Mountain Pass solutions for non-loc

Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators ✩
Raffaella Servadei a,∗, Enrico Valdinoci b
a Dipartimento di Matematica, Università della Calabria, Ponte Pietro Bucci 31 B, 87036 Arcavacata di Rende, Cosenza, Italy
b Dipartimento di Matematica, Università di Milano, Via Cesare Saldini 50, 20133 Milano, Italy
article info abstract
Article history:
Received 27 September 2011
Available online 21 December 2011
Submitted by V. Radulescu
Keywords:
Mountain Pass Theorem
Variational techniques
Integrodifferential operators
Fractional Laplacian
The purpose of this paper is to study the existence of solutions for equations driven by
a non-local integrodifferential operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions.
These equations have a variational structure and we find a non-trivial solution for them
using the Mountain Pass Theorem. To make the nonlinear methods work, some careful
analysis of the fractional spaces involved is necessary. We prove this result for a general
integrodifferential operator of fractional type and, as a particular case, we derive an
existence theorem for the fractional Laplacian, finding non-trivial solutions of the equation

(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn Ω.
As far as we know, all these results are new.
© 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
Contents
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
2. Some preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.1. Preliminary estimates on the nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.2. The functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
3. Mountain Pass solutions in a non-local framework: proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
4. An equation driven by the fractional Laplacian: proof of Theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
1. Introduction
One of the most celebrated applications of the Mountain Pass Theorem (see [1,5,6,8]) consists in the construction of
non-trivial solutions of semilinear equations of the type
−u = f (x, u) in Ω,
u = 0 on ∂Ω. (1.1)
✩ The first author was supported by the MIUR National Research Project Variational and Topological Methods in the Study of Nonlinear Phenomena, while the
second one by the ERC grant  (Elliptic Pde’s and Symmetry of Interfaces and Layers for Odd Nonlinearities) and the FIRB project A&B (Analysis and Beyond).
* Corresponding author.
E-mail addresses: [e-mail] (R. Servadei), [e-mail] (E. Valdinoci).
0022-247X/$ – see front matter © 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
doi:10.1016/j.jmaa.2011.12.032
888 R. Servadei, E. Valdinoci / J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 887–898
In this framework, the solutions are constructed with a variational method by a minimax procedure on the associated
energy functional.
We think that a natural question is whether or not these Mountain Pass techniques may be adapted to the fractional
analogue of Eq. (1.1), namely
(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn Ω.
Here, s ∈ (0, 1) is fixed and (−)s is the fractional Laplace operator, which (up to normalization factors) may be defined as
−(−)s
u(x) = 1
2

Rn
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
|y|
n+2s dy, x ∈ Rn. (1.2)
For instance, when s = 1/2, the above operator is the square root of (minus) the Laplacian (the minus sign is needed to
make the operator positive definite, see [4] and references therein for a basic introduction to the fractional Laplace operator).
Recently, a great attention has been focused on the study of fractional and non-local operators of elliptic type, both for
the pure mathematical research and in view of concrete real-world applications. This type of operators arises in a quite
natural way in many different contexts, such as, among the others, the thin obstacle problem, optimization, finance, phase
transitions, stratified materials, anomalous diffusion, crystal dislocation, soft thin films, semipermeable membranes, flame
propagation, conservation laws, ultra-relativistic limits of quantum mechanics, quasi-geostrophic flows, multiple scattering,
minimal surfaces, materials science and water waves.
The literature on non-local operators and on their applications is, therefore, very interesting and, up to now, quite large
(see, e.g., [4] f

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โซลูชั่นผ่านภูเขาสำหรับผู้ประกอบการภายในไข่✩Raffaella Servadei a ∗ เอนรีโก Valdinoci bคณิตศาสตร์ Dipartimento di, Università della Calabria ปงต์ Pietro Bucci 31 บี 87036 Arcavacata di Rende โกเซนซา อิตาลีb Dipartimento di คณิตศาสตร์ Università di Milano ผ่าน Cesare Saldini 50, 20133 มิลาโน อิตาลีบทความข้อมูลนามธรรมบทความประวัติ:ได้รับ 27 2554 กันยายนออนไลน์อยู่ 21 2554 ธันวาคมโดย V. Radulescuคำสำคัญ:ทฤษฎีบทผ่านภูเขาเทคนิค variationalผู้ประกอบการ IntegrodifferentialLaplacian เศษวัตถุประสงค์ของเอกสารนี้คือการ ศึกษาการดำรงอยู่ของโซลูชั่นสำหรับสมการที่ขับเคลื่อนด้วยดำเนินการภายใน integrodifferential มีเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet เป็นเนื้อเดียวกันสมการเหล่านี้มีโครงสร้าง variational และเราหาทางออกไม่ใช่น้อย ๆ สำหรับพวกเขาโดยใช้ทฤษฎีบทผ่านภูเขา ให้ระวังบางวิธีไม่เชิงเส้นการทำงานจำเป็นต้องวิเคราะห์พื้นที่เศษส่วนที่เกี่ยวข้อง เราพิสูจน์ผลลัพธ์นี้สำหรับทั่วไปผู้ประกอบการ integrodifferential เศษส่วนชนิด และ เป็นกรณีเฉพาะ ที่เราได้รับการทฤษฎีบทดำรงอยู่สำหรับ Laplacian เศษส่วน การแก้ปัญหาที่ไม่น่ารำคาญของสมการ(−) su = f (x, u) ในΩu = 0 ใน Rn Ωเท่าที่เรารู้ว่า ผลลัพธ์เหล่านี้ใหม่ได้© 2011 Elsevier อิงค์ สงวนลิขสิทธิ์เนื้อหา1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8872. Some preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8902.1. เบื้องต้นประเมินใน nonlinearity....................................................... 8902.2. The functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913 ช่องเขาโซลูชั่นในการทำงานภายใน: พิสูจน์ทฤษฎีบท 1....................................... 8944. สมการโดย Laplacian เศษ: พิสูจน์ทฤษฎีบท 2.......................................... 898References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8981. บทนำหนึ่งในโปรแกรมสุดโด่งดังของทฤษฎีบทผ่านภูเขา (ดู [1,5,6,8]) ประกอบด้วยในการก่อสร้างแก้สมการ semilinear ชนิดไม่น่ารำคาญ−u = f (x, u) ในΩu = 0 บน∂Ω (1.1)✩แรกผู้เขียนได้รับการสนับสนุน โดย MIUR ชาติวิจัยโครงการ Variational และ Topological วิธีการในการศึกษาของเชิงเส้นปรากฏการณ์ ในขณะที่สองโดย grant ERC (Elliptic Pde และสมมาตรของอินเทอร์เฟซ และชั้นสำหรับ Nonlinearities คี่) และโครงการ FIRB A & B (วิเคราะห์และอื่น ๆ)* ผู้เขียนที่สอดคล้องกันที่อยู่อีเมล์: [e-mail] (R. Servadei), [e-mail] (E. Valdinoci)0022-247 X / $ – ดูหน้าเรื่อง © 2011 Elsevier อิงค์ สงวนลิขสิทธิ์doi:10.1016/j.jmaa.2011.12.032888 อาร์ Servadei, E. Valdinoci / เจ.คณิตศาสตร์ ทางทวารหนัก ใช้ 389 (2012) 887-898ในกรอบนี้ ถูกสร้าง ด้วยวิธี variational โดยการผสมกระบวนการบนการเชื่อมโยงพลังงานที่ทำงานเราคิดว่า คำถามธรรมชาติเป็นหรือไม่ว่าเทคนิคเหล่านี้ผ่านภูเขาอาจจะดัดแปลงให้เป็นเศษส่วนอนาล็อกของ Eq. (1.1), คือ(−) su = f (x, u) ในΩu = 0 ใน Rn Ωที่นี่ ∈ s (0, 1) ได้รับการแก้ไข และ s (−) เป็นเศษลาปลาสตัวดำเนินการ ซึ่งอาจถูกกำหนดเป็น (ถึงปัจจัยเกี่ยวกับการปรับสภาพ)−(−)su(x) = 12Rnu (x + y) + 2u(x) − u (x − y)| y |n + 2s dy, x ∈ Rn (1.2)ตัวอย่างเช่น เมื่อ s = 1/2 ผู้ประกอบการข้างต้นเป็นรากที่สองของ (Laplacian (เครื่องหมายลบจำเป็นต้องไปลบ)ทำให้ผู้ประกอบการบวกชัดเจน ดู [4] และการอ้างอิงในนั้นการแนะนำพื้นฐานการตัวดำเนินการลาปลาสเศษ)เมื่อเร็ว ๆ นี้ สนใจที่ถูกเน้นการศึกษาเศษส่วน และภายในผู้ประกอบการชนิดไข่ ทั้งสำหรับการวิจัยทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และมุม มองการใช้งานคอนกรีตจริง ผู้ประกอบการประเภทนี้เกิดขึ้นเงียบสงบวิธีธรรมชาติในหลายบริบทที่แตกต่าง เช่น หมู่คนอื่น ๆ ปัญหาอุปสรรคบาง เพิ่มประสิทธิภาพ การเงิน ขั้นตอนช่วงการเปลี่ยนภาพ วัสดุจำนวนชั้นของเซลล์ กระจายผิดปกติ กระดูกเคลื่อนคริสตัล ฟิล์มบางนุ่ม เยื่อเลือกผ่าน เปลวไฟการเผยแพร่ กฎหมายอนุรักษ์ จำกัด relativistic พิเศษของควอนตัม กระแสกึ่ง geostrophic โปรยหลายพื้นผิวน้อยที่สุด วัสดุศาสตร์ และคลื่นน้ำเอกสารประกอบการดำเนินการภายใน และ บนโปรแกรมประยุกต์ของตนนั้น จึง น่าสนใจมาก และ ถึงตอนนี้ ค่อนข้างใหญ่(ดู เช่น, [4] f