In mathematics, particularly linear

In mathematics, particularly linear algebra and numerical analysis, the Gram–Schmidt process is a method for orthonormalising a set of vectors in an inner product space, most commonly the Euclidean space Rn. The Gram–Schmidt process takes a finite, linearly independent set S = {v1, ..., vk} for k ≤ n and generates an orthogonal set S′ = {u1, ..., uk} that spans the same k-dimensional subspace of Rn as S.

The method is named after Jørgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt but it appeared earlier in the work of Laplace and Cauchy. In the theory of Lie group decompositions it is generalized by the Iwasawa decomposition.[1]

The application of the Gram–Schmidt process to the column vectors of a full column rank matrix yields the QR decomposition (it is decomposed into an orthogonal and a triangular matrix).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์เชิงตัวเลข และพีชคณิตเชิงเส้นการกรัม – ชมิดท์คือ วิธีการ orthonormalising ชุดของเวกเตอร์ในการคูณภายในพื้นที่ มัก Euclidean เนื้อที่ Rn การกรัม – อบใช้เวลาจำกัด อิสระเชิงเส้นชุด S = {v1,..., vk } สำหรับ k ≤ n และสร้าง S′ ตั้งเป็น orthogonal = {u1,..., อังกฤษ} ที่ครอบคลุม subspace k มิติที่เหมือนกันของ Rn เป็น S.

วิธีการตั้งชื่อ Jørgen Pedersen กรัมและชมิดท์ Erhard แต่ปรากฏในการทำงานของลาปลาสและ Cauchy ก่อนหน้านี้ ในทฤษฎีของ decompositions กลุ่มโกหก มันคือตั้งค่าทั่วไป โดยการเน่า Iwasawa[1]

โปรแกรมประยุกต์การกรัม – ชมิดท์เวกเตอร์คอลัมน์ในคอลัมน์เต็มอันดับเมทริกซ์ทำให้การเน่า QR (มันจะย่อยสลายไปเป็น orthogonal และเมทริกซ์สามเหลี่ยม)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในวิชาคณิตศาสตร์พีชคณิตเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งและการวิเคราะห์เชิงตัวเลขกระบวนการแกรม Schmidt เป็นวิธีการ orthonormalising ชุดของเวกเตอร์ในพื้นที่สินค้าภายในมากที่สุดปริภูมิแบบยุคลิด Rn กระบวนการแกรม Schmidt จะ จำกัด ชุดที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรง S = {v1, ... VK} สำหรับ k ≤ n และสร้างชุด S 'ฉาก = {u1 ... , สหราชอาณาจักร} ที่ครอบคลุม k- เดียวกัน สเปซมิติของ Rn เป็น S. วิธีการตั้งชื่อตามJørgen Pedersen กรัมและศูนย์ Schmidt แต่ก็ปรากฏตัวขึ้นก่อนหน้านี้ในการทำงานของเลซและ Cauchy ในทฤษฎีของการแบ่งกลุ่มโกหกมันก็ทั่วไปโดยการสลายตัว Iwasawa. [1] การประยุกต์ใช้กระบวนการแกรม Schmidt กับเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ยศคอลัมน์เต็มรูปแบบผลตอบแทนการสลายตัว QR (มันจะแตกออกเป็นมุมฉากและรูปสามเหลี่ยม เมทริกซ์)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเส้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์เชิงตัวเลข กรัม–ชมิดท์กระบวนการเป็นวิธีการ orthonormalising ชุดของเวกเตอร์ในพื้นที่ชั้นในของผลิตภัณฑ์มักใช้พื้นที่ RN . จะกรัม–ชมิดท์กระบวนการจำกัด linearly อิสระชุด S = { V1 , . . . , VK } สำหรับ K ≤ N และสร้างการตั้งค่า s School ) = { U1 , . . .อังกฤษ } ที่ขยายได้ k-dimensional เดียวกันของ Rn เป็น S .

วิธีการตั้งชื่อตามเจขึ้น Rgen Pedersen กรัม Erhard Schmidt แต่ปรากฏก่อนหน้านี้ในการทำงานของลาปลาซ และ Cauchy . ในทฤษฎีของกลุ่ม decompositions โกหกมัน ทั่วไป โดย วาซาวาการสลายตัว [ 1 ]

การประยุกต์ใช้กรัม–ชมิดท์กระบวนการในคอลัมน์ของเมตริกซ์เวกเตอร์คอลัมน์ทั้งหมดอันดับผลผลิต QR การสลายตัว ( มันย่อยสลายไปเป็นตั้งฉากและเมทริกซ์สามเหลี่ยม )