Let f(t) be an operator monotone fu

Let f(t) be an operator monotone function. Then A≤B implies f(A)≤f(B), but the converse implication is not true. Let A{music sharp sign}B be the geometric mean of A, B≥0. If A≤B, then B-1{music sharp sign}A≤I; the converse implication is not true either. We will show that if f(λB+I)-1{music sharp sign}f(λA+I)≤I for all sufficiently small λ>0, then f(λA+I)≤f(λB+I) and A≤B. Moreover, we extend it to multi-variable matrices means

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ f(t) เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวการดำเนิน แล้ว A≤B หมายถึง f(A)≤f(B) แต่ตรงกันข้ามเนื่องจากไม่เป็นความจริง {เพลงคมเครื่อง} ให้ B มีค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ A, B≥0 ถ้า A≤B แล้ว A≤I B-1 {เพลงคมเครื่อง} ตรงกันข้ามเนื่องจากไม่เป็นความจริงอย่างใดอย่างหนึ่ง เราจะแสดงว่าถ้า ≤I f(λA I) f(λB I)-1 {เพลงคมเครื่อง} สำหรับทั้งหมดพอเล็กλ > 0 แล้ว f(λA I) ≤f(λB I) และ A≤B นอกจากนี้ เราขยายหลายตัวแปรเมทริกซ์หมายความ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ f (t) เป็นฟังก์ชั่นเสียงเดียวการดำเนินการ แล้ว≤ B นัย f (A) ≤ f (B) แต่ความหมายสนทนาไม่เป็นความจริง Let {เพลงสัญญาณคมชัด} B เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ A, B ≥ 0 ถ้า≤ B แล้ว B-1 {เพลงสัญญาณคมชัด} ≤ฉัน; ความหมายการสนทนาไม่เป็นความจริงอย่างใดอย่างหนึ่ง เราจะแสดงให้เห็นว่าถ้า f (λB + I) -1 {เพลงสัญญาณคมชัด} f (λA + I) ≤ฉันสำหรับทุกλขนาดเล็กพอ> 0 แล้ว f (λA + I) ≤ f (λB + I) และ ≤บี นอกจากนี้เรายังขยายไปยังหลายตัวแปรหมายถึงการฝึกอบรม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ f ( t ) เป็นผู้ดำเนินการโมโนโทน ฟังก์ชัน แล้ว≤ B หมายถึง F ( ) ≤ f ( b ) แต่ความหมายสนทนาไม่ได้จริง ขอเพลงคมป้าย } { B เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ A , B ≥ 0 ถ้า≤ B , B1 { เข้าสู่ระบบ } เพลงคม≤ฉัน ; นัยตรงกันข้าม ไม่เป็นความจริงแต่อย่างใด พวกเราจะแสดงให้เห็นว่าถ้า f ( λ B ) - 1 { เพลงคมเครื่องหมาย } F ( λผม ) ≤ฉันทั้งหมดมีขนาดเล็กเพียงพอλ > 0 แล้ว f ( λผม ) ≤ F ( λ B ) และ≤พ. นอกจากนี้เราขยายไปหลายตัวแปรเมทริกซ์ หมายถึง