This paper deals with the estimatio

This paper deals with the estimation of scale parameter for Frechet distribution with known shape. The Maximum likelihood estimation and Probability weighted moment estimation are discussed. Bayes estimator is obtained using Jeffreys’ prior under quadratic loss function, El-Sayyad’s loss function and linex loss function. Through extensive simulation study, we compared the performance of these estimators considering various sample size based on mean squared error (MSE). Key Words: Maximum likelihood estimator, Probability weighted moment estimator, Mean squared error, Loss function, Frechet distribution




1. INTRODUCTION
Frechet distribution was introduced by a French
mathematician named Maurice Frechet
(1878‐1973) who had identified before one
possible limit distribution for the largest order
statistic in 1927. The Frechet distribution has been
shown to be useful for modeling and analysis of
several extreme events ranging from accelerated
life testing to earthquakes, floods, rain fall, sea
currents and wind speeds.
Applications of the Frechet distribution in
various fields given in Harlow (2002) showed that
it is an important distribution for modeling the
statistical behavior of materials properties for a
variety of engineering applications. Nadarajah and
Kotz (2008) discussed the sociological models
based on Frechet random variables. Further,
Zaharim et al. (2009) applied Frechet distribution
for analyzing the wind speed data. Mubarak (2011)
studied the Frechet progressive type-II censored
data with binomial removals.
The Frechet distribution is a special case of the
generalized extreme value distribution. This type-II
extreme value distribution (Frechet) case is
equivalent to taking the reciprocal of values from a
standard Weibull distribution. The probability
density function (PDF) and the cumulative
distribution function (CDF) for Frechet distribution
is







where the parameter determines the shape of the distribution and is the scale parameter.




Several methods have been proposed to
estimate the parameters using both classical and
Bayesian techniques. A method of estimation must
be chosen which minimizes sampling errors. A
method which is suitable to estimate the
parameters of one distribution might not
necessarily be as efficient for another distribution.
Moreover, a method which is efficient in
estimating the parameters may not be efficient in
predicting given by Al-Baidhani and Sinclair
(1987). Ahmed et al. (2010) have considered ML
and Bayesian estimation of the scale parameter of
Weibull distribution with known shape and
compared their performance under squared error
loss. In this paper, comparison among the ML
estimator, probability weighted moment estimator
(PWM) and Bayes estimator of the scale parameter
of the Frechet distribution is considered under
quadratic loss function, El-Sayyad’s loss function
and linex loss function using Jeffreys’ prior, with
the assumption that the shape parameter is known.
Abbas and Yincai
Comparison of Estimation Methods for Frechet Distribution with Known Shape
59
Comparisons are made in terms of the bias and
mean squared error (MSE) of the estimates.
The plan of the paper is as follows. In Section
2, the ML estimation of β is reviewed. In Section 3
of this article, we derive the Bayes estimators
based on squared error loss function, El-Sayyad’s
loss function and linex loss function. In Section 4,
we obtain the probability weighted moment
estimator and in Section 5, a simulation study is
discussed. In Section 6, conclusion and numerical
results are presented.
2. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION
Let X = (x1, x2….xn) be a sample of size n from a
Frechet distribution with parameters α and β. The
likelihood function is given by
As the shape parameter α is assumed to be known, the ML estimator of β is obtained by solving the
following equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กระดาษนี้เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าพารามิเตอร์ขนาดการกระจาย Frechet ทรงทราบ กล่าวถึงการประเมินความเป็นไปได้สูงสุดและการประมาณช่วงเวลาน่าจะถ่วงน้ำหนัก Bayes ประมาณจะได้ใช้ก่อน Jeffreys' ภายใต้ฟังก์ชันกำลังสองขาดทุน El-Sayyad สูญเสียฟังก์ชัน และฟังก์ชัน linex ขาดทุน เราเปรียบเทียบประสิทธิภาพของ estimators เหล่านี้ผ่านการศึกษาจำลองครอบ พิจารณาขนาดตัวอย่างต่าง ๆ ตามข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ย (MSE) คำสำคัญ: ประมาณโอกาสสูงสุด ความน่าเป็นช่วงเวลาประมาณการถ่วงน้ำหนัก หมายถึงกำลังสองผิดพลาด สูญเสียฟังก์ชัน การกระจาย Frechet1. บทนำFrechet แจกแนะนำภาษาฝรั่งเศสนักคณิตศาสตร์ที่ชื่อมอริส Frechet(1878‐1973) ที่ได้ระบุไว้ก่อนหนึ่งกระจายวงเงินเป็นไปได้สำหรับใบสั่งที่ใหญ่ที่สุดสถิติในปี 1927 ได้รับการแจก Frechetแสดงเพื่อเป็นประโยชน์สำหรับการสร้างโมเดลและการวิเคราะห์ของเหตุการณ์รุนแรงต่าง ๆ ตั้งแต่เร่งการทดสอบการเกิดแผ่นดินไหว น้ำท่วม ฝนตก ทะเลชีวิตกระแสและความเร็วลมการใช้งานของการแจกแจง Frechet ในเขตข้อมูลต่าง ๆ ในฮาร์โลว์ (2002) พบว่าเป็นการกระจายที่สำคัญสำหรับการสร้างโมเดลการสถิติการทำงานของคุณสมบัติวัสดุสำหรับการความหลากหลายของงานวิศวกรรม Nadarajah และKotz (2008) กล่าวถึงรูปแบบสังคมวิทยาคะแนนจากตัวแปรสุ่ม Frechet เพิ่มเติมZaharim et al. (2009) ใช้การแจกจ่าย Frechetการวิเคราะห์ข้อมูลความเร็วลม มูบารัก (2011)ศึกษา Frechet ก้าวหน้าชนิด II เซ็นเซอร์ข้อมูล ด้วยการเอาออกที่ทวินามการกระจาย Frechet เป็นกรณีพิเศษของการทั่วไปการกระจายค่าสุดขีด ประเภท-IIกรณีค่าสุดขีดการกระจาย (Frechet)เทียบเท่ากับการผกผันของค่าจากการมาตรฐานการแจกจ่ายแบบเวย์บูล ความน่าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่น (PDF) และการสะสมฟังก์ชันการแจกแจง (CDF) สำหรับการกระจาย Frechetมีที่พารามิเตอร์กำหนดรูปร่างของการกระจาย และพารามิเตอร์ขนาดวิธีการต่าง ๆ ได้รับการเสนอเพื่อประมาณพารามิเตอร์ใช้ทั้งคลาสสิก และทฤษฎีเทคนิคการ วิธีการประเมินต้องเลือกซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่าง Aวิธีที่เหมาะในการประเมินการพารามิเตอร์ของการแจกจ่ายหนึ่งอาจไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิภาพสำหรับการแจกจ่ายที่อื่นนอกจากนี้ วิธีที่มีประสิทธิภาพในประมาณพารามิเตอร์อาจไม่มีประสิทธิภาพในการทำนายโดยอัล Baidhani และซินแคลร์(1987) . อาเหม็ด et al. (2010) ได้พิจารณา MLและทฤษฎีการประมาณการของพารามิเตอร์ขนาดของกระจายฟังก์ชัน weibull จะทรงทราบ และเปรียบเทียบประสิทธิภาพของพวกเขาภายใต้ข้อผิดพลาดที่ยกกำลังสองขาดทุน ในกระดาษนี้ เปรียบเทียบการมล.ประมาณ ความน่าเป็นประมาณช่วงเวลาถ่วงน้ำหนัก(PWM) และประมาณ Bayes ของพารามิเตอร์ขนาดของ Frechet ถือว่าการกระจายภายใต้ฟังก์ชันกำลังสองขาดทุน El-Sayyad สูญเสียฟังก์ชันและ linex สูญเสียฟังก์ชันใช้ก่อน Jeffreys'สมมติว่า พารามิเตอร์รูปร่างเรียกว่า อับบาสและ Yincaiเปรียบเทียบวิธีการประมาณค่าการแจกจ่าย Frechet ทรงทราบ59ทำการเปรียบเทียบในแง่อคติ และหมายถึง ข้อผิดพลาดที่ยกกำลังสอง (MSE) ของการประเมินแผนการของกระดาษมีดังนี้ ในส่วน2, ML ประมาณβมีการตรวจสอบ ในส่วนที่ 3บทความนี้ เราได้รับ Bayes estimatorsข้อผิดพลาดกำลังสองสูญเสียงาน El Sayyad ของสูญเสียฟังก์ชันและฟังก์ชัน linex ขาดทุน ในส่วนที่ 4เราได้รับขณะนี้น่าเป็นการถ่วงน้ำหนักประมาณและในส่วนที่ 5 การศึกษาการจำลองกล่าวถึง ในมาตรา 6 สรุป และตัวเลขมีแสดงผล2. การประเมินโอกาสสูงสุดให้ X = (x1, x2... xn) เป็นตัวอย่างขนาด n จากการแจก Frechet พารามิเตอร์αและβฟังก์ชันโอกาสถูกกำหนดโดยเป็นαพารามิเตอร์รูปร่างจะถือว่าเป็นที่รู้จัก ประมาณ ML ของβจะได้รับ โดยการแก้ตัวสมการต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระดาษนี้จะเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของขนาดสำหรับการกระจาย Frechet มีรูปร่างที่รู้จักกัน การประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดและความน่าจะถ่วงน้ำหนักประมาณค่าช่วงเวลาที่จะกล่าวถึง Bayes ประมาณการจะได้รับใช้ฟรีย์ 'ก่อนภายใต้ฟังก์ชั่นการสูญเสียกำลังสอง El-Sayyad ฟังก์ชั่นการสูญเสียและการสูญเสีย Linex ฟังก์ชั่น ผ่านการศึกษาการจำลองกว้างขวางเราเมื่อเทียบกับประสิทธิภาพการทำงานของตัวประมาณค่าเหล่านี้เมื่อพิจารณาจากขนาดของกลุ่มตัวอย่างต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาด Squared เฉลี่ย (MSE) คำสำคัญ: ประมาณการสูงสุดน่าจะเป็นน่าจะเป็นช่วงเวลาที่ถ่วงน้ำหนักประมาณการคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยฟังก์ชั่นการสูญเสีย Frechet กระจาย1 บทนำกระจาย Frechet ถูกนำโดยฝรั่งเศสนักคณิตศาสตร์ชื่อมอริซ Frechet (1878-1973) ที่ระบุว่าก่อนที่จะกระจายการ จำกัด ที่เป็นไปได้สำหรับการสั่งซื้อที่ใหญ่ที่สุดของสถิติในปี 1927 การกระจาย Frechet ได้รับการแสดงให้เห็นว่าจะเป็นประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองและการวิเคราะห์เหตุการณ์รุนแรงหลาย ตั้งแต่เร่งทดสอบชีวิตที่จะเกิดแผ่นดินไหว, น้ำท่วม, ฝนตกในทะเลกระแสและความเร็วลม. การประยุกต์ใช้งานของการกระจาย Frechet ในสาขาต่างๆที่กำหนดในฮาร์โลว์ (2002) แสดงให้เห็นว่ามันเป็นสิ่งที่มีการกระจายที่สำคัญสำหรับการสร้างแบบจำลองพฤติกรรมทางสถิติของคุณสมบัติวัสดุสำหรับความหลากหลายของการใช้งานทางด้านวิศวกรรม Nadarajah และKotz (2008) กล่าวถึงรูปแบบทางสังคมวิทยาขึ้นอยู่กับตัวแปรสุ่ม Frechet นอกจากZaharim et al, (2009) ใช้กระจาย Frechet สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลความเร็วลม บารัก (2011) ศึกษาความก้าวหน้า Frechet ประเภท-II ตรวจสอบข้อมูลที่มีการลบทวินาม. การกระจาย Frechet เป็นกรณีพิเศษของการกระจายค่ามากทั่วไป ประเภทนี้-II คุ้มค่ามากกระจาย (Frechet) กรณีเป็นเทียบเท่ากับการซึ่งกันและกันของค่าจากการกระจาย Weibull มาตรฐาน ความน่าจะเป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่น (PDF) และสะสมฟังก์ชันการกระจาย (CDF) สำหรับการกระจาย Frechet เป็นที่พารามิเตอร์กำหนดรูปร่างของการกระจายและเป็นพารามิเตอร์ขนาด. หลายวิธีที่ได้รับการเสนอให้ประมาณค่าพารามิเตอร์โดยใช้ทั้งคลาสสิกและเทคนิคแบบเบย์ วิธีการประเมินจะต้องได้รับการแต่งตั้งซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง วิธีการที่เหมาะสมในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของการกระจายหนึ่งอาจจะไม่จำเป็นต้องเป็นที่มีประสิทธิภาพสำหรับการกระจายอีก. นอกจากนี้ยังมีวิธีการซึ่งมีประสิทธิภาพในการประมาณค่าพารามิเตอร์ไม่อาจจะมีประสิทธิภาพในการทำนายที่กำหนดโดย al-Baidhani และซินแคล(1987) อาเหม็ดอัลเอต (2010) ได้มีการพิจารณา ML และการประมาณคชกรรมของพารามิเตอร์ขนาดของการกระจาย Weibull ที่มีรูปร่างที่รู้จักและเมื่อเทียบกับผลการดำเนินงานของตนภายใต้ข้อผิดพลาดยืดการสูญเสีย ในบทความนี้เปรียบเทียบระหว่างมิลลิลิตรประมาณการน่าจะถ่วงน้ำหนักขณะประมาณการ(PWM) และประมาณการ Bayes ของพารามิเตอร์ขนาดของการกระจาย Frechet มีการพิจารณาภายใต้ฟังก์ชั่นการสูญเสียกำลังสอง El-Sayyad ฟังก์ชั่นการสูญเสียและการสูญเสีย Linex ฟังก์ชั่นใช้ฟรีย์ 'ก่อนด้วยสมมติฐานที่ว่าพารามิเตอร์รูปร่างเป็นที่รู้จักกัน. อับบาสและ Yincai เปรียบเทียบวิธีการประมาณสำหรับการจัดจำหน่าย Frechet กับรู้จักรูปร่าง59 การเปรียบเทียบจะทำในแง่ของการมีอคติและคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย (MSE) ประมาณการ. แผนของกระดาษเป็นดังนี้ . ในหมวดที่2 การประมาณมิลลิลิตรβมีการทบทวน ในข้อ 3 ของบทความนี้เราได้รับมาประมาณเบส์ขึ้นอยู่กับกำลังสองฟังก์ชั่นการสูญเสียข้อผิดพลาด El-Sayyad ของฟังก์ชั่นการสูญเสียและการสูญเสีย Linex ฟังก์ชั่น ในส่วน 4 เราได้รับความน่าจะเป็นช่วงเวลาที่ถ่วงน้ำหนักประมาณการและในมาตรา 5 การศึกษาจำลองกล่าวถึง ในมาตรา 6 และสรุปตัวเลขผลที่จะได้นำเสนอ. 2 ประมาณโอกาสสูงสุดให้ X = (X1, X2 ... .xn) เป็นตัวอย่างของขนาด N จากที่กระจาย Frechet กับพารามิเตอร์แอลฟาและβ ฟังก์ชั่นความน่าจะได้รับโดยในฐานะที่เป็นพารามิเตอร์αรูปร่างจะถือว่าเป็นที่รู้จักประมาณการมิลลิลิตรβจะได้รับโดยการแก้สมการต่อไป

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทความนี้เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าพารามิเตอร์แบบกระจายสำหรับ frechet ทราบรูปร่าง สูงสุดและช่วงเวลาการเกิดค่าถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็นได้ถูก เบย์ประมาณได้ใช้ก่อนฟังก์ชันกำลังสอง Jeffreys " ภายใต้การสูญเสียของเอล sayyad การสูญเสียฟังก์ชันและฟังก์ชันการสูญเสีย linex . ผ่านการศึกษาแบบจำลองอย่างละเอียด เราเปรียบเทียบประสิทธิภาพของตัวประมาณขนาดตัวอย่างต่าง ๆเหล่านี้พิจารณาจากค่าเฉลี่ยความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ( MSE ) คำสำคัญ : การประมาณความควรจะเป็นสูงสุดแต่ละช่วงเวลาถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็น หมายถึงพร้อมฟังก์ชันการสูญเสีย การกระจาย frechet ข้อผิดพลาด1 . แนะนำfrechet การแนะนำโดยฝรั่งเศสfrechet นักคณิตศาสตร์ชื่อมอริส( 1878 ‐ 1973 ) ที่ได้มีการระบุก่อนหนึ่งการกระจายจำกัดที่สุดเพื่อที่ใหญ่ที่สุดสถิติใน 1927 . การ frechet กระจายได้เป็นประโยชน์สำหรับการสร้างและวิเคราะห์เหตุการณ์รุนแรงหลายตั้งแต่ เร่งการทดสอบชีวิตที่จะเกิดแผ่นดินไหว , น้ำท่วม , ฝนตก , ทะเลกระแสและความเร็วลมการใช้งานของ frechet กระจายในสาขาต่างๆที่ระบุในฮาร์โลว์ ( 2002 ) พบว่ามันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการจำลองการกระจายพฤติกรรมของวัสดุคุณสมบัติทางสถิติสำหรับความหลากหลายของการใช้งานวิศวกรรม nadarajah และkotz ( 2551 ) กล่าวถึงแบบสังคมวิทยาตาม frechet สุ่มตัวแปร เพิ่มเติมzaharim et al . ( 2009 ) การกระจาย frechet ประยุกต์วิเคราะห์ความเร็วลมข้อมูล มูบารัค ( 2011 )ศึกษา frechet ก้าวหน้าชนิดที่สอง เซ็นเซอร์ข้อมูลทวินามลบ .การ frechet กระจายเป็นกรณีพิเศษของทั่วไปมากค่าการกระจาย ประเภทที่ 2 นี้การกระจายค่ามาก ( frechet ) คดีเทียบเท่ากับการรับค่าจากการกระจายแบบมาตรฐาน ความน่าจะเป็นความหนาแน่นของฟังก์ชัน ( PDF ) และสะสมฟังก์ชันการแจกแจง ( CDF ) สำหรับการกระจาย frechetคือพารามิเตอร์ที่กำหนดรูปร่างของการกระจายและขนาดพารามิเตอร์หลายวิธีได้ถูกเสนอประมาณค่าพารามิเตอร์ทั้งคลาสสิกและใช้เทคนิคการพยากรณ์ . วิธีการประมาณค่า ต้องได้รับเลือกซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง เป็นซึ่งเป็นวิธี ที่เหมาะสมเพื่อประเมินพารามิเตอร์ของการแจกแจงอาจไม่ได้ต้องเป็นอย่างมีประสิทธิภาพสำหรับการกระจายอีกนอกจากนี้ยังเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่อาจจะมีประสิทธิภาพในทำนายให้ โดย อัล และ ซินแคลร์ baidhani( 1987 ) อาเหม็ด et al . ( 2010 ) ได้พิจารณา มลและการประมาณค่าพารามิเตอร์แสดงสเกลของงานของการแจกแจงไวบูลล์ทราบรูปร่าง และเปรียบเทียบประสิทธิภาพของพวกเขาภายใต้ความคลาดเคลื่อนกำลังสองการสูญเสีย ในกระดาษนี้ เปรียบเทียบมลการประมาณความน่าจะเป็นช่วงเวลาประมาณถัว( PWM ) และ Bayes estimator ของพารามิเตอร์แสดงสเกลของ frechet การพิจารณาภายใต้การสูญเสียฟังก์ชันกำลังสองของเอล sayyad การสูญเสียฟังก์ชันlinex และการสูญเสียฟังก์ชันโดยใช้ Jeffreys " ก่อนด้วยสมมติฐานที่รูปร่างพารามิเตอร์เป็นที่รู้จักอับบาส และ yincaiการเปรียบเทียบวิธีการประมาณ frechet กระจายกับรู้จักรูปร่าง59เปรียบเทียบได้ในแง่ของอคติ และค่าเฉลี่ยความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ( MSE ) ของประมาณการแผนของกระดาษมีดังนี้ ในมาตรา2 , มล. ประมาณบีตาจะตรวจทาน ในมาตรา 3ของบทความนี้ เราได้สืบทอด Bayes estimatorsใช้ฟังก์ชันการสูญเสียความผิดพลาดยกกำลังสองของเอล sayyadการสูญเสียฟังก์ชันและฟังก์ชันการสูญเสีย linex . ในมาตรา ๔เราได้รับตอนนี้น่าจะเป็นถัวประมาณการและในส่วนที่ 5 , การจำลองเป็นกล่าวถึง ในมาตรา ๖ การสรุปและเชิงตัวเลขผลลัพธ์จะแสดง2 . การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดให้ x = ( x1 , x2 . . . ซิน ) เป็นตัวอย่างของขนาด N จากfrechet กับพารามิเตอร์และการαบีตา . ที่ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่จะได้รับโดยเป็นรูปร่างαพารามิเตอร์จะถือว่าเป็นที่รู้จัก , ML ประมาณการของบีตาได้โจทย์สมการต่อไปนี้