสำหรับกรณี one-dimensional ของอนันต์หรือกึ่งอนันต์ภาคเริ่มต้นง่าย และเงื่อนไขขอบเขต และคงความร้อนคุณสมบัติ [4] Solidification ปฏิบัติและละลายปัญหามีน้อยมากหนึ่งมิติเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตมักซับซ้อน thermophysical คุณสมบัติแตกต่างกันด้วยระยะ อุณหภูมิ และความเข้มข้น และกลไกการขนส่งต่าง ๆ (ตัวอย่างพา นำ แพร่ และรังสี) สามารถเกิดขึ้นพร้อมกัน มีเพิ่มขึ้นคอมพิวเตอร์แบบดิจิตอลความเร็วสูง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการจำลองคอมพิวเตอร์มักเป็น วิธีประหยัดที่สุด และเร็วที่สุดเพื่อให้สร้างความเข้าใจกระบวนการปฏิบัติที่เกี่ยวข้องกับปัญหาขอบเขตเคลื่อนที่ ทุกวันนี้ในที่สุดวิศวกรรมประยุกต์ จัดเตรียมสำหรับการแก้ปัญหาขอบเขตเคลื่อนที่ได้ทำการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่ใช้ความแตกต่างการจำกัด จำกัดของขอบเขตองค์ประกอบวิธีการ ความสำเร็จขององค์ประกอบจำกัดขอบเขตองค์ประกอบอยู่ในความสามารถในการจัดการรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน แต่พวกเขาจะยอมรับเวลาเพิ่มเติมใช้คอมพิวเตอร์ และโปรแกรม เนื่องจากความเรียบง่ายของพวกเขาในกำหนดและการเขียนโปรแกรม เทคนิคผลต่างจำกัดได้รับความนิยมที่ยังคงมากที่สุดปัจจุบัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในช่วงปีแรก วิธีการวิเคราะห์เป็นวิธีเดียวของการสร้างภาพ
ทางคณิตศาสตร์มีความเข้าใจในกระบวนการทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับการย้ายอาณาเขต
ถึงแม้ว่าวิธีการวิเคราะห์เสนอโซลูชั่นที่แน่นอนและทางคณิตศาสตร์หรูหราเนื่องจาก
ข้อจำกัดการแก้ปัญหาวิเคราะห์เป็นหลักสำหรับกรณีมิติของอนันต์
หรือเขตกึ่งอนันต์กับง่ายเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตและสมบัติทางความร้อน
คงที่ [ 4 ] การหล่อหลอม ไม่ค่อยได้ปฏิบัติและปัญหาหนึ่งมิติ
เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตมักจะซับซ้อน สมบัติทางกายภาพและทางความร้อนสามารถเปลี่ยนกับ
ช่วงอุณหภูมิและความเข้มข้นและกลไกการขนส่งต่างๆ ( ตัวอย่างเช่น
การพาความร้อน การนำการแพร่กระจายและรังสี ) สามารถเกิดขึ้นพร้อมกัน ด้วยการเพิ่มขึ้นของเครื่องคอมพิวเตอร์ดิจิตอลความเร็วสูง
ทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองและการจำลองคอมพิวเตอร์มักจะ
เป็นวิธีที่ประหยัดที่สุดและเร็วที่สุดเพื่อให้กว้างความเข้าใจ
ของกระบวนการปฏิบัติที่เกี่ยวข้องกับการย้ายเขตแดนปัญหา ทุกวันนี้ในงานวิศวกรรมส่วนใหญ่
,