134 C.S. Ferreira, V.H. Lachos / St

134 C.S. Ferreira, V.H. Lachos / Statistical Methodology 33 (2016) 131–146
where d = (y−μ)2/σ 2 and Γ (·) is the gamma function. When ν ↑ ∞, we get the SN distribution
as the limiting case. Lastly, U|Y = y ∼ Gamma
 ν+1
2 , ν+d
2

.
• The skew slash distribution (SSL), denoted by SSL(μ, σ2, λ, ν), arises when κ(u) = 1/u and the
distribution of U is Beta(ν, 1), 0 < u < 1 and ν > 0. Its pdf is given by:
f (y) = 2ν
 1
0
uν−1φ

y; μ,
σ2
u

duΦ

λ
y − μ
σ

, y ∈ R. (8)
The skew slash distribution reduces to the SN distribution when ν ↑ ∞. It is easy to see that
U|Y = y ∼ TG(ν +1/2, d/2, 1), where TG(a, b, t) is the right truncated gamma distribution, with
pdf f (x|a, b, t) = ba
IG(a,bt) xa−1 exp(−bx)I(0,t)(x), IG(a, t) =
 t
0 ua−1e−udu is the incomplete gamma
function.
• The skew contaminated normal distribution (SCN), denoted by SCN(μ, σ2, λ, ν, γ ), 0 < ν < 1,
0 < γ < 1. Here, κ(u) = 1/u and U is a discrete random variable taking one of two states.
The probability density function of U, given the parameter vector τ = (ν, γ )⊤, is denoted by
h(u; τ) = νI(u=γ ) + (1 − ν)I(u=1), τ = (ν, γ )⊤. It follows then that:
f (y) = 2

νφ

y; μ,
σ2
γ

+ (1 − ν)φ(y; μ, σ2)

Φ

λ
y − μ
σ

. (9)
The skew contaminated normal distribution reduces to the SN distribution when γ = 1. The
conditional distribution U|Y = y is given by:
f (u|Y = y) =
1
f0(y)
{νφ(y; μ, σ2/γ )I(u=γ ) + (1 − ν)φ(y; μ, σ2)I(u=1)},
where f0(y) = νφ(y; μ, σ2/γ )I(u=γ ) + (1 − ν)φ(y; μ, σ2)I(u=1).
• The skew power-exponential distribution (SPE), denoted by SPE(μ, σ2, λ, ν), has pdf given by
f (y) = 2
ν
21/2νσΓ (1/2ν)
e−dν /2Φ

λ
y − μ
σ

, 0.5 < ν ≤ 1, (10)
which reduces to the SN distribution when ν = 1. Although we do not know the conditional
distribution of U|Y = y, Ferreira et al. [13] prove that:
E[κ−1(U)|Y = y] = νdν−1. (11)
It is important to stress that if Y ∼ SMSN(μ, σ2, λ; H), with location parameterμ, scale parameter
σ2 and skewness λ, its pdf is given by f (y) = 2
 ∞
0 φ(y; μ, u−1σ2)Φ

u1/2λy−μ
σ

dH(u; τ). Thus,
there is a substantial difference between the pdf of a SMSN distribution as in [16] and the pdf of
SSMN distribution defined in Eq. (5). So, although both classes extend the symmetric class of SMN
distributions to an asymmetric context, the particular elements, such as skew-t, skew-slash and
skew contaminated-normal have different characterizations. However, the SSMN class includes other
elements, such as the skew exponential-power distribution.
3. The SSMN nonlinear regression model and the EM algorithm
Suppose we have observations of n independent individuals, Y1, . . . , Yn. Associated with individual
i, we assume a known p × 1 covariate vector xi, which we use to specify the nonlinear predictor
μi = η(β, xi), where η(.) is an injective and twice continuously differentiable function with respect to
the vector of unknown regression coefficients β = (β1, . . . , βp)⊤, leading to the nonlinear regression
model (SSMN-NLM)
Yi = η(β, xi) + εi, i = 1, . . . , n, (12)
εi ∼ SSMN(0, σ2, λ; H, κ).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พบ 134 ซีเอส V.H. Lachos / สถิติวิธี 33 (2016) 131 – 146ที่ d = (y−μ) Γ (·) และ 2/σ 2 คือ ฟังก์ชันแกมมา เมื่อν↑∞ เราได้รับการแจก SNกรณีจำกัด สุดท้าย U | Y = y เดือนแกมมาΝ + 12 ν + d2.•การกระจายเอียงทับ (SSL), ระบุ โดย SSL (μ σ2 λ ν), เกิดเมื่อ κ(u) = 1/u และการกระจายของ U เป็นรุ่นเบต้า (ν 1), 0 < u < 1 และν > 0 Pdf ถูกกำหนดโดย:f (y) = 2ν 10uν−1φy ΜΣ2uduΦΛy −μΣ, y ∈ r. (8)การกระจายเอียงทับลดการแจก SN เมื่อν↑∞ มันง่ายที่จะเห็นว่าU | Y = y เดือน TG(ν +1/2, d/2, 1) ที่ TG (a, b, t) ที่มีการแจกแจงแกมมาตัดขวาpdf f (x | a, b, t) =บาIG(a,bt) xa−1 exp(−bx)I(0,t)(x), IG (a, t) = t0 ua−1e−udu คือ แกมมาไม่สมบูรณ์ฟังก์ชัน•การเอียงปนเปื้อนแจกแจงปกติ (SCN), ระบุ โดย SCN (μ σ2 λ ν γ), 0 < ν < 10 < γ < 1 ที่นี่ κ(u) = 1/u และ U เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่ใช้หนึ่งในสองรัฐฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นของ U รับτเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ (ν γ) =⊤ จะเขียนแทนด้วยh (u τ) = νI(u=γ) + (1 − ν)I(u=1) τ = (ν γ) ⊤ จากนั้นก็ไปที่:f (y) = 2ΝΦy ΜΣ2Γ+ Φ (1 −ν) (y μ σ2)ΦΛy −μΣ. (9)การแจกแจงปกติปนเปื้อน skew ลดการแจก SN เมื่อγ = 1 การการแจกจ่ายแบบมีเงื่อนไข U | Y = y ถูกกำหนดโดย:f (u | Y = y) =1f0(y){Νφ (y μ σ2/γ) I(u=γ) + φ (1 −ν) (y μ σ2)I(u=1) },ที่ f0(y) νφ (y; σ2/γ μ) = I(u=γ) + φ (1 −ν) (y μ σ2)I(u=1)• Pdf โดยมีการเอียงเนนพลังงานกระจาย (SPE), ระบุ โดยตร (μ σ2 λ ν),f (y) = 2Ν21/2ΝΣΓ (1/2Ν)e−dν /2ΦΛy −μΣ, 0.5 < ν≤ 1, (10)ซึ่งลดการแจก SN เมื่อν = 1 ถึงแม้ว่าเราไม่ทราบเงื่อนไขการกระจายของ U | Y = y พบ et al. [13] พิสูจน์ว่า:E[Κ−1(U) | Y = y] = νdν−1 (11)จำเป็นต้องเครียดว่า ถ้า Y เดือน SMSN (μ σ2 λ H) กับสถาน parameterμ ขนาดพารามิเตอร์Λ σ2 และความเบ้ pdf การถูกกำหนด โดย f (y) = 2∞Φ 0 (y μ u−1σ2) Φu1/2λy−μΣdH (u τ) ดังนั้นมีความแตกต่างที่พบระหว่าง pdf การกระจาย SMSN ใน [16] และ pdf ของการแจกจ่าย SSMN กำหนดใน Eq. (5) ดังนั้น แม้ว่าชั้นเรียนทั้งขยายชั้นสมมาตรของ SMNการกระจายการบริบทสมมาตร องค์ประกอบเฉพาะ เช่นเอียง-t เฉือนเอียง และเอียงปกติปนเปื้อนมี characterizations แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม มีคลา SSMN อื่น ๆองค์ประกอบต่าง ๆ เช่นการกระจายอำนาจเนนเอียง3.แบบจำลองถดถอยเชิงเส้น SSMN และอัลกอริทึม EMสมมติว่า เรามีข้อสังเกตของ n บุคคลอิสระ Y1,... Yn เกี่ยวข้องกับบุคคลเราสมมติที่รู้จัก p × 1 covariate เวกเตอร์ xi ซึ่งเราใช้เพื่อระบุทำนายเชิงเส้นΜi =η (β xi), ซึ่งη(.)เป็นฟังก์ชั่น injective และ differentiable สองครั้งอย่างต่อเนื่องการเวกเตอร์ของβสัมประสิทธิ์ถดถอยที่ไม่รู้จัก (β 1,..., βp) =⊤ นำไปสู่การถดถอยเชิงเส้นรุ่น (ที SSMN)Yi =η (β xi) + εi ฉัน = 1,..., n, (12)Εi เดือน SSMN (0, σ2 λ H Κ)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

134 CS Ferreira, VH Lachos / วิธีการทางสถิติ 33 (2016) 131-146
ที่ d = (y-μ) 2 / σ 2 และΓ (·) เป็นฟังก์ชั่นแกมมา เมื่อν↑∞เราได้รับการกระจาย SN
เป็นกรณีที่ จำกัด สุดท้าย U | Y = Y ~ แกมมา
ν 1 +
2 + D ν
2 
•การกระจายลาดทับ (SSL) เขียนแทนด้วย SSL (μ, σ2, λ, ν) เกิดขึ้นเมื่อκ (U) = 1 / u และการกระจายตัวของ U เป็นเบต้า (ν, 1), 0 <U <1 และν> 0 PDF มันจะได้รับโดย: f (y) = 2ν  1 0 uν-1φ  Y; μ, σ2 U  duΦ  λ Y - μ σ  , y ∈อาร์ (8) การกระจายเฉือนเอียงช่วยลดการกระจาย SN เมื่อν↑∞ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า U | Y = Y ~ TG (ν +1/2, D / 2, 1) ที่ TG (A, B, T) คือการกระจายแกมมาขวาตัดกับรูปแบบไฟล์ PDF f (x | , B, T) = BA IG (A, BT) ประสบการณ์ XA-1 (-bx) ฉัน (0, t) (x), IG (A, T) =  T 0 UA-1E-Udu เป็นแกมมาไม่สมบูรณ์ฟังก์ชัน •ลาดปนเปื้อนกระจายปกติ (SCN) แสดงโดย SCN (μ, σ2, λ, ν, γ), 0 <ν <1 0 <γ <1 นี่κ (U) = 1 / u และ U เป็น ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องการหนึ่งในสองรัฐ ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ U ให้เวกเตอร์พารามิเตอร์τ = (ν, γ) ⊤จะแสดงโดยH (U; τ) = νI (U = γ) + (1 - ν) ฉัน (U = 1), τ = (ν, แกมมา) ⊤ มันเป็นไปตามนั้น: f (y) = 2  νφ  Y; μ, σ2 แกมมา + (1 - ν) φ (y; μ, σ2)  ไว λ Y - μ σ  (9) ลาดกระจายปกติที่ปนเปื้อนจะช่วยลดการกระจาย SN เมื่อγ = 1. เงื่อนไขการจำหน่าย U | Y = Y จะได้รับโดย: f (U | y = y) = 1 F0 (Y) {νφ (y; μ , σ2 / γ) ฉัน (U = γ) + (1 - ν) φ (y; μ, σ2) ฉัน (U = 1)} ที่ F0 (y) = νφ (y; μ, σ2 / γ) ฉัน (U = γ) + (1 - ν) φ (y; μ, σ2) ฉัน (U = 1) •การกระจายอำนาจชี้แจงลาด (SPE) แสดงโดยเอสพีอี (μ, σ2, λ, ν) มีรูปแบบไฟล์ PDF ได้รับจากf (y) = 2 ν 21 / 2νσΓ (1 / 2ν) E-dν / 2Φ  λ Y - μ σ  , 0.5 <ν≤ 1 (10) ซึ่งจะช่วยลดการกระจาย SN เมื่อν = 1 ถึงแม้ว่าเราจะไม่ทราบเงื่อนไข การกระจายของ U | Y = Y, et al, Ferreira [13] พิสูจน์ว่า: E [κ-1 (U) | Y = Y] = νdν-1 (11) มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเน้นว่าถ้า Y ~ SMSN (μ, σ2, λ; H) กับparameterμตั้งพารามิเตอร์ขนาดσ2และเบ้λ, PDF ของตนจะได้รับจาก f (y) = 2 ∞ 0 φ ( Y; μ U-1σ2) ไว U1 / 2λy-μ σ  DH (U; τ) ดังนั้นจึงมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างรูปแบบไฟล์ PDF ของการกระจาย SMSN ใน [16] และ PDF ของการกระจาย SSMN ที่กำหนดไว้ในสมการ (5) ดังนั้นแม้ว่าทั้งสองเรียนขยายชั้นเรียนสมมาตรของ SMN กระจายไปยังบริบทไม่สมมาตรองค์ประกอบเฉพาะเช่นลาด T, เอียงเฉือนและลาดปนเปื้อนปกติมีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ระดับ SSMN รวมถึงอื่น ๆ องค์ประกอบเช่นการกระจายชี้แจงไฟฟ้าเอียง 3. รูปแบบการถดถอย SSMN ไม่เชิงเส้นและอัลกอริทึม EM สมมติว่าเรามีข้อสังเกตของ n บุคคลที่เป็นอิสระ, Y1, . . , Yn ที่เกี่ยวข้องกับบุคคลที่ผมเราสมมติที่เรียก P × 1 Xi เวกเตอร์ตัวแปรร่วมที่เราใช้เพื่อระบุตัวทำนายที่ไม่เป็นเชิงเส้นμi = η (βจิน) ซึ่งη (.) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครั้งที่สองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการเวกเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ไม่รู้จักβ = (β1,..., βp) ⊤ที่นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นModel (SSMN-NLM) ยี่ = η (βจิน) + εi, i = 1 . . , N (12) εi ~ SSMN (0, σ2, λ; H, κ) รูปแบบการถดถอย SSMN ไม่เชิงเส้นและอัลกอริทึมอีเอ็ม สมมติว่าเรามีข้อสังเกตของ n บุคคลที่เป็นอิสระ, Y1, . . , Yn ที่เกี่ยวข้องกับบุคคลที่ผมเราสมมติที่เรียก P × 1 Xi เวกเตอร์ตัวแปรร่วมที่เราใช้เพื่อระบุตัวทำนายที่ไม่เป็นเชิงเส้นμi = η (βจิน) ซึ่งη (.) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครั้งที่สองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการเวกเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ไม่รู้จักβ = (β1,..., βp) ⊤ที่นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นModel (SSMN-NLM) ยี่ = η (βจิน) + εi, i = 1 . . , N (12) εi ~ SSMN (0, σ2, λ; H, κ) รูปแบบการถดถอย SSMN ไม่เชิงเส้นและอัลกอริทึมอีเอ็ม สมมติว่าเรามีข้อสังเกตของ n บุคคลที่เป็นอิสระ, Y1, . . , Yn ที่เกี่ยวข้องกับบุคคลที่ผมเราสมมติที่เรียก P × 1 Xi เวกเตอร์ตัวแปรร่วมที่เราใช้เพื่อระบุตัวทำนายที่ไม่เป็นเชิงเส้นμi = η (βจิน) ซึ่งη (.) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครั้งที่สองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการเวกเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ไม่รู้จักβ = (β1,..., βp) ⊤ที่นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นModel (SSMN-NLM) ยี่ = η (βจิน) + εi, i = 1 . . , N (12) εi ~ SSMN (0, σ2, λ; H, κ) ที่เราใช้เพื่อระบุตัวทำนายที่ไม่เป็นเชิงเส้น μi = η (βจิน) ซึ่งη (.) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครั้งที่สองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการเวกเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ไม่รู้จักβ = (β1,..., βp) ⊤ที่นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นModel (SSMN-NLM) ยี่ = η (βจิน) + εi, i = 1 . . , N (12) εi ~ SSMN (0, σ2, λ; H, κ) ที่เราใช้เพื่อระบุตัวทำนายที่ไม่เป็นเชิงเส้น μi = η (βจิน) ซึ่งη (.) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครั้งที่สองอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการเวกเตอร์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ไม่รู้จักβ = (β1,..., βp) ⊤ที่นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นModel (SSMN-NLM) ยี่ = η (βจิน) + εi, i = 1 . . , N (12) εi ~ SSMN (0, σ2, λ; H, κ)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

134 เอส. ร่า v.h. lachos / สถิติ , ระเบียบวิธีวิจัย 33 ( 2016 ) 131 – 146ที่ D = ( y −μ ) 2 / σ 2 และΓ ( Suite ) คือฟังก์ชันแกมมา เมื่อν↑∞ เราเอา Sn กระจายเป็นจำกัดกรณี ท้ายนี้ คุณ | Y = Y ∼แกมมาν + 12 ν + D ,2.- การกระจายฟันเอียง ( SSL ) เขียนแทนด้วย SSL ( μσ , 2 , λν , ) เกิดขึ้นเมื่อκ ( U ) = 1 / U และการกระจายของคุณเป็นเบต้า ( ν , 1 ) , 0 < u < 1 และν > 0 รูปแบบไฟล์ PDF ที่ได้รับ :f ( y ) = 2 ν 101 φν− Uμ y ; ,σ 2UดูΦλy −μσ∈ Y , R . ( 8 )การกระจายเฉือนเอียงช่วยลดการกระจายν SN เมื่อ↑∞ . มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคุณ | Y = Y ∼ TG ( ν + 1 / 2 D / 2 , 1 ) ที่ TG ( A , B , T ) คือสิทธิการสื่อสารข้อมูลมีการแจกแจงแกมมาPDF F ( x | A , B , t ) = bIG ( BT ) XA − 1 exp ( − BX ) ฉัน ( 0 , t ) ( , X ) ( , t ) = อิก T−− 0 ของคุณตลอดจน udu เป็นแกมม่าไม่สมบูรณ์ฟังก์ชัน- การบิดเบือนการกระจายปกติปนเปื้อน ( SCN ) เขียนแทนด้วย SCN ( μσλν 2 , , , , , γ ) 0 < ν < 10 < γ < 1 ที่นี่ κ ( U ) = 1 / u และเป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องการหนึ่งของประเทศทั้งสองฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรเวกเตอร์ u , ได้รับτ = ( νγ⊤ , , ) เขียนโดยH ( u ; τ ) = ν I ( u = γ ) + ( − 1 ν ) I ( u = 1 ) τ = ( νγ , ) ⊤ . มันดังต่อไปนี้แล้วว่า :f ( y ) = 2νφμ y ; ,σ 2γ+ 1 −ν ) φ ( Y ; μσ , 2 )Φλy −μσ. ( 9 )การเอียงของการแจกแจงแบบปกติช่วยลดการปนเปื้อน SN กระจายเมื่อγ = 1 ที่เงื่อนไขการ | Y = Y U จะได้รับโดยf ( u | Y = Y ) =1ละ ( Y ){ νφ ( Y ; μσ , 2 / γ ) I ( u = γ ) + ( − 1 ν ) φ ( Y ; μσ , 2 ) i ( U = 1 ) } ,ที่ไหนละ = νφ ( Y ) ( Y ; μσ , 2 / γ ) I ( u = γ ) + ( − 1 ν ) φ ( Y ; μσ , 2 ) i ( U = 1 )- การบิดเบือนอำนาจแบบกระจาย ( เอสพี ) แทน โดย SPE ( μσλ 2 , , , , ν ) มีไฟล์ให้โดยf ( y ) = 2ν21 / 2 νσΓ ( 1 / 2 ν )บริษัท เวสเทิร์น ν E D / 2 Φλy −μσ0.5 < ν≤ ( 10 ) 1ซึ่งช่วยลดการกระจายเมื่อν SN = 1 แม้ว่าเราจะไม่รู้เงื่อนไขการกระจายของ U | Y = Y Ferreira et al . [ 13 ] ว่า :e [ κ− 1 ( U ) | y = y ] = ν D ν− 1 ( 11 )มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะความเครียดที่ถ้า Y ∼ smsn ( μσ , 2 , λ ; H ) กับสถานที่μพารามิเตอร์ , พารามิเตอร์มาตราส่วนσ 2 และเบ้λ , PDF ของมันให้ f ( y ) = 2∞0 φ ( Y ; μ u − 1 σ 2 ) ΦU1 Y −μλ / 2σDH ( U ; τ ) ดังนั้นมีความแตกต่างอย่างมากระหว่าง PDF ของ smsn กระจายใน [ 16 ] และ PDF ของการกำหนด ssmn ในอีคิว ( 5 ) ดังนั้น แม้ว่าทั้งสองชั้นเรียนขยายชั้นเรียนสมมาตรของ SMNในบริบทการกระจายสมมาตร องค์ประกอบที่เฉพาะเจาะจง เช่น skew-t โดดฟัน , และทำให้ปนเปื้อน ปกติ มีการศึกษาคุณสมบัติที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ssmn คลาส รวมถึงอื่น ๆองค์ประกอบ เช่น โดดกระจายพลังงานแบบเอกซ์โพเนนเชียล3 . การ ssmn การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นและรูปแบบขั้นตอนวิธีอีเอ็มสมมติว่าเรามีข้อสังเกตของอิสระบุคคล , y1 , . . . . . . . . ในที่สุด , . ที่เกี่ยวข้องกับบุคคลฉันคิดว่ารู้จัก P × 1 ชุดเวกเตอร์ Xi ซึ่งเราใช้เพื่อระบุพฤติกรรมไม่เชิงเส้นμ = η ( บีตา Xi ) ที่η ( ) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และสองครั้ง Differentiable อย่างต่อเนื่องด้วยความเคารพเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ถดถอยไม่ทราบบีตา ( บีตา = 1 , . . . . . . . . บีตา , P ) ⊤ , นำไปสู่การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นแบบ ( ssmn-nlm )ยี = η ( บีตา Xi ) + εฉัน = 1 , . . . . . . . . , N , ( 12 )εผม∼ ssmn ( 0 , σ 2 , λ ; H , κ )