provided n , nk + 1 < n Suppose | x

provided n , nk + 1 < n Suppose | x , .... .xn1 and ( Y﹂ ハ yal are two sequences of iid . random variables following exponential distributions with means o , and Oza respectively . Let f , , ( X ) , e ( Y ) be the maximum likelihood estimators of and based on grouping XI x , and Y , Y ,, respectively For the estimator n and an event C , let [ OICI denote the estimator that has as its distribution the conditional distribution ofθ given C , where C is chosen so that p ( C ) > O. Balakrishnan et al . ( 2002 ) proved that in the case when the sequence ld , } decreases in 1 i k , ie . under condition d , d2 > … > dk then the maximum likelihood estimator of o has the order preserving property . It means the following : if0c al - H2 then lo , IC ] self , CL where C = { n , nk + 1 < n , m 1 / mk +1 < n ] and mj is the number of Ys that fall into the interv al ( t , - . t , l . In Remark 9 they pointed out that it is not known whether the condition ( 2 ) can be dropped or relaxed for holding In this paper we prove that this condition can be dropped . By the Factorization Theorem the random vector N is a sufficient statistic fora . In the sequel we focus on an equivalen sufficient statistic . Therefore define cumulative multinomial vector s = ( s .. . . . Sk ) , where Si = Σ = 1 N ) . i - 1 ニ ( Si , , , , , Sk ) , where St = We use the notation s , in order to emphasize the fact that the distribution of S depends on the parameter and th cumulative multinomial vector is obtained from the sample following the exponential di stribution Ex ( の 0-0 , ie po ( p1 ( 9 ) , , , , , pk + 1 ( 9 ) ) , where pie » -e - 4-1 / u - t - ti / n , i 1. . . . . k , and pkti ( 9 ) = e - i Define So = 0 and note that the vectors has the Markov property , ie . Si - s1 ) = PCSjtFS ) + 115 , = s , ) = f ( Sj +1 s ) . where ( n - s ) P ) +1 P ) +1 ( Sj + 1-5 ) ! ( n - sit , I ) ! ( 1 - M and Y - Σ.1 p , i , J - 0 . . . . . k - 1 and So - Yo - 0 . Hence the probability mass function of the vector S is pk + 11A ( SI , , , , , Sk ) , s | ( S2 - Sl ) ! ... ( n - sk ) ! ( p2 Yi

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ n, nk + 1 < n สมมติว่า กรุนด์ฟอส x , .... . xn1 และ (Y﹂ ハ yal คือ ลำดับสองของ iid. ตัวแปรสุ่มต่อเนนการกระจาย ด้วยวิธี o, Oza ตามลำดับ ให้,, f (X), e (Y) estimators โอกาสสูงสุดของ และตามการจัดกลุ่ม XI x และ Y, Y,, ตามลำดับสำหรับ n ประมาณและเหตุการณ์ C ให้ [OICI ชีพประมาณที่มีการจำหน่ายของ ofθ แจกจ่ายตามเงื่อนไขที่กำหนด C ที่ C เลือกได้ ว่า p (C) > โอคอร์นิ et al (2002) ที่พิสูจน์ในกรณีเมื่อลำดับ ld, } ลดลงใน 1 ผม k, ie ภายใต้เงื่อนไข d, d2 >... > dk แล้วประมาณโอกาสที่สูงสุดของ o มีลำดับที่รักษาคุณสมบัติ หมายความว่า ต่อไปนี้: if0c อัล - H2 แล้ว หล่อ IC] ด้วยตนเอง CL ที่ C = { n, nk + 1 < n, m 1 / mk + 1 < n] และ mj คือ เลขของ Ys ที่ตกอยู่ใน interv al (t, -. t, l ในหมายเหตุ 9 พวกเขาชี้ให้เห็นว่า ไม่ทราบว่า สภาพ (2) สามารถลดลง หรือผ่อนคลายถือกระดาษนี้เราพิสูจน์ว่า เงื่อนไขนี้สามารถทิ้ง โดยทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบ เวกเตอร์สุ่ม N เป็นสถิติเพียงพอสำหรับการนี้ ในภาคนี้ เราเน้นที่สถิติเพียงพอ equivalen ดังนั้นจึง กำหนดสะสมก็ตามเวกเตอร์ s = (s ...... Sk), ที่ Si =Σ = 1 N) i - ニ 1 (ศรี,,,, Sk), ที่เซนต์ =เราใช้ s สัญกรณ์ เพื่อเน้นที่การกระจายของ S ตามพารามิเตอร์ และเวกเตอร์ก็ตามสะสม th จะได้รับจากตัวอย่างต่อไป stribution ดิเนนเช่น (の 0-0, ie po (p1 (9),,,, pk + 1 (9)), พายที่» -e - 4-1 / ti - t - u / n ฉัน 1..... k และ pkti (9) = e - ฉันกำหนดให้ = 0 และหมายเหตุว่า เวกเตอร์มีคุณสมบัติ Markov, ie ศรี - s1) = PCSjtFS) + 115, s =) = f (s เอสเจ + 1) ที่ (n - s) P) + 1 P) + 1 (Sj + 1-5) (n - นั่ง ฉัน) (1 - M และ Y - Σ.1 p, i, J - 0..... k - 1 และโซ -โย - 0 ดังนั้น ฟังก์ชั่นความน่าเป็นมวลของเวกเตอร์ S คือ pk + 11A (SI,,,,, Sk), s กรุนด์ฟอส (S2 - Sl) ... (n - sk) (p2 Yi

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มีให้ N, NK + 1 <n สมมติ | x, .... .xn1 และ (Y﹂ハ Yal เป็นลำดับสองของ IID. ตัวแปรสุ่มต่อไปนี้การกระจายชี้แจงด้วยวิธี o และ Oza ตามลำดับ. อนุญาต F, (X), E (Y) เป็นประมาณโอกาสสูงสุด และอยู่บนพื้นฐานของการจัดกลุ่ม x XI และ Y, Y ,, ตามลำดับสำหรับ n ประมาณการและเหตุการณ์ C, ปล่อยให้ [OICI แสดงประมาณการที่มีการกระจายของเงื่อนไขการจำหน่ายofθรับ C, C ที่ได้รับการแต่งตั้งเพื่อว่า p ( C)> ทุมบาลาค et al. (2002) พิสูจน์ให้เห็นว่าในกรณีที่เมื่อ LD ลำดับ} ลดลงใน 1 IK, ie. ภายใต้เงื่อนไข D, D2> ... > DK แล้วประมาณการโอกาสสูงสุดของ o มีคำสั่งการรักษา . มันหมายถึงคุณสมบัติดังต่อไปนี้: if0c อัล - H2 แล้วดูเถิด IC] ด้วยตนเอง CL ที่ C = {n, NK + 1 <n, M 1 / MK 1 <n] และ MJ คือจำนวนของอีสที่ตกอยู่ใน Interv อัล (T -. T, L ในหมายเหตุ 9 พวกเขาชี้ให้เห็นว่ามันไม่เป็นที่รู้จักไม่ว่าจะอยู่ในสภาพที่ (2) สามารถลดลงหรือผ่อนคลายสำหรับการถือครองในบทความนี้เราพิสูจน์ให้เห็นว่าเงื่อนไขนี้สามารถลดลง. โดยตัวประกอบทฤษฎีบทสุ่มเวกเตอร์ N เป็นเวทีสถิติเพียงพอ ในผลสืบเนื่องที่เรามุ่งเน้นไปที่สถิติที่เพียงพอ equivalen ดังนั้นการกำหนดเวกเตอร์พหุนามสะสม s = (s .. ... Sk) ที่ศรี = Σ = 1 N) I - 1 ニ (SI,,,,, Sk) ที่ St = เราใช้สัญกรณ์ s ในการสั่งซื้อที่จะเน้นความจริงที่ว่าการกระจายของ S ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และ TH เวกเตอร์พหุนามที่สะสมจะได้รับจากตัวอย่างต่อไปนี้ ชี้แจง di stribution Ex (の 0-0 เช่น PO (P1 (9),,,,, PK + 1 (9)) ซึ่งพาย»อี - 4-1 / u - T - TI / n, I 1 ..... K และ pkti (9) = E - ฉันกำหนดดังนั้น = 0 และทราบว่าเป็นพาหะมีมาร์คอฟคุณสมบัติเช่นศรี -. S1) = PCSjtFS) + 115 = s,) = f (Sj +1 s) ที่ (n - s) P) 1 P) +1 (Sj + 1-5)! (n - นั่งฉัน)! (1 - M และ Y - Σ.1 P, I, J -..... 0 K - 1 และอื่น ๆ - Yo -. 0 ดังนั้นมวลฟังก์ชันของเวกเตอร์ S เป็น PK + 11A (SI,, , Sk), s! | (S2 - Sl) ... (n - เอสเค) (P2 Yi!

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ n , Q + 1 < N ว่า | X . . . . . . . . xn1 ( Y ﹂ハเยลสองลำดับของเปลือกให้เปิด ตัวแปรสุ่มการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลกับต่อไปนี้หมายถึง โอ และ โอซ่า ตามลำดับ ให้ f ( x ) , E ( Y ) มีความเป็นไปได้สูงสุดประมาณและขึ้นอยู่กับการจัดกลุ่ม Xi X และ Y Y , , ตามประมาณการ และเหตุการณ์ C , ให้ [ oici แสดงประมาณการว่ามีการกระจายของการกระจายที่เป็นเงื่อนไขของθให้ C เมื่อ C คือเลือกดังนั้น p ( c ) o . Balakrishnan et al . ( 2002 ) ได้พิสูจน์ว่า ในกรณีที่ลำดับ LD , } 1 k ฉันลดลงใน IE . ภายใต้เงื่อนไข d , D2 > . . . > DK แล้วความเป็นไปได้สูงสุดประมาณ o มีเพื่อรักษาคุณสมบัติ หมายความว่าต่อไปนี้ : if0c al - H2 แล้วดูเถิด , IC ] ตนเอง CL ที่ C = { n , Q + 1 < N , M 1 / 9 + 1 < N ] และ MJ เป็นหมายเลขของเยซองที่ตกอยู่ใน interv ล ( T - T , L . ในความเห็นที่ 9 พวกเขาชี้ให้เห็นว่า มันไม่ได้เป็นที่รู้จักกันว่าเงื่อนไข ( 2 ) สามารถลดลงหรือผ่อนคลายการถือครอง ในกระดาษนี้เราพิสูจน์ได้ว่า เงื่อนไขนี้สามารถลดลง โดยการแยกตัวประกอบทฤษฎีบทเวกเตอร์สุ่มไทยสถิติเพียงพอที่อยู่ ในผลสืบเนื่องที่เรามุ่งเน้นการ equivalen เพียงพอสถิติ จึงกำหนดจำนวนเวกเตอร์โดย S = ( S . . . . . . . . . . Skin ) ที่ศรี = Σ = 1 N ) ผม - 1 ニ ( SI , SK ) ที่เซนต์ = เราใช้สัญลักษณ์ S เพื่อเน้นความจริงที่ว่า การกระจายของ s ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และการสะสมโดยเวกเตอร์จะได้รับจากตัวอย่างต่อไปนี้แทน ดิ stribution EX ( の 0-0 , IE โป ( P1 ( 9 ) , , PK + 1 ( 9 ) ที่พาย» - E - 4-1 / u - t - Ti / N ฉัน 1 . . . . . . . . . . . . . . K และ pkti ( 9 ) = E - กำหนดให้ = 0 และทราบว่าเป็นพาหะ มีมาร์คอฟคุณสมบัติ เช่น ศรี - S1 ) = pcsjtfs ) + 2 = s ) = f ( SJ + 1 S ) ที่ ( - s ) P ) + 1 p ) + 1 ( SJ + 1-5 ) ( n - นั่ง ผม ) ( 1 - M และ Y - Σ 1 P , I , J - 0 . . . . . . . . . . . . . . K - 1 แล้ว - ไง - 0 ดังนั้นความน่าจะเป็นฟังก์ชันมวลของเวกเตอร์เป็น PK + 11A ( SI , SK ) , S | ( S2 - SL ) . . . . . . . ( n - SK ) ( P2 ยี