In this section energy band calcula

In this section energy band calculation using the tight-binding approximation or the linear-combination-of-atomic-orbits (LCAO) method is depicted. The LCAO method, which was first proposed by Bloch, is often used to
calculate the electronic states of core electrons in a crystalline solid. It is generally known that core electrons are tightly bound to the individual atoms, which interact with one another within the crystal lattice. In this case, the construction of electron wave functions is achieved using the LCAO method, and the energy bands of electrons are calculated for the corresponding periodic crystal potential. The atomic orbitals are centered on one of the constituent atoms of the crystal. The resulting wave functions are then substituted into the Schrödinger equation, and the energy values are calculated by a procedure similar to that of the NFE approximation described in Section 4.5. In order to apply the LCAO method to core electrons in a crystalline solid, the solution for the free atomic orbital wave functions must be obtained first. This is discussed next.
If φn(r - Rj) represents the atomic orbital wave functions centered at the lattice site Rj, then the wave functions of the crystal orbits φk(r) corresponding to the wave vector krmay be represented by a Bloch sum, which is
()()()kjnjrCkrRφφ= Σ (4.84)
The summation in Eq. (4.84) extends over all the constituent atoms of the crystal. The coefficient Cj(K), which satisfies the Bloch condition, can be written as
()jikRjCke⋅= (4.85)
Now substituting Eq. (4.85) into Eq. (4.84) one obtains
()()()(),jikrRikrikrknjjreerReUφφ−⋅−⋅=−=Σ (4.86)
To satisfy the Bloch condition, the summation given by Eq. (4.86) must have the periodicity of the crystal lattice.
The LCAO method is clearly an approximation to the true crystal orbitals. This method is adequate when the interatomic spacing is large enough such that overlapping among the atomic orbital wave functions φn(r - Rj) is negligible. Thus, the LCAO method is most suitable for the tightly bound core electrons, and is frequently referred to as the tight-binding approximation. Using this method to derive the wave functions and energy band schemes for the core electrons of a crystalline solid is discussed next.
If φn(r -Rj) represents a set of atomic orbital wave functions that satisfy the free-atom Schrödinger equation, then one can write
()()()(22*2njnojnjnonrRVrRrRErRmφφ⎛⎞−∇−+−−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.87)
Where Vno(r – Rj) is the free atomic potential of the Rjth atom. The wave functions for the crystal orbitals may be expressed in term of a Bloch sum, which is given by
()()()1/21jikrRikrknreerNVφφ−−⋅⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠
()1/21ikrkeurNV⋅⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ (4.88)
Where uk(r) is the Bloch function. In Eq. (4.88), the atomic wave functions are being normalized (i.e., N represents the total number of atoms in the crystal). The factor (1/NV)1/2 is the normalization constant for the Bloch sum if overlapping of the atomic orbitals centered at different atomic sites is negligible. Thus, Eq. (4.88) is a good approximation for the crystal orbitals, provided that the energy levels of the atomic orbits are nondegenerate and overlapping between the orbital wave functions of the neighboring atoms is negligible. This condition can be expressed by
()()*njnirRrRdr φφ−−=∫ (4.89)
Note that in Eq.(4.89), δij = 0 if i ≠ j. Now, substituting Eq. (4.88) into Eq. (4.87), multiplying Eq. (4.87) by the conjugate wave functions, φn*(r - Ri), and integrating the expression over the entire space, one obtains
()()*3kkkErHrφφ=∫
()()()()22*312jiikRRninojnjijerRVrRrRdrNVmφφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞=−−+−⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫h
()()()()*jiikRRnjjnjijerRVrRrRdrφφ⋅−⎫⎪′+−−−⎬⎪⎭Σ∫ (4.90)
Using Eq. (4.89), Eq. (4.90) can be rewritten as follows:
()ijijikRknonnijREERe⋅=−−Σαβ (4.91)
Where Rij = Rj – Ri, and
22*12nonnonENVmφ∇=−+⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h (4.92)
()()2nnijrRVrRdrαφ′=−−−∫ (4.93)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวงการพลังงานส่วนนี้ คำนวณโดยใช้วิธีเชิงเส้นชุดของอะตอมวงโคจร (LCAO) หรือประมาณแน่นผูกเป็นภาพ มักใช้วิธี LCAO ที่แรกถูกนำเสนอ โดยเม็ดเลือดขาว การคำนวณอิเล็กทรอนิกส์สถานะของอิเล็กตรอนในแกนในของแข็งที่เป็นผลึก มันเป็นที่รู้จักกันหลักที่อิเล็กตรอนถูกผูกไว้แน่นกับอะตอมแต่ละตัว ซึ่งโต้ตอบกันภายในโครงตาข่ายประกอบคริสตัลโดยทั่วไป ในกรณีนี้ ทำการก่อสร้างของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนโดยใช้วิธี LCAO และแถบพลังงานของอิเล็กตรอนที่คำนวณสำหรับคริสตัลงวดสอดคล้องกันที่อาจเกิดขึ้น Orbitals อะตอมเป็นศูนย์กลางของอะตอมธาตุของผลึก ฟังก์ชันคลื่นผลลัพธ์แล้วจะแทนลงในสมการวิน และคำนวณค่าพลังงาน ด้วยกระบวนการประมาณ NFE ที่อธิบายไว้ในหัวข้อ 4.5 การใช้วิธีการ LCAO กับหลักอิเล็กตรอนในผลึกของแข็ง การแก้ฟรีอะตอมของวงโคจรคลื่นฟังก์ชันต้องสามารถรับแรก นี้จะกล่าวถึงต่อไปถ้า φn (r - Rj) แทนอะตอมของวงโคจรคลื่นฟังก์ชันไซต์โครงตาข่ายประกอบ Rj แล้วแสดงฟังก์ชันคลื่นของ φk(r) วงโคจรคริสตัลที่สอดคล้องกับ krmay เวกเตอร์คลื่นตามผลเม็ดเลือดขาว ซึ่งเป็นkjnjrCkrRφφ ()()() =Σ (4.84)รวมใน Eq. (4.84) ขยายออกไปเกินส่วนประกอบต่าง ๆ ของอะตอมของผลึก ค่าสัมประสิทธิ์ Cj(K) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเม็ดเลือดขาว เขียนได้เป็นjikRjCke⋅ () = (4.85)ตอนนี้แทน Eq. (4.85) เป็น Eq. (4.84) หนึ่งเหตุผล()()()() jikrRikrikrknjjreerReUφφ−⋅−⋅ =− =Σ (4.86)เพื่อตอบสนองสภาพเม็ดเลือดขาว รวมโดย Eq. (4.86) ต้องมีประจำงวดของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลวิธี LCAO คือ การประมาณ orbitals คริสตัลแท้ชัดเจน วิธีการนี้มีเพียงพอเมื่อระยะห่าง interatomic มีขนาดใหญ่พอที่ทับซ้อนระหว่าง φn อะตอมฟังก์ชันคลื่นของวงโคจร (r - Rj) เป็นระยะ วิธี LCAO เหมาะสมที่สุดสำหรับอิเล็กตรอนหลักผูกแน่น และมักจะเรียกว่าประมาณผูกแน่นต่าง ๆ ใช้วิธีการนี้สามารถรับฟังก์ชันคลื่นและพลังงานโครงร่างวงอิเล็กตรอนหลักของของแข็งผลึกจะกล่าวต่อไปถ้า φn(r-Rj) แสดงถึงชุดของอะตอมฟังก์ชันคลื่นของวงโคจรที่ตรงกับสมการวินอะตอมอิสระ แล้วหนึ่งสามารถเขียน()()() (22 * 2njnojnjnonrRVrRrRErRmφφ⎛⎞−∇− + −− = −⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.87)ซึ่ง Vno (r-Rj) อยู่เป็นอะตอมอิสระของอะตอม Rjth ฟังก์ชันคลื่นสำหรับ orbitals คริสตัลอาจแสดงในเทอมของผลเม็ดเลือดขาว ซึ่งถูกกำหนดโดย()()() 1/21jikrRikrknreerNVφφ−−⋅⎛⎞ =−⎜⎟⎝⎠() 1/21ikrkeurNV⋅⎛⎞ =⎜⎟⎝⎠ (4.88)Where uk(r) is the Bloch function. In Eq. (4.88), the atomic wave functions are being normalized (i.e., N represents the total number of atoms in the crystal). The factor (1/NV)1/2 is the normalization constant for the Bloch sum if overlapping of the atomic orbitals centered at different atomic sites is negligible. Thus, Eq. (4.88) is a good approximation for the crystal orbitals, provided that the energy levels of the atomic orbits are nondegenerate and overlapping between the orbital wave functions of the neighboring atoms is negligible. This condition can be expressed by()()*njnirRrRdr φφ−−=∫ (4.89)Note that in Eq.(4.89), δij = 0 if i ≠ j. Now, substituting Eq. (4.88) into Eq. (4.87), multiplying Eq. (4.87) by the conjugate wave functions, φn*(r - Ri), and integrating the expression over the entire space, one obtains()()*3kkkErHrφφ=∫()()()()22*312jiikRRninojnjijerRVrRrRdrNVmφφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞=−−+−⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫h()()()()*jiikRRnjjnjijerRVrRrRdrφφ⋅−⎫⎪′+−−−⎬⎪⎭Σ∫ (4.90)Using Eq. (4.89), Eq. (4.90) can be rewritten as follows:()ijijikRknonnijREERe⋅=−−Σαβ (4.91)Where Rij = Rj – Ri, and22*12nonnonENVmφ∇=−+⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h (4.92)()()2nnijrRVrRdrαφ′=−−−∫ (4.93)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการใช้พลังงานส่วนนี้คำนวณโดยใช้วงประมาณแน่นผูกพันหรือเส้นรวมกันของวงโคจรของอะตอม (LCAO) วิธีการคือภาพ วิธี LCAO ซึ่งได้รับการเสนอครั้งแรกโดยโบลช,
มักใช้ในการคำนวณรัฐอิเล็กทรอนิกส์ของอิเล็กตรอนหลักในผลึกของแข็ง เป็นที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอิเล็กตรอนหลักจะผูกพันแน่นกับอะตอมของแต่ละบุคคลซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กับคนอื่นในผลึกตาข่าย ในกรณีนี้การก่อสร้างของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจะประสบความสำเร็จโดยใช้วิธีการ LCAO และวงดนตรีที่พลังงานของอิเล็กตรอนที่มีการคำนวณสำหรับคริสตัลที่มีศักยภาพที่สอดคล้องกันเป็นระยะ ๆ orbitals อะตอมเป็นศูนย์กลางในการเป็นหนึ่งในส่วนประกอบของอะตอมคริสตัล ฟังก์ชั่นที่เกิดคลื่นถูกเปลี่ยนตัวลงในสมการSchrödingerและค่าพลังงานที่คำนวณโดยขั้นตอนคล้ายกับว่าประมาณกศอธิบายไว้ในมาตรา 4.5 เพื่อที่จะใช้วิธี LCAO เพื่ออิเล็กตรอนหลักในผลึกของแข็งโซลูชั่นสำหรับฟังก์ชั่นคลื่นโคจรฟรีอะตอมจะต้องได้รับครั้งแรก นี้จะกล่าวถึงต่อไป.
ถ้าφn (R - Rj) แสดงให้เห็นถึงการทำงานของคลื่นโคจรอะตอมศูนย์กลางที่เว็บไซต์ตาข่าย Rj แล้วฟังก์ชันคลื่นของวงโคจรคริสตัลφk (R) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์คลื่น krmay ถูกแทนด้วยผลรวมโบลช ซึ่งเป็น
() () () kjnjrCkrRφφ = Σ (4.84)
​​ผลรวมในสมการ (4.84) ​​ครอบคลุมไปทุกอะตอมส่วนประกอบของผลึก ค่าสัมประสิทธิ์ Cj (K) ซึ่งสอดคล้องกับสภาพโบลชสามารถเขียนเป็น
() jikRjCke⋅ = (4.85)
ตอนนี้แทนสมการ (4.85) ลงในสมการ (4.84) ​​คนหนึ่งได้
() () () (), jikrRikrikrknjjreerReUφφ-⋅⋅-= - = Σ (4.86)
เพื่อตอบสนองสภาพโบลชบวกที่ได้รับจากสมการ (4.86) จะต้องมีระยะเวลาของผลึกตาข่ายที่.
วิธี LCAO อย่างชัดเจนคือประมาณไป orbitals คริสตัลจริง วิธีนี้เป็นวิธีที่เพียงพอเมื่อระยะห่างระหว่างอะตอมมีขนาดใหญ่พอที่ทับซ้อนกันเช่นในหมู่ฟังก์ชันคลื่นโคจรอะตอมφn (R - Rj) เป็นเล็กน้อย ดังนั้นวิธีการ LCAO ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับอิเล็กตรอนหลักผูกไว้แน่นและมักถูกเรียกว่าประมาณแน่นผูกพัน ใช้วิธีนี้จะได้รับจากการทำงานของคลื่นและแผนการวงพลังงานอิเล็กตรอนหลักของผลึกของแข็งจะกล่าวถึงต่อไป.
ถ้าφn (R -Rj) หมายถึงชุดของฟังก์ชันคลื่นโคจรอะตอมที่ตอบสนองฟรีอะตอมSchrödingerสมแล้วหนึ่ง สามารถเขียน
() () () (22 * 2njnojnjnonrRVrRrRErRmφφ⎛⎞-∇ - + - = - ⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.87)
ในกรณีที่นี (R -. Rj) เป็นอะตอมที่มีศักยภาพฟรีอะตอม Rjth ฟังก์ชั่นสำหรับคลื่น orbitals คริสตัลอาจจะแสดงออกในรูปของผลรวมโบลชซึ่งจะได้รับจาก
() () () 1 / 21jikrRikrknreerNVφφ - ⋅⎛⎞ = -⎜⎟⎝⎠
() 1 / 21ikrkeurNV⋅⎛⎞ = ⎜ ⎟⎝⎠ (4.88)
ในกรณีที่สหราชอาณาจักร (R) เป็นฟังก์ชั่นโบลช. ในสม. (4.88) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นคลื่นอะตอมที่ถูกปกติ (เช่นไม่มีข้อความแสดงให้เห็นถึงจำนวนของอะตอมในผลึก). ปัจจัยที่มี (1 / เนวาดา) 1/2 เป็นค่าคงที่การฟื้นฟูสำหรับผลรวม Bloch ถ้าที่ทับซ้อนกันของอะตอม orbitals ศูนย์กลางที่เว็บไซต์ของอะตอมที่แตกต่างกันเล็กน้อย. ดังนั้นสม. (4.88) เป็นประมาณการที่ดีสำหรับ orbitals คริสตัลโดยมีเงื่อนไขว่าระดับพลังงานของ วงโคจรของอะตอมมี nondegenerate และทับซ้อนกันระหว่างฟังก์ชันคลื่นโคจรของอะตอมที่อยู่ใกล้เคียงเป็นเล็กน้อย เงื่อนไขนี้สามารถแสดงโดย
() () * njnirRrRdr φφ - = ∫
(4.89). ทราบว่าในสมการ (4.89) δij = 0 ถ้าฉัน≠เจ ตอนนี้แทนสมการ (4.88) ลงในสมการ (4.87) คูณสมการ (4.87) โดยฟังก์ชั่นคลื่นคอนจูเกตที่φn * (R - Ri) และการบูรณาการการแสดงออกมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดหนึ่ง (4.90) โดยใช้สมการ (4.89), สมการ (4.90) สามารถเขียนใหม่ดังนี้() ijijikRknonnijREERe⋅ = - Σαβ (4.91) ในกรณีที่ Rij = Rj - รีและ22 * 12nonnonENVmφ∇ = - + ⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫h ( 4.92) () () 2nnijrRVrRdrαφ '= ∫ --- (4.93)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในกลุ่มพลังงาน ส่วนการคำนวณโดยใช้แน่นผูกประมาณหรือการรวมกันเชิงเส้นวงโคจรของอะตอม ( lcao ) เป็นภาพ . วิธีที่ lcao ซึ่งเสนอครั้งแรกโดย Bloch , มักจะใช้
คำนวณรัฐอิเล็กทรอนิกส์หลักของอิเล็กตรอนในผลึกของแข็ง เป็นที่ทราบกันทั่วไปแล้วว่า หลักของอิเล็กตรอนให้แน่นผูกอะตอมแต่ละตัวที่โต้ตอบกับคนอื่นภายในผลึกตาข่าย ในกรณีนี้ การสร้างฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนได้ โดยใช้วิธี lcao และแถบพลังงานของอิเล็กตรอนจะถูกคำนวณสำหรับคริสตัลที่อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆ ซึ่งเป็นศูนย์กลางในออร์บิทัลเชิงอะตอมหนึ่งในองค์ประกอบอะตอมของผลึกซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะแทนในสมการของชเรอดิงเงอร์และค่าพลังงานที่คำนวณโดยวิธีการคล้ายกับที่ของการประมาณค่า ( ที่อธิบายไว้ในมาตรา 4 . เพื่อที่จะใช้ lcao วิธีการหลักของอิเล็กตรอนในผลึกของแข็งโซลูชั่นฟรีอะตอมโคจรฟังก์ชันคลื่นต้องได้รับก่อน นี้จะกล่าวถึงต่อไป
ถ้าφ N ( R - RJ ) หมายถึงอะตอมโคจรฟังก์ชันคลื่นศูนย์กลางที่ขัดแตะเว็บไซต์ RJ แล้วฟังก์ชันคลื่นของคริสตัลวงโคจรφ K ( R ) ที่สอดคล้องกับคลื่นเวกเตอร์ krmay ถูกแทนด้วย บล๊อคเงิน ซึ่ง
( ) ( ) ( ) kjnjrckrr φφ =
Σ ( บริษัท ) รวมในอีคิว ( บริษัท ) ขยายทั่วส่วนประกอบอะตอมของผลึก โดย CJ ( K ) ที่ satisfies เงื่อนไขโบลช ,สามารถเขียนเป็น
( ) jikrjcke ⋅ = 4.85 )
ตอนนี้แทนอีคิว ( Content ) ในอีคิว ( บริษัท ) คนหนึ่งได้
( ) ( ) ( ) ( ) jikrrikrikrknjjreerreu φφ−⋅−⋅ = − = Σ ( 3.87 )
เพื่อตอบสนองเงื่อนไข บล๊อค การรวมที่ได้รับจากอีคิว ( 3.87 ) ต้องมี กำหนดออกของแลตทิซผลึก .
วิธี lcao อย่างชัดเจนประมาณสู่วงโคจร คริสตัลแท้วิธีนี้เป็นวิธีที่เพียงพอ เมื่อระยะห่าง interatomic ขนาดใหญ่พอ เช่นที่ทับซ้อนกันระหว่างอะตอมของฟังก์ชันคลื่นφ N ( R - RJ ) เป็นเล็กน้อย ดังนั้น lcao วิธีเหมาะสมที่สุดเพื่อให้แน่นผูกแกนอิเล็กตรอน และมักถูกเรียกว่าประมาณผูกแน่นใช้วิธีนี้เพื่อให้ได้ฟังก์ชันคลื่นและวงพลังงานระบบแกนอิเล็กตรอนของของแข็งผลึก จะกล่าวถึงต่อไป ถ้าφ
n ( R - RJ ) หมายถึงชุดของอะตอมโคจรฟังก์ชันคลื่นที่ตอบสนองฟรีอะตอมสมการของชเรอดิงเงอร์ จากนั้นหนึ่งสามารถเขียน
( ) ( ) ( ) ( 22 * 2njnojnjnonrrvrrrrerrm φφ⎛⎞−∇−−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ H (
= 4.87 )ที่ a ( R ( RJ ) คือศักยภาพของ rjth ฟรีอะตอมอะตอม คลื่นฟังก์ชันสำหรับคริสตัลวงโคจรอาจจะแสดงออกในรูปของ บล๊อคเงิน ซึ่งจะได้รับโดย
( ) ( ) ( ) 1 / 21jikrrikrknreernv φφ−−⋅⎛⎞ = −⎜⎟⎝⎠
( ) 1 / 21ikrkeurnv ⋅⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ( = 4.88 )
ที่ UK ( R ) คือฟังก์ชันบล็อค . ในอีคิว ( 4.88 ) ฟังก์ชันคลื่นอะตอมเป็นปกติ ( เช่นN หมายถึงจำนวนของอะตอมในผลึก ) ปัจจัย ( 1 / NV ) 1 / 2 คือ การฟื้นฟูคงที่สำหรับผลรวมของออร์บิทัลเชิงอะตอม บล๊อค ถ้าซ้อนกันตรงกลาง ที่เว็บไซต์ของอะตอมที่แตกต่างกันเล็กน้อย ดังนั้น อีคิว ( 4.88 ) คือการประมาณที่ดีสำหรับวงโคจรคริสตัล ,โดยที่ระดับพลังงานของอะตอมมีวงโคจร nondegenerate และทับซ้อนกันระหว่างวงโคจรของฟังก์ชันคลื่นของอะตอมเพื่อนบ้านเป็นเล็กน้อย เงื่อนไขนี้สามารถแสดงโดย
( ) ( ) * njnirrrrdr φφ−−∫ ( = 4.89 )
ทราบว่าในอีคิว ( 4.89 ) δ ij = 0 ถ้าผม≠เจตอนนี้แทนอีคิว ( 4.88 ) อีคิว ( 4.87 ) คูณอีคิว ( 4.87 ) โดยผันฟังก์ชันคลื่นφ N * ( R - ริ )และบูรณาการการแสดงออกมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้
( ) ( ) * 3kkkerhr φφ = ∫
( ) ( ) ( ) ( ) 22 * 312jiikrrninojnjijerrvrrrrdrnvm φφ⋅−⎧⎡⎤∇⎪⎛⎞ = −−−⎨⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎪⎣⎦⎩Σ∫ H
( ) ( ) ( ) ( ) * jiikrrnjjnjijerrvrrrrdr φφ⋅−⎫⎪′−−−⎬⎪⎭Σ∫ ( 2 )
( ใช้อีคิวและอีคิว ( 2 ) ) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้
( ) ijijikrknonnijreere ⋅ = −−Σαβ ( 4.91 )
ที่ rij =
RJ –รี22 * 12nonnonenvm φ∇ = −⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫ H ( 4.92 )
( ) ( ) 2nnijrrvrrdr αφ′−−−∫ ( = 4.93 )