The Taniyama-Shimura conjecture, si

The Taniyama-Shimura conjecture, since its proof now sometimes known as the modularity theorem, is very general and important conjecture (and now theorem) connecting topology and number theory which arose from several problems proposed by Taniyama in a 1955 international mathematics symposium.

Let E be an elliptic curve whose equation has integer coefficients, let N be the so-called j-conductor of E and, for each n, let a_n be the number appearing in the L-function of E. Then, in technical terms, the Taniyama-Shimura conjecture states that there exists a modular form of weight two and level N which is an eigenform under the Hecke operators and has a Fourier series suma_nq^n.

In effect, the conjecture says that every rational elliptic curve is a modular form in disguise. Or, more formally, the conjecture suggests that, for every elliptic curve y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D over the rationals, there exist nonconstant modular functions f(z) and g(z) of the same level N such that

[f(z)]^2=A[g(z)]^2+Cg(z)+D.
Equivalently, for every elliptic curve, there is a modular form with the same Dirichlet L-series.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อความคาดการณ์ Taniyama Shimura ตั้งแต่หลักฐานนั้นตอนนี้ บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบท modularity ได้ข้อความคาดการณ์ทั่วไป และสำคัญ (และตอนนี้ทฤษฎีบท) เชื่อมต่อโครงสร้างและทฤษฎีจำนวนที่เกิดจากปัญหาต่าง ๆ ที่เสนอ โดย Taniyama ในวิชาการ 1955 คณิตศาสตร์นานาชาติให้ E เป็นโค้ง elliptic เป็นสมการที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ให้ N จะเรียกว่าเจคนอี และ a_n ละ n ให้เป็นหมายเลขที่ปรากฏในฟังก์ชัน L ของอี จากนั้น ในทางเทคนิค ข้อความคาดการณ์ Taniyama Shimura ระบุว่า มีโมดุลแบบน้ำหนักสองและระดับ N ซึ่งเป็น eigenform ภายใต้ผู้ประกอบการ Hecke และมี suma_nq อนุ ^ nผล ข้อความคาดการณ์กล่าวว่า ทุกโค้ง elliptic เชือดแบบโมดูลาร์ในการปลอมตัว หรือ ขึ้นอย่างเป็นกิจจะลักษณะ ข้อความคาดการณ์แนะนำ ที่สำหรับทุก y โค้ง elliptic ^ 2 = Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D ผ่าน rationals มีฟังก์ชันโมดูลาร์ nonconstant f(z) และ g(z) อยู่ในระดับเดียวกันกับ N ที่ [f(z)]^2=A[g(z)] ^ 2 + Cg (z) + D Equivalently สำหรับทุกโค้ง elliptic มีแบบโมดูลาร์กับ Dirichlet L-ชุดเหมือนกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การคาดเดา Taniyama-Shimura เนื่องจากหลักฐานในขณะนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทต้นแบบที่เป็นการคาดเดาทั่วไปมากและมีความสำคัญ (และทฤษฎีบทตอนนี้) การเชื่อมต่อ topology และทฤษฎีจำนวนที่เกิดขึ้นจากปัญหาหลายประการที่เสนอโดย Taniyama ในการประชุมสัมมนาคณิตศาสตร์นานาชาติ 1955. Let E เป็นโค้งรูปไข่ที่มีสมการมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มไม่มีให้เป็นที่เรียกว่าเจตัวนำของอีและสำหรับแต่ละ n ให้ a_n เป็นหมายเลขที่ปรากฏใน L-การทำงานของอีจากนั้นในแง่เทคนิค Taniyama การคาดเดา -Shimura ระบุว่ามีอยู่รูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนักที่สองและระดับเอ็นซึ่งเป็น eigenform ภายใต้ผู้ประกอบการ Hecke และมีชุดฟูริเย suma_nq ^ n. ผลการคาดเดาว่าทุกโค้งรูปไข่ที่มีเหตุผลเป็นรูปแบบโมดูลาร์ในการปลอมตัว . หรืออีกอย่างเป็นทางการคาดเดาได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับปีโค้งรูปไข่ทุก ^ 2 = Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D มากกว่า rationals มีอยู่หน้าที่ modular nonconstant f (ซี) และ g (ซี) ของเดียวกัน ระดับดังกล่าวที่ยังไม่มี[f (ซี)] ^ 2 = [กรัม (ซี)] ^ 2 + Cg (ซี) + D. เท่าสำหรับเส้นโค้งรูปไข่ทุกคนมีเป็นรูปแบบโมดูลาร์แบบเดียวกับที่ Dirichlet L-ชุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การ taniyama ชิมูระ การคาดเดา เนื่องจากหลักฐานตอนนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทต้นแบบ เป็นเรื่องทั่วไป และที่สำคัญ การคาดเดา ( และตอนนี้ทฤษฎีบท ) การเชื่อมต่อและทอพอโลยีทฤษฎีจำนวนซึ่งเกิดขึ้นจากหลายปัญหาที่เสนอโดย taniyama ใน 1955 การประชุมนานาชาติคณิตศาสตร์

ให้ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีที่มีสมการได้ค่าจำนวนเต็มให้ n เป็นสิ่งที่เรียกว่า j-conductor ของ E และแต่ละ N ให้ a_n เป็นหมายเลขที่ปรากฏใน l-function . แล้ว ในแง่เทคนิคการคาดเดา taniyama ชิมูระกล่าวว่า มีอยู่สองรูปแบบโมดูลาร์ของน้ำหนักและระดับ N ซึ่งเป็น eigenform ภายใต้ผู้ประกอบการ hecke และมีอนุกรมฟูเรียร์ suma_nq
N

ผลการคาดเดาว่าทุกโค้งรูปการแบบโมดูลาร์ในการปลอมตัว หรือมากกว่า ทางการ การคาดเดา ชี้ให้เห็นว่า ทุกๆรูปเส้นโค้ง y = ax
2
3
2 D สุดราคาถูกกว่า rationals มีฟังก์ชันโมดูล nonconstant F ( Z ) และ G ( Z ) ของระดับเดียวกัน ( เช่น

[ ]
2 f ( z ) = . G ( Z )
2 CG ( Z ) D .
ก้อง ทุกๆรูปโค้งมีแบบโมดูลาร์ กับ แอลซีรีย์ดีริชเลต์เดียวกัน