2. Definition and notationLet G = (

2. Definition and notation
Let G = (V, E) be a graph. For u, v ∈ V, distG(u, v) denotes the distance between u and v in G. The diameter of G, denoted
by diam(G), is the maximum distance between two vertices in G. Let α(G) denote the size of a maximum independent set
of G. We denote the complete graph with n vertices by Kn and the complete bipartite graph with two partite sets of sizes m
and n by Km,n. The cycle of n vertices is denoted by Cn.
For each unit disk graph G = (V, E), there exists a mapping φ : V → R2 such that {u, v} ∈ E if and only if ∥φ(u)−φ(v)∥
≤ 1. We call the mapping φ a realization of G. Throughout the paper, a vertex v and its associated point φ(v) are used interchangeably.
The x-coordinate and y-coordinate of φ(w) are denoted by φx(w) and φy(w), respectively. The width of φ is
defined as maxu,v∈V |φy(u) − φy(v)|. A realization of width at most c is called a c-realization. We denote ∥φ(u) − φ(v)∥ by
distφ(u, v). The diameter of φ, denoted by diam(φ), is defined as maxu,v∈V ∥φ(u) − φ(v)∥.
A graph G = (V, E) is a comparability graph if there is a partial order (V,≤) such that {u, v} ∈ E if and only if u ≤ v
or v ≤ u. The complement of a comparability graph is a co-comparability graph. There are a few characterizations of cocomparability
graphs. For instance, G = (V, E) is a co-comparability graph if and only if there is a linear ordering (V,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. Definition and notationLet G = (V, E) be a graph. For u, v ∈ V, distG(u, v) denotes the distance between u and v in G. The diameter of G, denotedby diam(G), is the maximum distance between two vertices in G. Let α(G) denote the size of a maximum independent setof G. We denote the complete graph with n vertices by Kn and the complete bipartite graph with two partite sets of sizes mand n by Km,n. The cycle of n vertices is denoted by Cn.For each unit disk graph G = (V, E), there exists a mapping φ : V → R2 such that {u, v} ∈ E if and only if ∥φ(u)−φ(v)∥≤ 1. We call the mapping φ a realization of G. Throughout the paper, a vertex v and its associated point φ(v) are used interchangeably.The x-coordinate and y-coordinate of φ(w) are denoted by φx(w) and φy(w), respectively. The width of φ isdefined as maxu,v∈V |φy(u) − φy(v)|. A realization of width at most c is called a c-realization. We denote ∥φ(u) − φ(v)∥ bydistφ(u, v). The diameter of φ, denoted by diam(φ), is defined as maxu,v∈V ∥φ(u) − φ(v)∥.A graph G = (V, E) is a comparability graph if there is a partial order (V,≤) such that {u, v} ∈ E if and only if u ≤ vor v ≤ u. The complement of a comparability graph is a co-comparability graph. There are a few characterizations of cocomparabilitygraphs. For instance, G = (V, E) is a co-comparability graph if and only if there is a linear ordering (V, <)such that u < v < w and {u,w} ∈ E imply {u, v} ∈ E or {v,w} ∈ E (see [2, Section 4.1]). We call such an ordering aco-comparability ordering. As mentioned before, it is known that G ∈ SG(√3/2) implies that G is a co-comparability graph[2, Section 3.1.2], but the converse does not hold in general (e.g., K1,6).For a, b ∈ R, the closed interval [a, b] is {c ∈ R : a ≤ c ≤ b}, the open interval (a, b) is {c ∈ R : a < c < b}, theclosed–open interval [a, b) is {c ∈ R : a ≤ c < b}, and the open–closed interval (a, b] is {c ∈ R : a < c ≤ b}. A mixedunit interval graph is the intersection graph of a set of closed, open, closed–open, and open–closed unit intervals. The classof mixed unit interval graphs is denoted by MUIG.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. ความหมายและสัญกรณ์
ให้ G = (V, E) เป็นกราฟ สำหรับยูวี∈วี distG (ยูวี) หมายถึงระยะห่างระหว่าง u และ v ในกรัมเส้นผ่าศูนย์กลางของ G ชี้แนะ
โดยเส้นผ่าศูนย์กลาง (G) เป็นระยะทางสูงสุดระหว่างสองจุดในกรัมให้α (G) แสดงขนาดของชุดอิสระสูงสุด
ของจีเราแสดงกราฟสมบูรณ์ด้วยจุด n โดย Kn และฝ่ายกราฟที่สมบูรณ์แบบด้วยสองชุด partite ขนาดเมตร
และ n โดยกม, n วงจรของจุด n จะเขียนแทนด้วย Cn.
สำหรับแต่ละดิสก์หน่วยกราฟ G = (V, E) มีอยู่ทำแผนที่φ: V → R2 ดังกล่าวว่า {u, วี} ∈ E ถ้าหาก∥φ (มึง) -φ (V) ∥
≤ 1. เราขอเรียกร้องการทำแผนที่φสำนึกของจีตลอดกระดาษโวลต์จุดสุดยอดและเป็นจุดที่เกี่ยวข้องφ (V) จะใช้สลับกัน.
พิกัด x และ y ที่พิกัดของφ (w ) จะแสดงด้วยφx (w) และφy (w) ตามลำดับ ความกว้างของφถูก
กำหนดให้เป็น maxu, v∈V | φy (มึง) - φy (V) | สำนึกของความกว้างที่คมากที่สุดเรียกว่าคตระหนักรู้ เราแสดง∥φ (มึง) - φ (V) ∥โดย
distφ (ยูวี) เส้นผ่าศูนย์กลางของφ, แสดงโดยเส้นผ่าศูนย์กลาง (φ) ถูกกำหนดให้เป็น maxu, v∈V∥φ (ธ .) - φ (V) ∥
กราฟ G = (V, E) เป็นกราฟเปรียบเทียบว่ามีบางส่วน การสั่งซื้อ (v, ≤) ดังกล่าวว่า {u, วี} ∈ E ถ้าหากยู≤ v
หรือ v ≤ยู ส่วนประกอบของกราฟเปรียบเทียบเป็นกราฟร่วมการเปรียบเทียบ มีลักษณะเฉพาะไม่กี่ cocomparability เป็น
กราฟ ยกตัวอย่างเช่น G = (V, E) เป็นกราฟร่วมการเปรียบเทียบและถ้าหากมีการสั่งซื้อเชิงเส้น (v, <)
เช่นที่ยู <v <กว้างและ {u, w} ∈ E หมายความ {u โวลต์ } ∈ E หรือ {V, w} ∈ E (ดู [2 มาตรา 4.1]) เราขอเรียกร้องเช่นการสั่งซื้อ
สั่งซื้อร่วมการเปรียบเทียบ ดังกล่าวก่อนเป็นที่รู้จักกันว่า G ∈สิงคโปร์ (
√
3/2) หมายความว่า G เป็นกราฟเปรียบเทียบร่วม
[2 มาตรา 3.1.2] แต่การสนทนาไม่ได้ถือทั่วไป (เช่น K1,6) .
สำหรับข∈ R, ช่วงปิด [, b] เป็น {C ∈ R: ≤≤คข} ช่วงเปิด (ข) เป็น {C ∈ R: <ค <b}
ช่วงเวลาปิดเปิด [b) เป็น {C ∈ R: ≤ค <b} และช่วงเวลาเปิดปิด (มี b] เป็น {C ∈ R: <ค≤ข}. ผสม
หน่วย กราฟเป็นกราฟช่วงจุดตัดของชุดของปิดเปิดปิดเปิดและเปิดช่วงเวลาปิดหน่วย. ระดับ
ของกราฟช่วงเวลาหน่วยผสมจะเขียนแทนด้วย MUIG

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . ความหมายและสัญลักษณ์
ให้ G = ( V , E ) จะเป็นกราฟ สำหรับ U , V ∈ V , distg ( u , v ) หมายถึง ระยะห่างระหว่างคุณและ 5 กรัม เส้นผ่าศูนย์กลางของ G เขียนแทน
โดยเดียม ( G ) คือระยะห่างสูงสุดระหว่างสองจุดในกรัม ( g ) แสดงให้αขนาดสูงสุดเซตอิสระ
G . เราแสดงกราฟ สมบูรณ์ด้วย n จุดยอดโดย KN และกราฟสองส่วนสมบูรณ์ด้วยสองชุดซึ่งแบ่งออกเป็นส่วนๆขนาด M
และ n โดย km , เอ็นวงจร n จุดยอดเขียนโดย CN .
สำหรับแต่ละหน่วยดิสก์กราฟ G = ( V , E ) , ไม่มีแผนที่φ : R2 V → keyboard - key - name เช่น { U , V } ∈ E ถ้าและเพียงถ้า∥φ ( U ) −φ ( V ) ∥
≤ 1 . เราเรียกแผนที่φรับรู้ของ G . ทั่วกระดาษ จุดยอด V และเกี่ยวข้องจุดφ ( V ) จะใช้สลับ และกลไกควบคุมควบคุมจากภายในของφ y-coordinate
( W ) แทน โดยφ x ( W ) และφ Y ( W )ตามลำดับ ความกว้างของφคือ
นิยามว่า maxu V ∈ V | φ Y ( U ) −φ Y ( V ) | . การรับรู้ของความกว้างที่ส่วนใหญ่ C จะเรียกว่า c-realization . เราแสดง∥φ ( U ) −φ ( V ) ∥โดย
Dist φ ( u , v ) เส้นผ่าศูนย์กลางของφเขียนแทนด้วยเดียม ( φ ) หมายถึง maxu V ∈∥φ V ( U ) −φ ( V ) ∥ .
กราฟ G = ( V , E ) จะไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ หากมีคำสั่งซื้อบางส่วน ( V , ≤ ) เช่น { U , V } ∈และถ้าและเพียงถ้าคุณ≤ V
V ≤วูหรือส่วนเติมเต็มของไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟเป็น Co ไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ มีเพียงไม่กี่ของ cocomparability
characterizations กราฟ ตัวอย่างเช่น , G = ( V , E ) คือ บริษัทไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ หากมีการสั่งซื้อโดยตรง ( V < )
เช่น U < v < W { u , w } ∈ E บ่งบอกถึง { U , V } { V ∈ E หรือ W } [ ∈ E ( ดู 2 ส่วน 4.1 ] ) เราเรียกเช่นการสั่งซื้อ
Co ไม่สามารถเปรียบเทียบการสั่งซื้อ ตามที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้มันเป็นที่รู้จักกันว่า G ∈ SG (
√
3 / 2 ) หมายความว่า G เป็น Co ไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ
[ 2 ] ส่วนการดาวน์โหลด แต่สนทนาไม่ได้ถือในทั่วไป ( เช่น k1,6 )
ให้ A , B ∈ r , ปิดช่วง [ a , b ] { C คือ ∈ R : ≤ C ≤ B } , ช่วงเปิด ( a , b ) r : { C ∈ < C < b } ,
ปิด–เปิดช่วง [ a , b ) r : { C ∈≤ C < b } และ–เปิดปิดช่วงเวลา ( A b ] { C ∈ R : B < C ≤ }หน่วยผสม
ช่วงกราฟเป็นกราฟของเซตแยกปิด เปิด –ปิด เปิด และ เปิด - ปิดทุกหน่วย เรียน
กราฟช่วงหน่วยผสม คือ แทน โดย muig .