1. Introduction In 1970, Levine[6]

1. Introduction
In 1970, Levine[6] introduced the concept of generalized
closed sets as a generalization of closed sets in topological
spaces. Using generalized closed sets, Dunham[5]
introduced the concept of the closure operator cl* and a new topology τ* and studied some of their properties. S.P.Arya[2], P.Bhattacharyya and B.K.Lahiri[3], J.Dontchev[4], H.Maki,
R.Devi and K.Balachandran[9], [10], P.Sundaram and
A.Pushpalatha[12], A .S.Mashhour, M.E.Abd El-Monsef and
S.N.El-Deeb[11], D.Andrijevic[1] and S.N.Maheshwari and
P.C.Jain[9] introduced and investigated generalized semi
closed sets, semi generalized closed sets, generalized semi
preclosed sets, α- generalized closed sets, generalized-α
closed sets, strongly generalized closed sets, preclosed sets,
semi-preclosed sets and α-closed sets respectively. In this
paper, we obtain a new generalization of closed sets in the
weaker topological space (X, τ*).
Throughout this paper X and Y are topological
spaces on which no separation axioms are assumed unless
otherwise explicitly stated. For a subset A of a topological
space X, int(A), cl(A), cl*(A), scl(A), spcl(A), clα(A) and Ac
denote the interior, closure, closure*, semi-closure, semi-
preclosure, α-closure and complement of A respectively.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำ ใน 1970 [6] Levine แนะนำแนวคิดของการตั้งค่าทั่วไป ปิดชุดเป็น generalization ชุดปิดใน topological ช่องว่าง ใช้การตั้งค่าทั่วไปปิดชุด Dunham [5] นำแนวคิดของการปิดตัว cl * และแบบใหม่โทโพโลยีτ * และศึกษาคุณสมบัติบางอย่าง S.P.Arya[2], P.Bhattacharyya และ B.K.Lahiri[3], J.Dontchev[4], H.Maki R.Devi และ K.Balachandran[9], [10], P.Sundaram และ A.Pushpalatha[12], A S.Mashhour, M.E.Abd เอล-Monsef และ S.N.El-Deeb [11], D.Andrijevic[1] และ S.N.Maheshwari และ P.C.Jain[9] แนะนำ และตรวจสอบเมจแบบทั่วไปกึ่ง ปิดชุด ห้องชุดปิดการตั้งค่าทั่วไป ตั้งค่าทั่วไปกึ่ง preclosed ชุด ด้วยกองทัพ - ตั้งค่าทั่วไปชุดปิด ตั้งค่าทั่วไปด้วยการกองทัพ ปิดชุด ชุดปิดเมจแบบทั่วไปอย่างยิ่ง preclosed ชุด ชุดกึ่ง preclosed และปิดด้วยกองทัพชุดตามลำดับ ในที่นี้ กระดาษ เรารับ generalization ใหม่ชุดปิดในการ แข็งแกร่ง topological พื้นที่ (X τ *) ตลอดทั้งเอกสารนี้ X และ Y topological พื้นที่บนที่ไม่แยกสัจพจน์จะถือว่ายกเว้น ชัดเจนระบุไว้ สำหรับเซตย่อย A ของที่ topological พื้นที่ X, int(A), cl(A), cl*(A), scl(A), spcl(A), clα(A) และ Ac แสดงการตกแต่งภายใน ปิด ปิด * กึ่งปิด กึ่ง-preclosure ปิดด้วยกองทัพและส่วนเติมเต็มของ A ตามลำดับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำในปี1970, Levine [6] นำแนวคิดของทั่วไปชุดปิดเป็นลักษณะทั่วไปของชุดปิดในทอพอโลยีพื้นที่ ปิดการใช้ชุดทั่วไป Dunham [5] นำแนวคิดของผู้ประกอบการปิด CL * การและโครงสร้างใหม่τ * และการศึกษาบางส่วนของคุณสมบัติของพวกเขา SPArya [2], P.Bhattacharyya และ BKLahiri [3], J.Dontchev [4], H.Maki, R.Devi และ K.Balachandran [9] [10], P.Sundaram และA.Pushpalatha [12] , A .S.Mashhour, MEAbd El-Monsef และSnel-Deeb [11], D.Andrijevic [1] และ SNMaheshwari และPCJain [9] การแนะนำและการตรวจสอบทั่วไปกึ่งปิดชุดกึ่งปิดทั่วไปชุดกึ่งทั่วไปpreclosed ชุด α-ชุดปิดทั่วไปทั่วไป-αปิดชุดทั่วไปขอปิดชุดpreclosed ชุดชุดกึ่งpreclosed และชุดαปิดตามลำดับ ในการนี้กระดาษที่เราได้รับหลักเกณฑ์ใหม่ของชุดปิดในพื้นที่ทอพอโลยีปรับตัวลดลง(x, τ *). ตลอด X กระดาษนี้และ Y เป็นทอพอโลยีช่องว่างที่ไม่มีหลักการแยกจะถือว่าเว้นแต่อื่นระบุไว้อย่างชัดเจน สำหรับชุดย่อยของทอพอโลยีพื้นที่ x, int (A), CL (A), CL * (A), SCL (A), spcl (A), clα (A) และ Ac แสดงถึงการตกแต่งภายในที่ปิดปิด * กึ่งปิดกึ่งpreclosure, α-ปิดและส่วนประกอบของตามลำดับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 บทนำ
ในปี 1970 Levine [ 6 ] แนะนำแนวคิดทั่วไป
ปิดชุดเป็นชุดของการปิดในทอพอโลยี
เป็น . โดยใช้ตัวชุดปิด ดันแฮม [ 5 ]
แนะนำแนวคิดของการปิดผู้ประกอบการ CL * และ * τแบบใหม่ และ เรียน บางส่วนของคุณสมบัติของพวกเขา s.p.arya [ 2 ] , หน้า bhattacharyya และ b.k.lahiri [ 3 ] j.dontchev [ 4 ] , H .
r.devi มากิ และเคbalachandran [ 9 ] , [ 10 ] พี ซันดารามและ
a.pushpalatha [ 12 ] . s.mashhour m.e.abd , เอล monsef และ
s.n.el-deeb [ 11 ] d.andrijevic [ 1 ] และ s.n.maheshwari และ
p.c.jain [ 9 ] แนะนำและตรวจสอบแบบกึ่งปิดกึ่ง
ชุดแบบปิดชุดแบบกึ่ง
preclosed ชุด แอลฟาทั่วไปชุดปิดตัว - α
ปิดชุด ขอแบบชุด ชุด ปิด preclosed
,กึ่ง preclosed ชุดและแอลฟาปิดชุดตามลำดับ ในกระดาษนี้
, เราได้รับการใหม่ของชุดปิดใน
weaker ปริภูมิทอพอโลยี ( x , τ * )
ตลอดนี้กระดาษ x และ y เป็นทอพอโลยี
เป็นซึ่งไม่มีหลักการแยกสมมติถ้า
อื่นอย่างชัดเจน ระบุ เป็นเซตย่อยของพื้นที่เป็นทอพอโลยี
x int ( ) , คลอรีน ( Cl ) * ( ) , SCL ( ) , ( ) , spcl CL α ( ) และ AC
แสดงภายใน , การปิด , การปิด * ปิดกึ่ง กึ่ง -
preclosure แอลฟา , การเติมเต็มของตามลำดับ