CONNECTIONS IN MATHEMATICS: AN INTR

CONNECTIONS IN MATHEMATICS: AN INTRODUCTION TO
FIBONACCI VIA PYTHAGORAS
E. A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff St., Northridge, CA 91330
(Submitted March 1991)
1. INTRODUCTION
We are all familiar with the traditional presentation of the Fibonacci sequence in classes
designed for liberal arts majors. We "wow" the students with pinecones and pineapples! We talk
to them about the wondrous "appearance" of Fibonacci numbers in their world. But can we use
Fibonacci to bring these students into our world?
Is it possible for liberal arts majors to appreciate mathematics—apart from applications of the
subject in art, nature, and other areas? Can we develop courses that instill in students a sense of
excitement about making connections in mathematics, given the attitudes toward our subject that
many of them bring to class? As Lynn Arthur Steen says: "For students in the arts and humanities,
mathematics is an invisible culture—feared, avoided, and consequently misunderstood" (3).
Designing requisite1 mathematics courses for liberal arts students is difficult. In attempting to
give them a sense of mathematics, we often resort to overstressing its utility—reaching for areas
outside of mathematics to validate the study of the subject. Or we assemble what appears to the
students a collection of disjoint topics—offering little motivation for them to search for connections.

The challenge is to draw the students into mathematics—generating in them an excitement
about making mathematical connections and an appreciation of fundamental interrelationships
between topics. I believe I have met this challenge by introducing Fibonacci via Pythagoras, and I
want to share the experience!
2
2. RATIONALE
Mathematics builds upon itself in a way that other sciences do not. Even topics developed in
antiquity continue to be relevant today to mathematical growth—knowledge gives rise to new
knowledge; problems generate new problems. One objective in teaching mathematical concepts is
to give students a sense of how these ideas fit into the edifice we call mathematics. Examination
of connections between mathematical topics is one way to achieve this goal.
The connection between Fibonacci numbers and Pythagorean triples is well known (cf [6],
[16], [17]). But this connection is not frequently used to introduce Fibonacci numbers. I propose
a classroom lesson that involves students working with a familiar topic (Pythagorean triples) prior
to connecting it to an unfamiliar one (Fibonacci numbers). In my experience, the preliminary
work with triples motivates a discussion of this connection, and stimulates students to want to
*In 1983, the largest public university system in the country—the California State University
System—established a mathematics course as a graduation requirement for all students at any of its nineteen
campuses. 2
The appendix includes an annotated list of books, journal articles, and videotapes that I used as resources for
classroom discussion and projects. All numbers in brackets [ ] refer to the resources listed in this appendix.
19931 21
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
learn more about the Fibonacci numbers. Perhaps more importantly, it creates in the students a
genuine excitement about making mathematical connections.
As an alternative to what is perhaps a traditional introduction to the Fibonacci numbers based
on their "surprise" applications in nature—breeding rabbits, patterns in pinecones and pineapples,
etc. (cf. [9], [12], [19]), my presentation enables students to experience this kind of "surprise" in
connecting mathematical areas. The classroom experience begins with discussion of problems
inspired by Pythagorean triples incorporating assignments and activities generating Pythagorean
triples; then follows with an examination of connections between the products of Fibonacci and
Pythagoras and an investigation of the historical and present-day significance of the Fibonacci
numbers. This approach conforms to the goals expressed by Alvin White (1985) in his article
"Beyond Behavioral Objectives":
. . . our guidelines and teaching objectives should not have as their major target or focus the
mastery of facts and techniques. Rather the facts and techniques should be the skeletal
framework which supports our objective of imbuing our students with the spirit of
mathematics and a sense of excitement about the historical development and the creative
process. (3, p. 850)
3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples
I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new
problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in
ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is
more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time
of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of
Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5],
[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]).
I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of
Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the
students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of
multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a
proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group)
and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had
read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together,
observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and
(8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could
be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger
numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two
larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we
discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their
conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships.
We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers
to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some
characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.
22 [FEB.
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
Methods for obtaining Pythagorean triples cited in the Annotated List of Resources range
from simple to sophisticated. I refer to several so the students can get a sense of the range of
options (cf [10], [14], [20], [23]). One they particularly like is Kalman's method (cf. [20]) for
generating Pythagorean triples from proper fractions. Kalman starts with a right triangle with
angle A, such that tan A = a proper fraction, say plq. He then constructs another right triangle
using 2A as one angle. Since tan 2 A = 2 tan A/ (I- tan2 A) = 2pq/ (q2 - /?2
), the legs of the new
triangle can be labeled 2pq and (q2 - p 2 ) . Using the Pythagorean Theorem to determine the
length of the hypotenuse will produce an integer. This proves that Kalman's procedure always
produces a Pythagorean triple when tan A is rational. With the "hands-on" experience of generating
triples and the knowledge gained from exploring other attempts at generating triples using
familiar objects (like fractions), the students are ready to venture into unfamiliar territory.
B. Fibonacci Numbers
Since the students have an understanding of the difficulties involved in generating Pythagorean
triples and a look at the diversity of methods for doing so, they are ready to learn about the
connection between the mathematical products of Fibonacci and Pythagoras. We read and
discuss several articles describing the use of Fibonacci numbers to produce Pythagorean triples
(cf. [6], [16], [17]). The students are intrigued with the connection. The discussion of Fibonacci
and Pythagoras provides a historical perspective and the use of Fibonacci's numbers to generate
Pythagoras' numbers illustrates how mathematics builds upon itself using newer techniques to reexamine
old problems.
The videotape The Theorem of Pythagoras (cf. [2]) shows dynamical versions of dissection
proofs of the Pythagorean theorem. For a classroom activity, I organize students into small
groups to "play with" a cardboard model of a dissection proof, asking them to assemble pre-cut
pieces to illustrate the proof. This gives them a sense of what is involved in a dissection proof I
then follow with a classroom experiment based on the idea of dissection proof designed to show
the students that evidence is different from proof and to prepare the way for a Fibonacci connection.
I ask the students to construct an 8 x 8 square and calculate the area of 64. Then I direct
them to dissect their model into a 5 x 13 figure as indicated:
FIGURE 1
They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they
compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to
65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of
the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a
1993] 23
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts
students to the dangers of accepting visual evidence as proof.
The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and
a Geometrical P

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เชื่อมต่อในคณิตศาสตร์: บทนำฟีโบนัชชีผ่าน PYTHAGORASE. A. Marchisottoมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย Northridge, 18111 Nordhoff เซนต์ Northridge, CA 91330(ส่งเดือนมีนาคมพ.ศ. 2534)1. บทนำเราคุ้นเคยทั้งหมดกับงานนำเสนอดั้งเดิมของลำดับ Fibonacci ในชั้นเรียนออกแบบมาสำหรับสาขาศิลปศาสตร์เอก เรา "ว้าว" นักเรียนที่ มี pinecones และสับปะรด เราพูดคุยเกี่ยวกับดอกไม้ "ลักษณะ" ของเลขฟีโบนัชชีในโลกของพวกเขาเหล่านั้น แต่เราสามารถใช้ฟีโบนัชชีนำนักเรียนเข้าสู่โลกของเราหรือไม่เป็นไปได้สำหรับศิลปศาสตร์สาขาเอกคณิตศาสตร์ชื่นชม — นอกเหนือจากงานหัวข้อศิลปะ ธรรมชาติ และพื้นที่อื่น ๆ เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังนักเรียนของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์ รับเจตคติของเราเรื่องที่หลายให้เรียนหรือไม่ เป็น Lynn Arthur Steen กล่าวว่า: "สำหรับนักเรียนศิลปะและมนุษยศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นวัฒนธรรมมองไม่เห็นตัวกลัว หลีกเลี่ยง และ misunderstood ดัง " (3)Requisite1 หลักสูตรคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนศิลปศาสตร์การออกแบบได้ยาก ในการพยายามให้ความรู้สึกของคณิตศาสตร์ เรามักจะหันไป overstressing ยูทิลิตี้ของตัวถึงการนอกของคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบการศึกษาเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ดูเหมือนจะนักเรียนเป็นชุดของหัวข้อตัว — เสนอแรงจูงใจน้อยสำหรับพวกเขาเพื่อค้นหาการเชื่อมต่อความท้าทายคือการ วาดนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งสร้างความตื่นเต้นที่ได้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์และการเพิ่มค่าของ interrelationships พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ฉันเชื่อว่า ฉันได้พบความท้าทายนี้ ด้วยการแนะนำฟีโบนัชชีผ่าน Pythagoras และต้องการแบ่งปันประสบการณ์22. ผลคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเองในลักษณะที่ไม่มีศาสตร์อื่น ๆ หัวข้อที่ได้รับการพัฒนาในโบราณยังวันนี้ที่เกี่ยวข้องกับการเจริญเติบโตทางคณิตศาสตร์คือความรู้ก่อให้เกิดใหม่ความรู้ ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ วัตถุประสงค์หนึ่งในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือให้นักศึกษารู้สึกว่าความคิดเหล่านี้แบ่งออกเป็น edifice เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบเชื่อมต่อระหว่างหัวข้อทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข Fibonacci และ triples พีทาโกรัสคือ รู้จัก cf ([6],[16], [17]) แต่การเชื่อมต่อนี้ไม่ใช้บ่อยแนะนำเลขฟีโบนัชชี ผมเสนอบทเรียนที่เกี่ยวข้องกับนักเรียนที่ทำงาน ด้วยก่อนหัวข้อที่คุ้นเคย (triples พีทาโกรัส)การเชื่อมต่อไปยังไม่คุ้นเคย (หมายเลขฟีโบนัชชี) ในประสบการณ์ของฉัน ในเบื้องต้นทำงานกับ triples การสนทนาของการเชื่อมต่อนี้แรงบันดาลใจ และกระตุ้นนักเรียนต้องการ* ในปี 1983 ระบบมหาวิทยาลัยรัฐที่ใหญ่ที่สุดในประเทศเช่นมหาวิทยาลัยรัฐแคลิฟอร์เนียระบบ — ก่อตั้งหลักสูตรคณิตศาสตร์เป็นความต้องการศึกษาสำหรับนักเรียนทั้งหมดของของ nineteenวิทยาเขต 2ภาคผนวกมีรายชื่อของหนังสือ บทความสมุดรายวัน และ videotapes ที่เคยเป็นทรัพยากรที่ประกอบเรียนสนทนาและโครงการ ตัวเลขทั้งหมดใน [] วงเล็บหมายถึงทรัพยากรที่อยู่ในภาคผนวกนี้19931 21 เชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับหมายเลขฟีโบนัชชี บางทีมากกว่าที่สำคัญ สร้างนักเรียนมีความตื่นเต้นที่แท้จริงเกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์เป็นทางเลือกที่อาจจะ แนะนำเลขฟีโบนัชชีตามแบบดั้งเดิมใบสมัครของพวกเขา "แปลกใจ" ธรรมชาติ — ผสมพันธุ์กระต่าย รูปแบบใน pinecones และสับปะรดฯลฯ (มัทธิว [9], [12], [19]), งานนำเสนอทำให้นักเรียนประสบประการ "แปลกใจ" ในเชื่อมต่อพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ห้องเรียนเริ่มต้น ด้วยการสนทนาปัญหาแรงบันดาลใจพีทาโกรัส triples กำหนดและกิจกรรมที่สร้างพีทาโกรัสtriples แล้ว ตาม ด้วยการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ของฟีโบนัชชี และPythagoras และการตรวจสอบมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ และเหตุการณ์ของ Fibonacciหมายเลข วิธีการนี้สอดคล้องกับเป้าหมายที่แสดงในบทความของเขา โดย Alvin ขาว (1985)"นอกเหนือจากวัตถุประสงค์พฤติกรรม":...แนวทางและวัตถุประสงค์การสอนของเราควรได้เป็นเป้าหมายหลักหรือโฟกัสของพวกเขาเป็นครูของข้อเท็จจริงและเทคนิค ข้อเท็จจริงและเทคนิคควรต้องการอีกกรอบที่สนับสนุนวัตถุประสงค์ของเรา imbuing นักเรียนของเราด้วยจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และความรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการพัฒนาทางประวัติศาสตร์และการสร้างสรรค์กระบวนการ (3, p. 850)3 บทเรียนห้องเรียนอ.พีทาโกรัส Triplesผมเริ่ม โดยเสนอว่า triples พีทาโกรัสให้หลักฐานวิธีปัญหาสร้างใหม่ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะประหลาดได้ว่า จำนวนเต็มดังกล่าวถูกรู้จักกันในอารยธรรมโบราณปี 1200 ก่อน Pythagoras พยายามให้ความรู้สึกที่บางทีสิ่งเหล่านั้นอื่น ๆ ที่น่าตื่นเต้นคือว่า triples เหล่านี้มีแรงบันดาลใจจากปัญหาที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เวลาของ Pythagoras ฉันเรียน โดย perusing รายการของทรัพยากร การสร้างที่พีทาโกรัส triples เป็นหัวข้อที่ยัง fascinates mathematicians บางร่วมสมัย (มัทธิว [2], [5],[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23])ผมขอท้าทายให้นักเรียนทำงานเป็นกลุ่มการค้นพบลักษณะทั่วไปของพีทาโกรัส triples กับเป้าหมายของการค้นหาแบบฟอร์มที่สร้างไว้ ผมเริ่มจากการถามนักเรียนสร้าง triples หลังจากที่เราได้รายชื่อคนรู้จักพวกเขาไป นี้ก่อให้เกิดการสนทนาของผลคูณของ triples และคาดเดาเป็นผลคูณของ triples triples การสร้างแรงจูงใจต้องการหลักฐานที่แน่นอนเพื่อให้ ฉันการเรียนเป็นกลุ่มขนาดเล็ก (นักเรียน 4-5 ต่อกลุ่ม)และขอให้ฟอร์ม conjectures เกี่ยวกับลักษณะของ triples พีทาโกรัสดั้งเดิม [เรามีอ่านแล้วกล่าว Polya ของลองผิดลองถูกในการแก้ไขปัญหา (1)] นักเรียนทำงานร่วมกันสังเกตรูปแบบ และทำจากการทาย โดย (3, 4, 5), (5, 12, 13), และ(8, 5, 17), (12, 35, 37), พวกเขาทำ conjectures ดังต่อไปนี้: เลขเดียวของทริปเปิ้ลสามารถตาม เมื่อจำนวนทริปเปิ้ลน้อยที่สุดจะได้ ความแตกต่างระหว่างสองขนาดใหญ่คือตัวเลขที่สอง เมื่อทริปเปิ้ลน้อยที่สุดจำนวนคี่ ความแตกต่างระหว่างสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหนึ่ง ที่ห้าเป็นปัจจัยของจำนวนทริ ฯลฯ แล้ว เป็นคลาส เราพูดคุยของแต่ละกลุ่ม conjectures พยายามพิสูจน์ หรือพิสูจน์หักล้างสมมุติฐานของพวกเขา ของพวกเขาconjectures แนะนำคลาสสนทนาน่าสนใจมากเกี่ยวกับตัวเลขและความสัมพันธ์ของพวกเขาเราสำรวจ ตัวอย่าง คำถามของ divisibility การแยกตัวประกอบเฉพาะ มันหมายความว่า สำหรับจำนวนเต็มเป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง ฯลฯ หลังจากที่นักเรียนเล่นกับ triples พีทาโกรัส และตรวจสอบบางส่วนลักษณะของตัวเลขเหล่านี้ พวกเขาจะกระตือรือร้นที่จะค้นหาอย่างเป็นระบบเพื่อสร้างพวกเขา22 [FEB เชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์วิธีการรับพีทาโกรัส triples อ้างในช่วงใส่คำอธิบายประกอบรายการทรัพยากรจากเรื่องจะซับซ้อน ผมหมายถึงหลายเพื่อนักเรียนจะได้รับความรู้สึกหลากหลายตัวเลือก (cf [10], [14], [20], [23]) หนึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งเหมือนเป็นวิธีของ Kalman (มัทธิว [20])สร้างพีทาโกรัส triples จากเศษส่วนเหมาะสม Kalman เริ่มต้น ด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยมุมหนึ่ง เช่นที่แทน A =เศษส่วนเฉพาะ plq พูด เขาสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากอีกแล้วใช้ 2A เป็นมุมหนึ่ง ตั้งแต่ตาล 2 A = 2 ตัน A / (A-tan2) = 2pq / (q2 - / ? 2), ขาของใหม่สามเหลี่ยมสามารถป้าย 2pq (q2 - p 2) และได้ ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อกำหนดความยาวของ hypotenuse จะผลิตเป็นจำนวนเต็ม นี้พิสูจน์วิธี Kalman ว่าเสมอสร้างทริพีทาโกรัสเมื่อ tan คือเชือด กับประสบการณ์ "เพื่อ" สร้างtriples และความรู้ได้รับจากการสำรวจความพยายามอื่น ๆ ที่สร้างโดยใช้ triplesวัตถุที่คุ้นเคย (เช่นเศษส่วน), นักเรียนพร้อมจะร่วมทุนในดินแดนที่ไม่คุ้นเคยบีเลขฟีโบนัชชีเนื่องจากนักเรียนมีความเข้าใจเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องในการสร้างพีทาโกรัสtriples และมองที่ความหลากหลายของวิธีการทำเช่นนั้น พวกเขาพร้อมที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับการการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ทางคณิตศาสตร์ของ Fibonacci Pythagoras เราอ่าน และหารือเกี่ยวกับบทความต่าง ๆ ที่อธิบายการใช้ตัวเลข Fibonacci ผลิต triples พีทาโกรัส(มัทธิว [6], [16], [17]) นักเรียนมี intrigued เชื่อมต่อ การสนทนาของฟีโบนัชชีและ Pythagoras ให้มุมมองทางประวัติศาสตร์และการใช้ตัวเลขของ Fibonacci เพื่อสร้างแสดงหมายเลขของ Pythagoras วิธีคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเองโดยใช้เทคนิคใหม่กับ reexamineปัญหาเก่าทฤษฎีบทของ Pythagoras วิดีโอเทป (cf. [2]) แสดงรุ่น dynamical ชำแหละหลักฐานของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับกิจกรรมห้องเรียน ฉันจัดนักเรียนเป็นขนาดเล็กกลุ่ม "เล่นกับ" แบบจำลองกระดาษของหลักฐานชำแหละ ขอให้รวบรวมก่อนตัดชิ้นเพื่อแสดงหลักฐานการ นี้ช่วยให้พวกเขารู้สึกว่ามีส่วนร่วมในการชำแหละสะกดฉันแล้ว ตาม ด้วยการทดลองห้องเรียนตามความคิดของการชำแหละหลักฐานที่ออกแบบมาเพื่อแสดงนักศึกษาว่าหลักฐานต่าง ๆ จากหลักฐาน และเตรียมวิธีการสำหรับการเชื่อมต่อฟีโบนัชชีผมขอให้นักเรียนสร้างตาราง 8 x 8 และคำนวณพื้นที่ของ 64 แล้วผมตรงให้ dissect รุ่นของพวกเขาเป็นตัวเลข 5 x 13 ตามที่ระบุ:รูปที่ 1อย่างรวดเร็วและคิดว่า รูปนี้เป็นสี่เหลี่ยม ดังนั้นเมื่อฉันขอให้คำนวณพื้นที่ของ พวกเขาคำนวณพื้นที่ 65 น่าจะ "พิสูจน์" ว่า เท่ากับ 64 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม)65 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปแบบชิ้นส่วน dissected ของสี่เหลี่ยม) ตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้าย) แสดงให้เห็นว่า ตัวเลขที่สร้างขึ้นใหม่จะไม่เป็นจริง1993] 23 เชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์สี่เหลี่ยม กิจกรรมนี้ reinforces การพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์และการแจ้งเตือนศึกษาถึงอันตรายของการยอมรับหลักฐานแสดงเป็นหลักฐานการอ่าน และสนใจบทความสุดยอดของบทเรียนนี้ "ลำดับ Fibonacci และP เป็น Geometrical

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การเชื่อมต่อคณิตศาสตร์: บทนำเพื่อ
fibonacci VIA Pythagoras
อี A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff เซนต์ Northridge, CA 91330
(ส่งมีนาคม 1991)
1 บทนำเราทุกคนคุ้นเคยกับการแสดงแบบดั้งเดิมของ Fibonacci ลำดับในชั้นเรียนได้รับการออกแบบสำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เรา "ว้าว" นักเรียนที่มี pinecones และสับปะรด! เราพูดคุยกับพวกเขาเกี่ยวกับความมหัศจรรย์ "ลักษณะ" ของตัวเลขฟีโบนักชีในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้Fibonacci ที่จะนำนักเรียนเหล่านี้เข้ามาในโลกของเรามันเป็นไปได้สำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ชื่นชมคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการใช้งานของเรื่องในศิลปะธรรมชาติและพื้นที่อื่น ๆ ? เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติที่มีต่อเรื่องของเราที่มากของพวกเขานำไปเรียน? ขณะที่ลินน์อาร์เธอร์สตีนกล่าวว่า "สำหรับนักเรียนในศิลปะและมนุษยศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นวัฒนธรรมกลัวที่มองไม่เห็น, หลีกเลี่ยงและเข้าใจผิดจึง" (3). การออกแบบ requisite1 วิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนศิลปศาสตร์เป็นเรื่องยาก ในความพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกของคณิตศาสตร์ที่เรามักจะหันไปใช้ยูทิลิตี้ที่เกินขอบเขตกว้างขวางสำหรับพื้นที่นอกของคณิตศาสตร์ในการตรวจสอบผลการศึกษาของเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ดูเหมือนกับนักเรียนชุดของเคล็ดหัวข้อที่นำเสนอแรงจูงใจเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับพวกเขาในการค้นหาสำหรับการเชื่อมต่อ. ความท้าทายคือการวาดนักเรียนออกเป็นคณิตศาสตร์ที่ก่อให้เกิดในพวกเขาตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์และการแข็งค่าของความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ฉันเชื่อว่าฉันได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำ Fibonacci ผ่าน Pythagoras และฉันต้องการที่จะแบ่งปันประสบการณ์! 2 2 เหตุผลคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองในทางที่วิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทำไม่ได้ หัวข้อแม้การพัฒนาในสมัยโบราณยังคงมีความเกี่ยวข้องในวันนี้เพื่อการเจริญเติบโตความรู้ทางคณิตศาสตร์ก่อให้เกิดใหม่ความรู้ ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ หนึ่งวัตถุประสงค์ในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือเพื่อให้นักเรียนรู้สึกของวิธีคิดเหล่านี้ใส่ลงไปในตึกที่เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างหัวข้อทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้. เชื่อมต่อระหว่างตัวเลข Fibonacci และอเนกประสงค์พีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดี (CF [6], [16] [17]) แต่การเชื่อมต่อนี้จะไม่ได้ใช้บ่อยในการแนะนำจำนวนฟีโบนักชี ผมเสนอบทเรียนในห้องเรียนที่เกี่ยวข้องกับการทำงานร่วมกับนักเรียนเป็นหัวข้อที่คุ้นเคย (พีทาโกรัสอเนกประสงค์) ก่อนที่จะเชื่อมต่อไปยังหนึ่งที่ไม่คุ้นเคย(ตัวเลข Fibonacci) จากประสบการณ์ของผมเบื้องต้นทำงานร่วมกับอเนกประสงค์กระตุ้นการอภิปรายของการเชื่อมต่อนี้และช่วยกระตุ้นให้นักเรียนต้องการ* ในปี 1983 ระบบมหาวิทยาลัยของรัฐที่ใหญ่ที่สุดในประเทศมหาวิทยาลัยแห่งรัฐแคลิฟอร์เนียระบบขึ้นเป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์ตามความต้องการของการสำเร็จการศึกษาสำหรับนักเรียนทุกคนที่ใด ๆ ของเก้าของมหาวิทยาลัย 2 ภาคผนวกรวมถึงรายการที่บันทึกย่อของหนังสือบทความวารสารและวิดีโอเทปที่ผมใช้เป็นแหล่งข้อมูลสำหรับการอภิปรายในห้องเรียนและโครงการ ตัวเลขทั้งหมดในวงเล็บ [] หมายถึงทรัพยากรที่ระบุไว้ในภาคผนวกนี้. 19931 21 เชื่อมต่อคณิตศาสตร์เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนักชี บางทีอาจจะสำคัญกว่ามันจะสร้างนักเรียนที่ตื่นเต้นของแท้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์. ในฐานะที่เป็นทางเลือกให้กับสิ่งที่อาจจะเป็นการแนะนำแบบดั้งเดิมที่ตัวเลข Fibonacci ตามที่"แปลกใจ" งานของพวกเขาในกระต่ายธรรมชาติพันธุ์รูปแบบใน pinecones และสับปะรดเป็นต้น (cf [9] [12] [19]), การนำเสนอของฉันช่วยให้นักเรียนได้สัมผัสกับชนิดของ "แปลกใจ" ในการเชื่อมต่อพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ในห้องเรียนเริ่มต้นด้วยการอภิปรายของปัญหาแรงบันดาลใจจากการผสมผสานพีทาโกรัสอเนกประสงค์ที่ได้รับมอบหมายและกิจกรรมการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์; แล้วต่อไปนี้มีการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ของ Fibonacci และพีธากอรัสและการตรวจสอบของความสำคัญทางประวัติศาสตร์และปัจจุบันวันของFibonacci ตัวเลข วิธีการนี้เป็นไปตามเป้าหมายที่แสดงโดยอัลวินสีขาว (1985) ในบทความของเขา"นอกเหนือจากวัตถุประสงค์พฤติกรรม" . . แนวทางและวัตถุประสงค์ของการเรียนการสอนของเราไม่ควรจะเป็นเป้าหมายสำคัญของพวกเขาหรือมุ่งเน้นการเรียนรู้ของข้อเท็จจริงและเทคนิค แต่ข้อเท็จจริงและเทคนิคที่ควรจะเป็นโครงกระดูกกรอบที่สนับสนุนวัตถุประสงค์ของ imbuing นักเรียนของเรามีจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และความรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการพัฒนาทางประวัติศาสตร์และความคิดสร้างสรรค์กระบวนการ (3, p. 850) 3 ห้องเรียนบทเรียนเอ พีทาโกรัสอเนกประสงค์ผมเริ่มต้นด้วยการเสนอว่าพีทาโกรัสอเนกประสงค์ให้ปากคำของวิธีการสร้างปัญหาใหม่ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะประหลาดใจที่พบว่าเลขดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในอารยธรรมโบราณ 1,200 ปีก่อนที่พีทาโกรัส ฉันพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกว่าสิ่งที่อาจจะเป็นที่น่าตื่นเต้นมากขึ้นก็คืออเนกประสงค์เหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจปัญหาที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เวลาของPythagoras นักเรียนของฉันได้เรียนรู้โดย perusing รายการของทรัพยากรที่รุ่นของพีทาโกรัสอเนกประสงค์เป็นหัวข้อที่ยังคงร่วมสมัยfascinates นักคณิตศาสตร์บาง (cf [2] [5] [6] [10] [11], [ 14] [16] [17] [20] [22] [23]). ผมขอท้าให้นักเรียนที่จะทำงานในกลุ่มที่จะค้นพบลักษณะทั่วไปของพีทาโกรัสอเนกประสงค์โดยมีเป้าหมายในการหารูปแบบที่สร้างขึ้นสำหรับพวกเขา ฉันเริ่มต้นด้วยการขอให้นักเรียนที่จะสร้างอเนกประสงค์หลังจากที่เราได้รายชื่อคนที่รู้จักกันกับพวกเขา นี้ก่อให้เกิดการอภิปรายของหลายอเนกประสงค์และการคาดเดาว่าหลายอเนกประสงค์มีความอเนกประสงค์ที่สร้างแรงจูงใจความจำเป็นในการที่พิสูจน์ให้เห็นว่านี่เป็นดังนั้น ผมในรูปแบบชั้นเรียนเป็นกลุ่มขนาดเล็ก (4-5 คนต่อกลุ่ม) และขอให้พวกเขาในรูปแบบคาดเดาเกี่ยวกับลักษณะของอเนกประสงค์พีทาโกรัสดั้งเดิม [เราได้อ่านและกล่าวถึงการวิเคราะห์พฤติกรรมPolya สำหรับการแก้ปัญหา (1)] นักเรียนทำงานร่วมกันสังเกตรูปแบบและการคาดเดา ตัวอย่างเช่นโดยการมองหาที่ (3, 4, 5), (5, 12, 13) และ(8, 5, 17), (12, 35, 37) พวกเขาทำให้คาดเดาต่อไปนี้: เพียงหนึ่งในจำนวน สามอาจจะยิ่ง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามแม้จะมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองขนาดใหญ่จำนวนสอง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามเป็นสิ่งที่แปลกแตกต่างระหว่างทั้งสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหนึ่ง; ที่เป็นปัจจัยที่ห้าของจำนวนของสามบาง; ฯลฯ จากนั้นเป็นระดับที่เราหารือคิดเห็นของแต่ละกลุ่มพยายามที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานของพวกเขา พวกเขาคาดเดาแนะนำอภิปรายในชั้นเรียนที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับตัวเลขและสัมพันธ์ของพวกเขา. เราสำรวจตัวอย่างเช่นคำถามของหาร, ตัวประกอบที่สำคัญสิ่งที่มันหมายถึงจำนวนเต็มจะค่อนข้างสำคัญฯลฯ หลังจากที่นักเรียนเล่นกับพีทาโกรัสอเนกประสงค์และตรวจสอบบางลักษณะตัวเลขเหล่านี้พวกเขามีความกระตือรือร้นที่จะหาวิธีการที่เป็นระบบในการสร้างพวกเขา. 22 [กุมภาพันธ์เชื่อมคณิตศาสตร์วิธีการสำหรับการได้รับพีทาโกรัสอเนกประสงค์อ้างถึงในรายการข้อเขียนของช่วงทรัพยากรจากง่ายซับซ้อน ผมหมายถึงหลายเพื่อให้นักเรียนได้รับความรู้สึกของความหลากหลายของตัวเลือก (CF [10] [14] [20] [23]) โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนึ่งที่พวกเขาชอบคือวิธีการของคาลมาน (cf [20]) สำหรับการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์จากเศษส่วนที่เหมาะสม คาลมานเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับมุม A, สีน้ำตาลดังกล่าวว่า A = ส่วนที่เหมาะสมพูด PLQ จากนั้นเขาก็สร้างอีกสามเหลี่ยมมุมฉากใช้ 2A เป็นมุมหนึ่ง ตั้งแต่สีน้ำตาล 2 = 2 น้ำตาล A / (I- tan2 A) = 2PQ / (q2? - / 2) ขาของใหม่สามเหลี่ยมสามารถระบุ 2PQ และ (q2 p - 2) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการกำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะผลิตจำนวนเต็ม นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าขั้นตอนคาลมานเสมอผลิตพีทาโกรัสสามเมื่อน้ำตาลเป็นเหตุผล กับ "มือบน" ประสบการณ์ในการสร้างอเนกประสงค์และความรู้ที่ได้จากการสำรวจความพยายามอื่นๆ ที่สร้างอเนกประสงค์โดยใช้วัตถุที่คุ้นเคย(เช่นเศษส่วน) นักเรียนมีความพร้อมที่จะร่วมเข้าไปในดินแดนที่ไม่คุ้นเคย. บี ตัวเลข Fibonacci ตั้งแต่นักเรียนมีความเข้าใจในความยากลำบากที่มีส่วนร่วมในการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์และดูที่ความหลากหลายของวิธีการสำหรับการทำเช่นนั้นพวกเขาก็พร้อมที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ทางคณิตศาสตร์ของFibonacci และพีทาโกรัส เราอ่านและหารือเกี่ยวกับหลายบทความที่อธิบายถึงการใช้งานของตัวเลขฟีโบนักชีในการผลิตอเนกประสงค์พีทาโกรัส(cf [6] [16] [17]) นักเรียนที่มีความสนใจที่มีการเชื่อมต่อ การอภิปรายของ Fibonacci และพีธากอรัสมีมุมมองทางประวัติศาสตร์และการใช้งานของตัวเลข Fibonacci ที่จะสร้างตัวเลขPythagoras 'แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองโดยใช้เทคนิคใหม่ในการทบทวนปัญหาเก่า. เทปทฤษฎีบทของพีธากอรัส (cf [2]) แสดงให้เห็นถึงพลัง รุ่นผ่าพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับกิจกรรมในชั้นเรียนที่ผมจัดนักเรียนเป็นขนาดเล็กกลุ่มที่จะ "เล่นกับ" รูปแบบกระดาษแข็งของการพิสูจน์ผ่าได้ขอให้พวกเขาที่จะรวบรวมก่อนตัดชิ้นแสดงให้เห็นถึงหลักฐาน นี้จะช่วยให้พวกเขารู้สึกของสิ่งที่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์ผ่าฉันแล้วตามด้วยการทดลองในห้องเรียนบนพื้นฐานความคิดของการพิสูจน์ผ่าออกแบบมาเพื่อแสดงนักเรียนที่หลักฐานจะแตกต่างจากหลักฐานและการเตรียมความพร้อมทางสำหรับการเชื่อมต่อFibonacci ที่. ฉันขอ นักเรียนที่จะสร้าง 8 x 8 ตารางและคำนวณพื้นที่ 64 แล้วฉันโดยตรงพวกเขาที่จะผ่ารูปแบบของพวกเขาเป็น5 x 13 รูปตามที่ระบุ: รูปที่ 1 พวกเขาได้อย่างรวดเร็วถือว่าตัวเลขนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังนั้นเมื่อผมขอให้พวกเขา คำนวณพื้นที่, พวกเขาคำนวณพื้นที่65 นี้ดูเหมือนว่าจะ "พิสูจน์" ที่ 64 (พื้นที่ของตารางเดิม) มีค่าเท่ากับ65 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นรูปแบบชิ้นชำแหละของตาราง) การตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้ายกัน) แสดงให้เห็นว่ารูปที่สร้างขึ้นใหม่ไม่ได้อย่างแท้จริง 1993] 23 การเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์สี่เหลี่ยมผืนผ้า กิจกรรมนี้ตอกย้ำความจำเป็นของการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์และการแจ้งเตือนนักเรียนถึงอันตรายของการยอมรับหลักฐานภาพเป็นหลักฐาน. สุดยอดของบทเรียนนี้คือการอ่านและการหารือบทความ "ลำดับฟีโบนักชีและเรขาคณิตP

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ : บทนำ


. . marchisotto Fibonacci โดยปิธากอรัส
California State University Northridge 18111 นอร์ดฮอฟ St . , Northridge , CA 91330
( ส่งมีนาคม 1991 )
1 บทนำ
เราทุกคนคุ้นเคยกับแบบดั้งเดิมของการนำเสนอลำดับ Fibonacci ในคลาส
ออกแบบมาสำหรับวิชาเอกศิลปศาสตร์ เรา " ว้าว " นักศึกษากับลูกสนและสับปะรด ! เราพูด
กับพวกเขาเกี่ยวกับมหัศจรรย์ " ลักษณะ " ของตัวเลข Fibonacci ในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้
Fibonacci พานักเรียนพวกนี้เข้าไปในโลกของเรา
มันเป็นไปได้สำหรับศิลปศาสตร์ วิชาเอกคณิตศาสตร์ นอกจากชื่นชมงานของ
วิชาศิลปะ , ธรรมชาติ , และพื้นที่อื่น ๆ เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกตื่นเต้นเกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อ
ในคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติในเรื่องที่
หลายของพวกเขานำห้อง ? โดย Lynn อาเธอร์สตีนกล่าวว่า : " สำหรับนักศึกษาศิลปะและมนุษยศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นมองไม่เห็นวัฒนธรรมกลัว หลีกเลี่ยงการเข้าใจผิด " ( 3 ) .
หลักสูตรคณิตศาสตร์ แบบ requisite1 ผู้เรียนสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เป็นเรื่องยาก ในการพยายามที่จะ
ให้พวกเขารู้สึกของคณิตศาสตร์เรามักจะใช้ overstressing ยูทิลิตี้การตรวจสอบพื้นที่
นอกคณิตศาสตร์ศึกษาเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ปรากฏ
นักเรียนไม่มีส่วนร่วมเสนอคอลเลกชันของหัวข้อแรงจูงใจสำหรับพวกเขาเพื่อค้นหาการเชื่อมต่อ .

เป็นความท้าทายเพื่อดึงดูดนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ที่สร้างในพวกเขามีความตื่นเต้น
เกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ และการแข็งค่าของ
ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ผมเชื่อว่าผมได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำของ Fibonacci ผ่านปีธากอรัส และผม
อยากแบ่งปันประสบการณ์
2
2 คณิตศาสตร์เหตุผล
สร้างขึ้นเองในทางที่ศาสตร์อื่น ๆไม่ได้ แม้หัวข้อการพัฒนา
สมัยโบราณยังคงเกี่ยวข้องวันนี้เพื่อความรู้ของคณิตศาสตร์ให้สูงขึ้นเพื่อความรู้ใหม่
; ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ วัตถุประสงค์หนึ่งในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือ
เพื่อให้นักเรียนรู้สึกถึงความคิดเหล่านี้พอดีในคฤหาสน์เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่าง
หัวข้อคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้ .
การเชื่อมต่อระหว่างตัวเลข Fibonacci และ สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดี ( CF [ 6 ] ,
[ 16 ] , [ 17 ] ) แต่การเชื่อมต่อนี้ไม่ใช้บ่อยแนะนำตัวเลขฟิโบนัชชี่ ผมเสนอ
เรียนบทเรียนที่เกี่ยวข้องกับนักศึกษาทำงานกับหัวข้อที่คุ้นเคย ( สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ) ก่อนที่
เพื่อเชื่อมต่อกับที่ไม่คุ้นเคย ( ตัวเลข Fibonacci ) ในประสบการณ์ของฉัน , เบื้องต้น
การทำงานกับอเนกประสงค์กระตุ้นการอภิปรายของการเชื่อมต่อนี้ และกระตุ้นให้นักเรียนอยาก
* ในปี 1983 ที่ใหญ่ที่สุดในระบบมหาวิทยาลัยของรัฐในประเทศระบบมหาวิทยาลัย
รัฐแคลิฟอร์เนียก่อตั้งคณิตศาสตร์หลักสูตรการศึกษาของนักเรียนทั้งหมดในใด ๆของสิบเก้า
มหาวิทยาลัย 2
ไส้ติ่งมีแสดงรายชื่อหนังสือ บทความวารสารและ กลุ่มที่ผมใช้เป็นทรัพยากรสำหรับโครงการชั้นเรียนการอภิปรายและ
. ตัวเลขในวงเล็บ [ ] หมายถึงทรัพยากรที่ระบุไว้ในภาคผนวกนี้

19931 21 การเชื่อมต่อคณิตศาสตร์
เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลข บางทียิ่งจะสร้างในนักเรียนตื่นเต้นเกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์แท้

.เป็นทางเลือกที่อาจจะแนะนำให้ใช้แบบตัวเลข Fibonacci
" เซอร์ไพรส์ " ของโปรแกรมประยุกต์ในธรรมชาติ กระต่ายพันธุ์ รูปแบบของลูกสนและสับปะรด
ฯลฯ ( CF . [ 9 ] , [ 12 ] , [ 19 ] ) , การนำเสนอช่วยให้นักเรียนมีประสบการณ์แบบนี้ใน
" เซอร์ไพรส์ " เชื่อมต่อพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ในห้องเรียน เริ่มต้นด้วยการอภิปรายปัญหา
แรงบันดาลใจจากสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจะมอบหมายและกิจกรรมการสร้างพีทาโกรัส
อเนกประสงค์ แล้วตามด้วยการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ของ Fibonacci และ
พิธากอรัส และการสืบสวนของความสำคัญทางประวัติศาสตร์และปัจจุบัน - วันของ Fibonacci
ตัวเลข แนวคิดนี้สอดคล้องกับเป้าหมายที่แสดงออกโดยอัลวินขาว ( 1985 )
บทความของเขา" นอกเหนือจากวัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม " :

. . . . . . . แนวทางและวัตถุประสงค์ของการสอนของเรา ไม่ควรเป็นเป้าหมายหลักของพวกเขาหรือโฟกัส
การเรียนรู้ข้อเท็จจริงและเทคนิค แต่ข้อเท็จจริงและเทคนิคควรเป็นกระดูก
กรอบที่สนับสนุนวัตถุประสงค์ของ imbuing นักเรียนของเราด้วยจิตวิญญาณของ
คณิตศาสตร์และความรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับพัฒนาการและกระบวนการที่สร้างสรรค์

( 3