where N.t/ is the population at tim

where N.t/ is the population at time t , r is the growth rate of the species, andK >0
is called the carrying capacity of the habitat (note that here there is no immigration
or emigration). The solution N.t/ of (2.1) is said to be oscillatory about the positive
steady state K if N.tn/  K D 0; for n D 0; 1; 2; :: and limn!1 tn D 1. The
solution N.t/ of (2.1) is said to be nonoscillatory about K if there exits t0  0 such
that jN.t/  Kj > 0 for t  t0. A solution N.t/ is said to be oscillatory (here we
mean oscillatory about zero) if there exists a sequence ftng such that N.tn/ D 0; for
n D 0; 1; 2; ::. and limn!1 tn D1: A solution N.t/ is said to be nonoscillatory if
there exits t0  0 such that jN.t/j > 0 for t  t0:
Together with (2.1), we consider solutions of (2.1) which correspond to the initial
condition

N.t/ D
.t/ for    t  0;

2 C.OE; 0; OE0;1//; and
.0/ > 0:
(2.2)
Clearly the initial value problem (2.1), (2.2) has a unique positive solution for all
t  0: This follows by the method of steps. We begin with the usual result in any
book on oscillation and we quote here the linearized oscillation theorem taken from
[30].
Theorem 2.1.1. Consider the nonlinear delay differential equation
x
0
.t / C
Xn
iD1
pifi .x.t  i // D 0; (2.3)
where for i D 1; : : : ; n;
pi 2 .0;1/; i 2 OE0;1/; fi 2 COER;R; (2.4)
ufi .u/ > 0for u ¤ 0 and lim
u!0
fi .u/
u D 1; (2.5)
and there exits a positive constant ı such that
either fi .u/ u for0  u  ı and i D 1;2; : : : ; n;
or fi .u/ u for  ı  u  0 and i D 1;2; : : : ; n:

(2.6)
Then every solution of (2.3) oscillates if and only if every solution of the linearized
equation
y
0
.t / C
Xn
iD1
piy.t  i / D 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

N.t/ เป็น ประชากรที่เวลา t, r คือ อัตราการเติบโตของพันธุ์ andK > 0เรียกว่าจุของอยู่อาศัย (หมายเหตุที่นี่ไม่มีไม่ตรวจคนเข้าเมืองหรือ emigration) โซลูชั่น N.t/ ของ (2.1) กล่าวได้ว่า เป็น oscillatory เกี่ยวกับในแง่บวกคงรัฐ K ถ้า N.tn/ K D 0 สำหรับ n D 0 1 2 :: และ limn ! 1 tn D 1 ที่โซลูชั่น N.t/ ของ (2.1) กล่าวได้ว่า เป็น nonoscillatory เกี่ยวกับ K ถ้ามีออกจาก t0 0 เช่นที่ jN.t/ ล > 0 สำหรับ t t0 ปัญหา N.t/ กล่าวได้ว่า เป็น oscillatory (ที่นี่เราค่าเฉลี่ย oscillatory เกี่ยวกับศูนย์) ถ้ามีการลำดับ ftng เช่นที่ N.tn/ D 0 สำหรับD n 0 1 2 ::. และ limn ! 1 tn ง 1: แก้ไขปัญหา N.t/ กล่าวได้ว่า เป็น nonoscillatory ถ้ามีออกจาก t0 0 เช่นที่ jN.t/j > 0 สำหรับ t t0:(2.1), กับเราพิจารณาโซลูชั่น (2.1) ซึ่งสอดคล้องกับต้นเงื่อนไขN.t/ D .t / t 0 2 C.OE 0 OE0; 1 / /; และ 0 / > 0:(2.2)ชัดเจนค่าเริ่มต้นปัญหา (2.1), (2.2) มีเฉพาะค่าบวกทั้งหมดt 0: นี้ต่อไปนี้ โดยวิธีการขั้นตอนการ เราเริ่มต้น ด้วยผลปกติในหนังสือในสั่น และเราเสนอทฤษฎีบทสั่นเป็นเส้นตรงที่นำมาจากที่นี่[30]ทฤษฎีบทที่ 2.1.1 พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นระหว่างx0.t / CXniD1pifi. x.t ฉัน / / 0; D (2.3)ที่หา D 1 : : : ; nพาย 2 .0; 1 /; ผม 2 OE0; 1 /; สาย 2 COER R (2.4)ufi .u / > 0for u ¤ 0 และ limu ! 0.u ไร้สาย /u D 1 (2.5)และมีออกıคงเป็นค่าบวกให้.u ใดไร้สาย / u for0 u ıและ D 1; 2 : : : ; nหรือ fi .u / u สำหรับı u 0 และ D 1; 2 : : : ; n: (2.6)แล้ว oscillates ทุกโซลูชั่น (2.3) และเมื่อทุกโซลูชั่นของการ linearizedสมการy0.t / CXniD1piy.t ฉัน / D 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ Nt / เป็นประชากรที่เวลา t r คืออัตราการเจริญเติบโตของสายพันธุ์, andK> 0
จะเรียกว่าขีดความสามารถของที่อยู่อาศัย (โปรดทราบว่าที่นี่ไม่มีคนเข้าเมือง
หรือการอพยพ) วิธีการแก้ปัญหา Nt / ของ (2.1) กล่าวจะแกว่งบวกเกี่ยวกับ
ความมั่นคงของรัฐ K ถ้า N.tn/? KD 0; สำหรับ n D 0; 1; 2; :: บรรยายและ 1 tn D 1.
การแก้ปัญหา Nt / ของ (2.1) การกล่าวถึงเป็น nonoscillatory เกี่ยวกับ K ถ้ามีออก t0? 0 เช่น
ที่ jN.t /? Kj> 0 สำหรับ t? t0 วิธีการแก้ปัญหา Nt / กล่าวจะแกว่ง (ที่นี่เรา
หมายถึงการแกว่งเกี่ยวกับศูนย์) ถ้ามีลำดับ ftng ดังกล่าวที่ N.tn/ D 0; สำหรับ
n D 0; 1; 2; :: และบรรยาย 1 tn D1: การแก้ปัญหา Nt / การกล่าวถึงเป็น nonoscillatory ถ้า
มีออก t0? 0 เช่นที่ jN.t / เจ> 0 สำหรับ t? t0:
ร่วมกับ (2.1) เราจะพิจารณาการแก้ปัญหาของ (2.1) ซึ่งสอดคล้องกับการเริ่มต้น
สภาพ
?
Nt / D
.t / หรือไม่? ? ? T? 0; 2 C.OE ??; 0 ?; OE0 1 //; และ0.0 /> 0: (2.2) เห็นได้ชัดว่าปัญหาค่าเริ่มต้น (2.1) (2.2) มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันในเชิงบวกสำหรับทุกT? 0: นี้ต่อไปนี้โดยวิธีการขั้นตอน เราเริ่มต้นด้วยผลปกติในหนังสือเกี่ยวกับความผันผวนและการที่เราพูดนี่ทฤษฎีบทผันผวนเชิงเส้นที่นำมาจาก[30]. ทฤษฎีบท 2.1.1 พิจารณาล่าช้าไม่เชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์x 0 .t / C Xn id1 pifi .xt? ? ผม // D 0; (2.3) ที่สำหรับฉัน D 1; :::; n; ปี่ 2 0.0 1 /; ? ผม 2 OE0; 1 /; สาย 2 COER; R ?; (2.4) UFI .u /> 0for ยู¤ 0 และลิมยู 0! ไฟ .u / ยู D 1; (2.5) และมีออกมาในเชิงบวกอย่างต่อเนื่องıดังกล่าวว่าทั้งสาย .u /? ยู for0? ยู? ıและฉัน D 1; 2; :::; n; หรือสาย .u / u สำหรับ? ผม? ยู? 0 และฉัน D 1; 2; :::; n: (2.6) แล้ววิธีการแก้ปัญหาของทุก (2.3) oscillates ถ้าหากทุกวิธีการแก้ปัญหาของเชิงเส้นสมการy ที่0 .t / C Xn id1 piy.t? ? ผม / D 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ n.t/ เป็นประชากรที่เวลา t , R คือ อัตราการเติบโตของพืช ทิ้ง > 0
เรียกว่าแบกความจุของสิ่งแวดล้อม ( ทราบว่า ที่นี่ไม่มีการอพยพ
หรืออพยพ ) โซลูชั่น n.t/ ( 2.1 ) กล่าวว่าเป็นลังเลเกี่ยวกับบวก
K คงตัว ถ้า n.tn/  K D 0 n D ; 0 ; 1 ; 2 ; : : และบรรยาย ! 1 TN D 1 โซลูชั่น n.t/
( 21 ) กล่าวว่า จะ nonoscillatory เกี่ยวกับ K ถ้ามีทางออก t0  0 เช่น
ที่ jn.t/  KJ > 0 t0 t  . โซลูชั่น n.t/ กล่าวจะลังเล ( ที่นี่เรา
หมายถึงลังเลเกี่ยวกับศูนย์ ) ถ้าไม่มีลำดับ ftng เช่นที่ n.tn/ D 0 n D ;
0 ; 1 ; 2 ; : : . แล้วบรรยาย ! 1 0 D1 : โซลูชั่น n.t/ กล่าวจะ nonoscillatory ถ้าออก  0 t0
มีเช่นที่ jn.t/j > 0 สำหรับ  t0 t :
ร่วมกับ ( 2.1 )เราพิจารณาโซลูชั่น ( 2.1 ) ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น


n.t/ D
. t /     0 T ;
2 c.oe   ; 0  ; oe0 ; 1 / / ;
0 / > 0 :
( 2.2 )
ชัดเจนปัญหาค่า เริ่มต้น ( 2.1 ) ( 2.2 ) มีโซลูชั่นบวกกันทั้งหมด
t  0 : 1 โดยวิธีการขั้นตอนที่ เราเริ่มต้นด้วยผลปกติใน
หนังสือเกี่ยวกับการสั่นและเราพูดที่นี่ช่วงการแกว่งทฤษฎีบทมาจาก
[ 30 ] .
ทฤษฎีบท 2.1.1 . พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นการ
x
0
. t / c
ซิน

id1 pifi . x.t   ผม / / D 0 ; ( 2.3 )
ซึ่งฉัน D 1 ; : : : ; n ;
pi 2 0 ; 1 ;  ชั้น 2 oe0 ; 1 / ; สาย 2 coer ; R  ; ( 2.4 )
UFI U / u > 0for ¤ 0 และลิม
U ! 0
fi . U /
1 U D ;
( 2.5 ) และมีทางออกฉุกเฉินบวกคงที่ıเช่น
ให้ฟี