The following provides proof or der

The following provides proof or derivation of the analytical results summarized
in the main text.

3.9 Proof of Proposition 4

Proof. To prove Proposition 4, we decompose the piece-wise function of (3.1). We first solve for the optimal prices for each branch and choose the global optimal prices by comparison.

Since the function is fairly simple, we take the second branch as an example. The Lagrangian of the constrained objective function is
L(pH , pL) =(pH − cH ) _θT − pH − pL _ + (pL − cL) _ pH − pL − pL _
1 β 1 β
− − β
+ λ1 _pH − pL _ + λ2(pL + θT (1 − β) − pH )

β

The optimal solution is



(p∗ , p∗ ) =

H L




1 T + cH , β T + + cL ,
2 2 _
1 β 1
2 T +βcH , 2 T 1+ 2 + cL_ ,
β 1 − 2 T − 2 + cH , ,
1
_ + cL_
2 T + 2



if cL ≥ βcH ,

if ΛT ≤ cL < βcH ,

if cL < ΛT < βcH .

The optimal profit is hence

1 2
4 2 T , 2 if cL ≥ βcH ,
π∗(pH∗, pL∗) = T + , if ΛT cL < βcH ,
4 4β(1 β)
− ≤


β T2 + 21 T + 41β 2, if cL < ΛT < βcH .
4

β


Similarly, for the first branch of (3.1), we have pL∗ = 2 T + + cL, pH∗ = any
_
value in 12 (cL − βθT ) + θT , 1 . The major coefficients of optimal profit is (A, B, C) =


β4 , 12 , 41β




103

_
. From the third branch, we have p∗H = 12 T + cH , p∗L = any value in
_ _
β2 (θT + cH ), 1 and (A, B, C) = 14 , 0, 0 in the optimal profit equation. We then

compare all optimal profit in each branch and obtain the optimal strategy and its

conditions as shown in the proposition.


3.10 Optimal Solution Derivation of Case with cL ≥ βcH .

To solve the maximization problem with expected profit function (3.9) for the best pricing strategy and, in turn, the product portfolio, we have to check the conca-

vity of every branch.

It is easy to show that the expected profit function for Case II in period 1 is concave. It is concave for Case I as well if α < 4Ω which holds because of α < 2Ω.

For Case III, its Hessian is
πHH′′ πHL′′
πHL′′ πLL′′

′′ − 2 ′′ = 2 ′′ = 2(α(1 − β) − 2Ω(Φ)
where πHH = , πHL and πLL 2 . Now we check the leading
1−β
1−β 4(1−β)Ω
principal minors of the Hessian. Since −2 < 0 and the determinant is 4(4Ω−α)2 , the
1−β 4(1−β)Ω

function is strictly concave if α < 4Ω, which, again, holds because we have α < 2Ω ([132], [115] and [30]).

We take Case I as an example to show how we solve this constrained optimi-zation problem. The additional condition is p1L ≤ ΩΔ1 + βcH . We construct the
Lagrangian : L(p1L, λ) = απ2∗ p1L −βcH + cH _ + (p1L − cL) θ1 − p1L −βcH + c__ +
Ω Ω





104

λ (ΩΔ1 + βcH − p1L). The KKT conditions are as follows :
− α(p1L − βcH ) − 2(ptL − cL) − + 1 − λ = 0;

2Ω2 Ω


ΩΔ1 + βcH − p1L ≥ 0;

λ ≥ 0;
λ (ΩΔ1 + βcH − p1L) = 0.

The optimal solution p∗ = { any value in range } ; p∗ = X I,L 1 + Y I,L + c , where
1H 1L L
_ 4Ω2 2Ω α 2Ω α
, 4Ω−−α , if βcH ≤ cL ≤ 2− 1 + βcH ,
(XI,L, YI,L) = 2(4Ω−α)
_ 2Ω − α
(Ω, 1) , if 1 + βcH < cL < ΩΔ1 + βcH
2

satisfies all KKT conditions. Accordingly the optimal profit in Case I, denoted by

πI∗(p1∗), is πI∗(p1∗) = AI 12 + BI 1 + CI 2, where
4Ω2 2Ω α 1 2Ω α
, 4Ω−−α , , if βcH ≤ cL ≤ 2− 1 + βcH ,
(AI , BI , CI ) = 4(4Ω−α) 4Ω−α
_α , 0, 0 , _ if 2Ω−α 1 + βcH < cL < ΩΔ1 + βcH
4 _ 2

Similarly, the optimal solution for Case II is p∗ = any value in range and
1L { }
p1∗H = Φ2 1 + cH . And the optimal expected profit in Case II is πII∗(p1∗) =
2(2Φ−α)

Φ2 12.
4(2Φ−α)

The optimal solution for Case III is p1∗L = XIII,L 1 + YIII,L + cL and p1∗H =
XIII,H 1 + YIII,H + cH where
(XIII,L, YIII,L) = (Ω, 1) ,
(XIII,H , YIII,H ) = _ Φ2 , 0_ .
2(2Φ − α)





105
And the optimal expected profit is πIII∗(p1∗) = Φ2 12 . By checking the realized
4(2Φ−α)


demand of H and L, we know only H has demand with the best strategy in Case III. We compare the optimal expected profit in all cases above. It is easy to show that πIII∗(p∗1) > πI∗(p∗1). For Case III and Case II, since πIII∗(p∗1) = πII∗(p∗1), the firm will be indifferent to selling both products or product H only. But even selling both

products to the market, only product H incurs demand at optimality.

In summary, if cL ≥ βcH , the firm’s optimal strategy for product introduction is product H only or both products, with equal preference. If the firm sells product
H only, the optimal price for product H is p1∗H = Φ2 1 + cH . If both products
2(2Φ−α)

introduced, the optimal prices are p1∗L = 2ΩΦ 1 + βcH , p1∗H = Φ2 1 + cH . In
2(2Φ−α) 2(2Φ−α)

both cases, however, the optimal profit is
π∗ = Φ2 12.
4(2Φ − α)


3.11 Optimal Solution of Case with Λ1 ≤ cL < Λ2 ( L only in period 2).

The firm has following decision alternatives.

Case I : Only product L has positive demand in the first period.

No customer will purchase product H in period 1 requiring p1H > p1L +θ1(1−β).
The marginal valuation is θ2 = 2 p1L −cL −Φ2 + cH . In order to assure that this case

βΦ
is possible we need θ2 ≤ θ1, which leads to p1L ≤ βΦ 1 + Φ2 + cL. Furthermore,
2
θ2 < cH −cL brings us p1L < Φ + cL. It is easy to show that the second inequality
2(1−β)
1−β
of p1L is binding.

Case II : Only product H has positive demand in the first period.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ต่อไปนี้แสดงหลักฐานหรือมาสรุปผลวิเคราะห์ในข้อความหลัก3.9 หลักฐานเสนอ 4 หลักฐานการ เพื่อพิสูจน์ข้อเสนอ 4 เราเปื่อยฟังก์ชั่น piece-wise ของ (3.1) เราต้องหาราคาเหมาะสมสำหรับแต่ละสาขา และเลือกราคาดีที่สุดทั่วโลกโดยการเปรียบเทียบเนื่องจากฟังก์ชันนี้จะค่อนข้างง่าย เรามีสาขาที่สองเป็นตัวอย่าง เป็น Lagrangian ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จำกัดL (pH, pL) = (ค่า pH − cH) _θT − pH − pL _ + (pL − cL) _ค่า pH − pL − pL _ ΒΒ 1 1 − − β Λ1 _pH − pL _ + λ2 (pL + θT (β 1 −) − pH) Β เป็นโซลูชั่นเหมาะสม(p∗ , p∗ ) =H L 1 T + cH β T ++ cL 2 2 _ 1 Β 1 2 T + βcH, 2 T 1 + 2 + cL_ Β 1 − 2 T − 2 + cH 1 _ + cL_ 2 T + 2 ถ้า cL ≥ βcHถ้า ΛT ≤ cL < βcHถ้า cL < ΛT < βcH มีกำไรสูงสุดดังนั้น 1 2 4 2 T, 2 ถ้า cL ≥ βcH Π∗ (pH∗, pL∗) = T +, ถ้า ΛT cL < βcH 4 4Β(1 Β) − ≤ Β T2 + 21 T + 41β 2 ถ้า cL < ΛT < βcH 4 Β ในทำนองเดียวกัน สำหรับสาขาแรกของ (3.1), เราได้ pL∗ = 2 T ++ cL, pH∗ =ใด ๆ _ค่าใน 12 (cL − βθT) + θT, 1 Coefficients สำคัญกำไรดีที่สุดคือ (A, B, C) = Β4, 12, 41Β103 _ . จากสาขาที่สาม เรามี p∗H = 12 T + cH, p∗L =ค่าใด ๆ ใน_ _Β2 (θT + cH), 1 และ (A, B, C) = 14, 0, 0 ในสมการกำไรสูงสุด เราแล้วเปรียบเทียบทั้งหมดกำไรสูงสุดในแต่ละสาขา และได้รับกลยุทธ์เหมาะสมและเงื่อนไขดังที่แสดงในข้อเสนอต่อ3.10 มาแก้ปัญหาเหมาะสมของกรณี cL ≥ βcH เพื่อแก้ปัญหา maximization ด้วยฟังก์ชันกำไรคาด (3.9) ส่วนการกำหนดราคากลยุทธ์ และ เปิด ผลงานผลิตภัณฑ์ เรามีการตรวจสอบ conca-vity ของทุกสาขามันเป็นเรื่องง่ายเพื่อแสดงว่า ฟังก์ชันกำไรที่คาดไว้สำหรับกรณีที่สองในรอบระยะเวลา 1 เป็นเว้า เป็น concave สำหรับกรณีผมเช่นถ้าα < 4 ωซึ่งเก็บเนื่องจากα < 2Ωสำหรับกรณี III กระสอบที่เป็น ΠHH′′ ΠHL′′ ΠHL′′ ΠLL′′ ′′− 2 ′′ = 2 ′′ = 2 (Α (1 −Β) − 2Ω(Φ) ที่ πHH =, πHL และ πLL 2 ตอนนี้เราตรวจสอบชั้นนำ 1−Β 1−Β Ω (1−Β) 4 สาขาหลักของในกระสอบ −2 < 0 และดีเทอร์มิแนนต์เป็น 4 (4Ω−α) 2 การ 1−Β Ω (1−Β) 4 ฟังก์ชันจะเว้าอย่างเคร่งครัดถ้าα < 4 ω ซึ่ง อีกครั้ง มี เพราะเรามีα < 2Ω ([132], [115] และ [30])เราใช้กรณีผมเป็นตัวอย่างเพื่อแสดงว่าเราแก้ปัญหาความ optimi จำกัด เงื่อนไขเพิ่มเติมคือ p1L ≤ ΩΔ1 + βcH เราสร้างLagrangian: L (p1L λ) = απ2∗ p1L −βcH + cH _ + −βcH (p1L − cL) θ1 − p1L + c__ + ΩΩ 104Λ (ΩΔ1 + βcH − p1L) เงื่อนไข KKT มีดังนี้:−−α (p1L − βcH) 2 − (cL −บริษัท) + 1 −λ = 0 Ω 2Ω2 ΩΔ1 + βcH − p1L ≥ 0Λ≥ 0Λ (ΩΔ1 + βcH − p1L) = 0P∗ โซลูชั่นที่เหมาะสม = {ค่าใด ๆ ในช่วง}; p∗ = X ฉัน L 1 + Y ฉัน L + c ที่ L 1L 1H _ 4Ω2 2Ω Α 2Ω Α , 4Ω−−α ถ้า cL βcH ≤≤ 2− 1 + βcH (XI, L ยี่ L) = 2(4Ω−Α) _ 2Ω −Α (Ω 1), ถ้า 1 + βcH < cL < ΩΔ1 + βcH 2 เป็นไปตามเงื่อนไข KKT ดังนั้น กำไรสูงสุดในกรณี สามารถบุด้วย ΠI∗(p1∗) เป็น πI∗(p1∗) = AI 12 + BI 1 CI 2 ที่ 4Ω2 2Ω Α 1 2Ω Α , 4Ω−−α ถ้า cL βcH ≤≤ 2− 1 + βcH (AI, BI, CI) = 4(4Ω−Α) 4Ω−Α _Α 0, 0, _ถ้า 2Ω−α 1 + βcH < cL < ΩΔ1 + βcH 4 _ 2 ในทำนองเดียวกัน การแก้ปัญหาที่เหมาะสมสำหรับกรณี II คือ p∗ =มีค่าในช่วง และ {} 1L p1∗H = Φ2 1 + cH และดีที่สุดคาดว่ากำไรในกรณี II πII∗(p1∗) = 2(2Φ−Α) Φ2 12 4(2Φ−Α) โซลูชั่นที่เหมาะสมสำหรับกรณี III เป็น p1∗L = XIII, L 1 + YIII, L + cL และ p1∗H = XIII, H 1 + YIII, H + cH ที่ (XIII, L, YIII, L) = (Ω 1), (XIII, H, YIII, H) =_ Φ2, 0_ 2 (2Φ −Α) 105 และกำไรที่คาดสูงสุดคือ πIII∗(p1∗) = Φ2 12 โดยการตรวจสอบการรับรู้ 4(2Φ−Α) ความต้องการของ H และ L เรารู้เฉพาะ H ได้ด้วยกลยุทธ์ที่ดีในกรณี III เราเปรียบเทียบคาดกำไรสูงสุดในทุกกรณีข้างต้น ง่ายต่อการแสดงที่ πIII∗(p∗1) > πI∗(p∗1) สำหรับกรณี III และกรณี II ตั้งแต่ πIII∗(p∗1) = πII∗(p∗1) บริษัทจะ indifferent เพื่อขายสินค้าหรือผลิตภัณฑ์ H เท่านั้น แต่จะขายทั้งสองผลิตภัณฑ์การตลาด ผลิตภัณฑ์เฉพาะ H ต่ออุปสงค์ที่ optimalityสรุป cL ≥ βcH บริษัทของสุดกลยุทธ์สำหรับการแนะนำผลิตภัณฑ์ว่าผลิตภัณฑ์ H เท่านั้นหรือทั้งสองผลิตภัณฑ์ ความเท่านั้น ถ้าบริษัทจำหน่ายผลิตภัณฑ์H เท่านั้น ราคาเหมาะสมที่สุดสำหรับผลิตภัณฑ์ H p1∗H = Φ2 1 + cH ถ้าผลิตภัณฑ์ทั้งสอง 2(2Φ−Α) แนะนำ ราคาเหมาะสมที่สุดคือ p1∗L = 2ΩΦ 1 + βcH, p1∗H = Φ2 1 + cH ใน 2(2Φ−Α) 2(2Φ−Α) ทั้งสองกรณี อย่างไร กำไรสูงสุดเป็น Π∗ = Φ2 12 4 (2Φ −Α) 3.11 โซลูชั่นสูงสุดของกรณี Λ1 ≤ cL < Λ2 (L เฉพาะในระยะที่ 2) บริษัทมีต่อการตัดสินใจทางเลือกกรณีผม: เฉพาะผลิตภัณฑ์ L มีความต้องการบวกในรอบระยะเวลาแรกไม่มีลูกค้าจะซื้อผลิตภัณฑ์ H ในระยะที่ 1 จำเป็นต้อง p1H > p1L + θ1(1−β)ประเมินกำไรคือ θ2 = p1L −cL −Φ2 + cH 2 เพื่อค้ำประกันซึ่งกรณีนี้ ΒΦ เป็นไปได้เราต้อง θ2 ≤ θ1 ซึ่งนำไปสู่ p1L ≤βΦ 1 + Φ2 + cL นอกจากนี้ 2 Θ2 < cH −cL นำ p1L < Φ + cL ง่ายแสดงว่าอสมการสอง 2(1−Β) 1−Β p1L เป็นผูกกรณีที่ II: เฉพาะผลิตภัณฑ์ H มีความต้องการบวกในระยะแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ต่อไปนี้จะมีหลักฐานหรือแหล่งที่มาของผลการวิเคราะห์สรุป
ในข้อความหลัก. 3.9 หลักฐานการโจทย์ 4 หลักฐาน เพื่อพิสูจน์ข้อเสนอที่ 4 เราสลายฟังก์ชั่นชิ้นที่ชาญฉลาดของ (3.1) ก่อนอื่นเราแก้ราคาที่ดีที่สุดสำหรับแต่ละสาขาและเลือกราคาที่ดีที่สุดของโลกโดยเปรียบเทียบ. ตั้งแต่ฟังก์ชั่นค่อนข้างง่ายที่เราจะใช้สาขาที่สองเป็นตัวอย่าง ลากรองจ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จำกัด เป็นL (pH, PL) = (pH - CH) _θT - ด่าง - PL _ + (PL - CL) _ พีเอช - PL - PL _ 1 ββ 1 - - β + λ1 _pH - PL _ + λ2 (PL + θT (1 - β) - ด่าง) β เป็นทางออกที่ดีที่สุด(P * * p) = HL 1 T + CH, β T + + CL, 2 2 _ β 1 1 2 T + βcH, 2 T 1+ 2 + cL_, β 1-2 T - 2 + CH,, 1 _ + cL_ 2 T + 2 ถ้า cL ≥βcH, ถ้าΛT≤ cL <βcH, ถ้า cL <ΛT <βcH. ที่ดีที่สุด กำไรเป็นเหตุ1 2 4 2 T, 2 ถ้า cL ≥βcH, π * (* ค่า pH, PL *) = T + ถ้าΛT cL <βcH, 4 4β (1 β) - ≤ เบต้า T2 + 21 T + 41β 2 . ถ้า cL <ΛT <βcH 4 β ในทำนองเดียวกันสำหรับสาขาแรกของ (3.1) เรามี PL * = 2 T + + CL, ค่า pH * = ใด ๆ_ ค่าใน 12 (CL - βθT) + θT 1 cients FFI Coe สำคัญของกำไรที่ดีที่สุดคือ (A, B, C) ​​= β4, 12, 41β 103 _ จากสาขาที่สามเรามี P * H = 12 T + CH, * p L = ค่าใด ๆ ใน_ _ β2 (θT + CH), 1 (A, B, C) ​​= 14, 0, 0 ในที่เหมาะสม สมการกำไร จากนั้นเราจะเปรียบเทียบทั้งหมดกำไรที่ดีที่สุดในแต่ละสาขาและได้รับกลยุทธ์ที่ดีที่สุดและของเงื่อนไขดังแสดงในเรื่อง. 3.10 โซลูชั่นที่เหมาะสมที่สุดที่มาของกรณีที่มี cL ≥βcH. เพื่อแก้ปัญหาสูงสุดกับการทำงานของกำไรที่คาดหวัง (3.9) สำหรับราคาที่ดีที่สุด กลยุทธ์และในทางกลับกันกลุ่มผลิตภัณฑ์ของเรามีการตรวจสอบ conca- vity ของทุกสาขา. มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการทำงานของกำไรคาดว่าสำหรับกรณีที่สองในระยะเวลา 1 เว้า มันเป็นเว้าสำหรับกรณีผมเช่นกันถ้าα <4Ωซึ่งถือเพราะα <2Ω. สำหรับกรณีที่สามรัฐที่เป็นπHH '' πHL '' πHL '' πLL ' ' ' '- 2' '= 2' '= 2 (α (1 - β) - 2Ω (Φ) . ที่πHH = πHLและπLL 2 ตอนนี้เราตรวจสอบชั้นนำ1-β β-1 4 (1-β) Ω . ผู้เยาว์หลักของรัฐตั้งแต่ -2 < 0 และปัจจัยคือ 4 (4Ω-α) 2, 1-β 4 (1-β) Ω ฟังก์ชั่นเป็นอย่างเคร่งครัดเว้าถ้าα <4Ωซึ่งอีกครั้งถือเพราะเรามีα <2Ω ([132], [ . 115] และ [30]) .. เราจะใช้กรณีผมเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าเราแก้ปัญหานี้ที่ดีที่สุดเพื่อ จำกัด -zation เงื่อนไขเพิ่มเติมคือ P1L ≤ΩΔ1 + βcHเราสร้างลากรองจ์: L (P1L, λ) = απ2 * P1L -βcH CH + _ + (P1L - CL) θ1 - P1L -βcH + c__ + ΩΩ 104 λ (ΩΔ1 + βcH - P1L) เงื่อนไข KKT มีดังนี้. - α (P1L - βcH) - 2 ( PTL - CL) - + 1 - λ = 0; 2Ω2โอห์มΩΔ1 + βcH - P1L ≥ 0; λ≥ 0; . λ (ΩΔ1 + βcH - P1L) = 0 พีโซลูชั่นที่ดีที่สุด * = {ค่าใด ๆ ในช่วง}; * p = XI, L 1 + YI, L + c ที่1H 1L L _ 4Ω22Ωα2Ωα , 4Ω - αถ้าβcH≤≤ cL 2- 1 + βcH, (XI, L, YI, L) = 2 (4Ω-α) _ 2Ω - α (Ω, 1) ถ้า 1 + βcH <cL <ΩΔ1 + βcH 2 ตอบสนองเงื่อนไข KKT ทั้งหมด ดังนั้นกำไรที่ดีที่สุดในกรณีที่ฉันเขียนแทนด้วยπI * (p1 *) เป็นπI * (p1 *) = AI 12 + 1 + BI CI 2 ซึ่ง4Ω22Ωα 1 2Ωα , 4Ω - α, ถ้าβcH ≤≤ cL 2- 1 + βcH, (AI, BI, CI) = 4 (4Ω-α) 4Ω-อัลฟา_α, 0, 0, _ ถ้า2Ω-α 1 + βcH <cL <ΩΔ1 + βcH 4 _ 2 ในทำนองเดียวกัน ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับกรณีที่สองคือ * p = ค่าใด ๆ ในช่วงและ1 ลิตร {} p1 * H = Φ2 1 CH + และมีผลกำไรที่คาดว่าจะดีที่สุดในกรณี II เป็นπII * (p1 *) = 2 (2Φ-α) Φ2 12. 4 (2Φ-α) โซลูชั่นที่ดีที่สุดสำหรับกรณีที่สามคือ p1 L * = XIII, L 1 + YIII, L + cL และ p1 * H = XIII, H 1 + YIII, H CH + ที่(สิบสาม, L, YIII, L) = (Ω, 1), (สิบสาม, H, YIII, H) = _ Φ2, 0_. 2 (2Φ - α) 105 และกำไรคาดว่าดีที่สุดคือπIII * (p1 *) = Φ2 12 โดยการตรวจสอบตระหนัก4 (2Φ-α) ความต้องการของ H และ L เรารู้เพียง H มีความต้องการที่มีกลยุทธ์ที่ดีที่สุดในกรณีที่สาม เราเปรียบเทียบผลกำไรที่คาดว่าจะดีที่สุดในทุกกรณีดังกล่าวข้างต้น มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าπIII * (* p 1)> πI * (* p 1) สำหรับกรณีที่สามและกรณีที่สองตั้งแต่πIII * (* p 1) = πII * (* p 1), บริษัท จะ Indi ff erent เพื่อขายสินค้าหรือผลิตภัณฑ์ H ทั้งสองเท่านั้น แต่ถึงแม้จะขายทั้งผลิตภัณฑ์ออกสู่ตลาดเพียง H สินค้าที่เกิดขึ้นจากความต้องการที่ optimality. ในสรุปหาก cL ≥βcH, กลยุทธ์ที่ดีที่สุดของ บริษัท สำหรับการแนะนำผลิตภัณฑ์ที่เป็นสินค้า H เพียงอย่างเดียวหรือทั้งสองผลิตภัณฑ์ที่มีการตั้งค่าเท่ากัน ถ้า บริษัท ขายสินค้าH เท่านั้นราคาที่เหมาะสมสำหรับผลิตภัณฑ์ที่เป็น H p1 * H = Φ2 1 CH + หากทั้งสองผลิตภัณฑ์2 (2Φ-α) แนะนำราคาที่เหมาะสมเป็น p1 * L = 1 + 2ΩΦβcH, p1 * H = Φ2 1 CH + ใน2 (2Φ-α) 2 (2Φ-α) ทั้งสองกรณี แต่กำไรที่ดีที่สุดคือπ * = Φ2 12. 4 (2Φ - α) 3.11 โซลูชั่นที่ดีที่สุดของกรณีที่มีΛ1≤ cL <Λ2 (L เฉพาะในช่วงเวลาที่ . 2) บริษัท ได้ดังต่อไปนี้ทางเลือกในการตัดสินใจ. กรณี I:. L เฉพาะผลิตภัณฑ์ที่มีความต้องการในเชิงบวกในช่วงแรก. ลูกค้าจะไม่ซื้อสินค้า H ในช่วง 1 ต้อง p1H> P1L + θ1 (1-β) การประเมินมูลค่าส่วนเพิ่มเป็นθ2 = 2 P1L -cL -Φ2 CH + เพื่อที่จะมั่นใจได้ว่ากรณีนี้βΦ เป็นไปได้ที่เราต้องθ2θ1≤ซึ่งนำไปสู่ ​​P1L ≤βΦ 1 + Φ2 + cL นอกจาก2 θ2 <cH -cL นำเรา P1L <Φ + cL มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันที่สอง2 (1-β) 1-β ของ P1L มีผลผูกพัน. กรณีที่สอง: H สินค้าเฉพาะที่มีความต้องการในเชิงบวกในช่วงแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ต่อไปนี้ให้หลักฐานและที่มาของผลการศึกษาสรุป
ในข้อความหลัก

3.9 หลักฐานข้อเสนอ 4

หลักฐาน เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 4 เราแยกชิ้นปัญญาฟังก์ชัน ( 3.1 ) เราหาราคาที่เหมาะสมสำหรับแต่ละสาขา และเลือกโลกที่ดีที่สุดราคาโดยเปรียบเทียบ

เนื่องจากงานค่อนข้างง่าย เราใช้สาขาที่สองเป็นตัวอย่างลากรางเจียน จำกัด วัตถุประสงค์ของฟังก์ชัน
L ( pH ( pH PL ) = − CH ) _ θ T −− ( − _ อคุณคุณ CL ) _ อสิ่งที่คุณ _
1 −−−− 1 บีตาบีตา

λบีตา _ph − 1 คุณ _ λ 2 ( PL θ T ( 1 −−อบีตา ) )



เหมาะสมบีตาโซลูชั่น



( P ∗ , p ∗ ) =
H L




1 T
T CH บีตา CL 2 2 _
1
2 t ch บีตาบีตา 1 2 1 2 cl_ T
บีตา 1 − 2 , − 2 ch t ,
1
_ cl_




2 t 2ถ้า CL ≥บีตา CH

ถ้าΛ T ≤ CL < บีตา CH

ถ้า CL < t < Λบีตา CH

กำไรที่ดีที่สุด ดังนั้น

1 2
2 t , 2 ถ้า CL ≥บีตา CH
π∗ ( pH ∗ pl ∗ ) = T , ถ้า Λ T CL < บีตา
4 CH 4 บีตา ( 1 −≤บีตา )



บีตา T2 T 41 21 บีตา 2 ถ้า CL < t < Λบีตา Ch .





4 บีตา " สำหรับสาขาแรกของ ( 3.1 ) เราได้คุณ∗ = 2 T Cl pH ∗ =

ค่าใด ๆ _ 12 ( Cl −βθθ T T ) 1ที่สำคัญ โคffi cients กำไรที่ดีที่สุดคือ ( a , b , c ) =


บีตา 4 , 12 , 41 บีตา




103

_

จากสาขาที่สามที่เราได้ P ∗ H = 12 t ch , p ∗ L = ค่าใด ๆใน _

_ บีตา 2 ( θ t ch ) 1 และ ( a , b , c ) = 14 , 0 , 0 ในสมการ กำไรสูงสุด เราแล้ว

เปรียบเทียบที่ดีที่สุดกำไรในแต่ละสาขาและได้รับที่ดีที่สุดกลยุทธ์และ

สภาพตามที่แสดงในข้อเสนอ


310 ที่ดีที่สุดโซลูชันการกับกรณี CL ≥บีตา Ch .

แก้ปัญหาฟังก์ชัน ( คาดกำไร ( 3.9 ) สำหรับราคาที่ดีที่สุดและกลยุทธ์ในการเปิดกลุ่มผลิตภัณฑ์ เราต้องไปดูคอนค่า -

vity ทุกสาขา

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า กำไรที่คาดว่าจะได้ฟังก์ชันสำหรับคดีที่สองในรอบระยะเวลา 1 เป็นเว้ามันเว้าสำหรับกรณีผมเช่นกัน ถ้าα < 4 Ωซึ่งถือเพราะα < 2 Ω

สำหรับกรณี 3 , Hessian เป็น
π HH ′′π HL ′′
π HL ′′πจะ′′

′′′′− 2 = 2 ′′ = 2 ( α ( 1 −−บีตา ) 2 Ω ( Φ )
ที่π HH = π HL แล้วπจะ 2 ตอนนี้เราตรวจสอบชั้นนำ−β
1
1 −β 4 ( 1 −β ) Ω
หลักผู้เยาว์ของกระสอบ . ตั้งแต่− 2 < 0 และปัจจัย 4 ( 4 Ω−α ) 2
1 −β 4 ( 1 −β ) Ω

ฟังก์ชันเป็นอย่างเคร่งครัดเว้าถ้าα < 4 Ωซึ่ง , อีกครั้ง , ถือเพราะเราα < 2 Ω ( [ 132 ] , [ 115 ] และ [ 30 ] )

เราใช้กรณีผมเป็นตัวอย่างเพื่อแสดงวิธีการที่เราแก้ปัญหานี้อย่างต่อเนื่อง optimi รับรองเอกสารปัญหา เงื่อนไขเพิ่มเติมคือ p1l ≤บีตาΩΔ 1 CH . เราสร้างระบบ
: L ( p1l λ , ) = απ 2 ∗ p1l −β CH CH _ ( p1l Cl − ) θ 1 − p1l −β CH c__



ΩΩ




104λ ( ΩΔบีตา CH 1 − p1l ) เงื่อนไข kkt ดังนี้
α− ( −− 2 p1l บีตา CH ) ( PTL − CL ) − 1 −λ = 0 ;
2 Ω 2 Ω


ΩΔบีตา CH 1 − p1l ≥ 0 ;

λ≥ 0 ;
λ ( ΩΔบีตา CH 1 − p1l ) = 0 =

= { P ∗โซลูชั่นที่เหมาะสมใด ๆค่าในช่วง } ; P ∗ = x i , L 1 y i , L C ที่
1 h 1 ลิตร L
_ 4 Ω 2 2 Ωα 2 Ωα
4 Ω−−αหากบีตา CH ≤ CL ≤ 2 − 1 CH บีตา
( Xi , แอลอี , L ) = 2
Ω−α )_ 2 Ω−α
( Ω 1 ) ถ้า 1 บีตา Ch < CL < ΩΔบีตา CH 1
2

kkt satisfies เงื่อนไขทั้งหมด ตามเหมาะสมกำไร ในกรณีที่ผมเขียนแทนด้วย

πผม∗ ( P1 ∗ ) เป็นπผม∗ ( P1 ∗ ) = ไอ 12 บี 1 และ 2 ที่
4 Ω 2 2 Ωα 1 2 Ωα
4 Ω−−α หากบีตา CH ≤ CL ≤ 2 − 1 บีตา CH
( ไอ บี ซี ) = 4 ( 4 Ω−α ) 4 Ω−α
_ α , 0 , 0 , _ ถ้า 2 Ω−α 1 CH < < ΩΔบีตา CL 1 CH
4 _ บีตา 2

ในทํานองเดียวกันทางออกที่ดีที่สุดสำหรับคดีที่สองคือ P = ค่าใด ๆและในช่วง∗
{ }
1 ลิตร∗ P1 H = Φ 2 1 CH . และคาดว่ากำไรในที่คดีที่สองคือπ II ∗ ( P1 ∗ ) =
2 ( 2 Φ−α )

Φ 2 12
4 ( 2 Φ−α )

ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับ 3 กรณีคือ P1 ∗ L = 13 , L 1 yiii , Cl และ P1 ∗ H =
XIII H 1 yiii H Ch ที่
( 13 , L , yiii , L ) = ( Ω , 1 ) ,
( XIII ) yiii , H ) = _ Φ 2 , 0_ .
2 ( 2 Φ−α )





105
และเหมาะสมคาดกำไร∗π III ( P1 ∗ ) = Φ 2 12 โดยการตรวจสอบว่า
4 ( 2 Φ−α )
ความต้องการ

ของ H และ L เรารู้ H มีความต้องการกับกลยุทธ์ที่ดีที่สุดในกรณี III เราเปรียบเทียบที่เหมาะสม คาดกำไรทุกกรณีข้างต้น มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าπ III ∗ ( P ∗ 1 ) > πผม∗ ( P ∗ 1 ) สำหรับกรณีที่ 2 และกรณีที่ 2 ตั้งแต่π III ∗ ( P ∗ 1 ) = π II ∗ ( P ∗ 1 )บริษัทจะยึดถือff erent ขายทั้งสินค้าหรือผลิตภัณฑ์ H เท่านั้น แต่จะขายทั้งคู่

สินค้าไปยังตลาด , H สินค้าเกิดความต้องการที่มีคุณภาพ

สรุปถ้า CL ≥บีตา CH ของกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับการแนะนำผลิตภัณฑ์เป็นผลิตภัณฑ์ H เพียงอย่างเดียวหรือทั้งสองผลิตภัณฑ์ที่มีค่าเท่ากับ ถ้าบริษัทขายผลิตภัณฑ์
H เท่านั้น ราคาที่เหมาะสมของผลิตภัณฑ์ H คือ P1 ∗ H = Φ 2 1 CH .ถ้าทั้งสองผลิตภัณฑ์
2 ( 2 Φ−α )

แนะนำ ราคาที่เหมาะสมจะ∗ P1 L = 2 ΩΦบีตา CH 1 , 2 ∗Φ P1 H = 1 CH . ใน
2 ( 2 Φ−α ) 2 ( 2 Φ−α )

ทั้งสองกรณี อย่างไรก็ตาม กำไรที่เหมาะสม
π∗ = Φ 2 12
4 ( 2 Φ−α )


3.11 ที่ดีที่สุดโซลูชั่นของคดีกับΛ 1 ≤ CL < Λ 2 ( L เท่านั้น ในช่วงที่ 2 )

บริษัทมีต่อทางเลือกในการตัดสินใจ กรณีผม

:l สินค้ามีความต้องการในเชิงบวกในคาบแรก

ไม่มีลูกค้าจะซื้อผลิตภัณฑ์ เอช ในช่วงเวลา 1 ต้อง p1h > p1l θ 1 ( 1 −β )
2 = 2 ส่วน คือ การประเมินมูลค่าθ p1l − CL −Φ 2 CH . เพื่อให้มั่นใจว่าคดีนี้

βΦ
เป็นไปได้เราต้องθ 2 ≤θ 1 ซึ่งนำไปสู่ p1l ≤βΦ 1 Φ 2 คลิก นอกจากนี้ θ
2
2 < ch − CL ทำให้เรา p1l < Φคลิกมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า สองความไม่เท่าเทียมกัน
2 ( 1 −β )
1 −β
ของ p1l ผูก

กรณีที่ 1 H สินค้ามีความต้องการที่ดีในช่วงแรก