A “Stencil Method” for solving quad

A “Stencil Method” for solving quadratics of the type that have real roots
By Albert us Smith

About ten years ago I derived the relationships between the values of a, b, and c in the equation for parabolas of the type
y =
and the values of the coordinates of the fixed point (h, k) and the constant n from the equation of the fixed line (parallel to the x-axis) y = n that determined such parabolic loci in the Cartesian plane (see part 2, Validation of the Stencil Method) My interest at the time was to provide a solid, early appreciation of the properties of the parabolic function for a group of accelerated students in elementary algebra in conjunction with the consideration of the solution of quadratic equation in a single variable.
The idea of constructing a parabolic stencil that might be used to solve any quadratic of the type

rather naturally suggested itself once I had pointed out to the students that the specific shape of any parabola of the type
y =
was determined solely by the value of a, the coefficient of the second-degree term. The distance between the fixed point and fixed line determines the specific shape of any parabola, and we had demonstrated that the value of a was inversely related to k-n, the distance between the fixed point and the fixed line (see part 2).
This meant that a parabolic stencil constructed from y = would have exactly the same shape as any other parabola of the type
y =

and that solution of equations of the type = 0 might quite accurately be determined by
1. Finding the coordinates of the low (or high) point of a given parabolic curve,
2. Placing the tip of the stencil at that point (vertically aligned), and
3. Tracing around the stencil with a fine pencil or ball-point pen to obtain approximate roots of the given equation at the points where the curve cut the x-axis.

Since any quadratic of the type

Could be converted into a quadratic of the type
= 0,

Then the single stencil could be used to determine the roots of any quadratic of this type, since the roots of the given equation would not be affected by dividing both members of the given equation by a.
To my pleasant surprise the students recognized this lad method not only as a reassuring verification of the theory they were studying but also as a refinement of the graphical method given in their textbook.
Since I also had a section of not-so-highly motivated students as part of my daily.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

"วิธีลายฉลุ" สำหรับการแก้ quadratics ชนิดที่มีรากจริงโดยอัลเบิร์ตเราสมิธประมาณสิบปีที่ผ่านมาฉันได้รับความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a, b และ c ในสมการ parabolas ชนิด y = และค่าพิกัดของจุดคงที่ (h, k) และ n คงที่จากสมการของ y คงบรรทัด (ขนานกับแกน x) = n ที่กำหนดเช่น loci จานในแบบคาร์ทีเซียนเครื่องบิน (ดูส่วนที่ 2 ตรวจสอบปากกาวิธี) ดอกเบี้ยของฉันในเวลา ที่จะ ให้เพิ่มค่าของแข็ง ต้นคุณสมบัติของฟังก์ชันจานสำหรับกลุ่มนักเรียนเร่งในพีชคณิตมูลฐานร่วมกับการพิจารณาของ การแก้ปัญหาสมการกำลังสองตัวแปรเดียวในความคิดในการสร้างลายฉลุจานที่อาจถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาใด ๆ กำลังสองชนิด ค่อนข้างธรรมชาติแนะนำตัวเองหลังจากที่ผมได้ชี้ให้เห็นการศึกษาที่ทรงพาราโบลาใด ๆ ของชนิดระบุ y = ถูกกำหนด โดยค่าของสัมประสิทธิ์การ คำว่า second-degree เท่านั้น ระยะห่างระหว่างจุดคงที่และถาวรบรรทัดกำหนดรูปร่างเฉพาะของพาราโบลาใด ๆ และมีว่าที่ค่าของการ inversely เกี่ยวกับ k-n ระยะห่างระหว่างจุดคงเส้นคง (ดูส่วนที่ 2) นี้หมายถึง ที่ลายฉลุจานสร้างจาก y =จะไว้ตรงอื่นใดเป็นพาราโบลาชนิด y = และสมการชนิดโซลูชันนั้น = 0 อาจค่อนข้างถูกต้องตาม1. หาพิกัดของจุดต่ำสุด (หรือสูง) ของเส้นโค้งให้จาน2. วางปลายปากกาจุดนั้น (จัดตำแหน่งแนวตั้ง), และ3. ติดตามรอบลายฉลุ ด้วยดีลูกจุดหรือดินสอปากการับประมาณรากสมการกำหนดจุดที่เส้นโค้งตัดแกน xตั้งแต่กำลังสองใด ๆ ของชนิด สามารถแปลงเป็นกำลังสองชนิด = 0แล้วปากกาเดี่ยวสามารถใช้กำหนดรากของกำลังสองใด ๆ ของชนิดนี้ เนื่องจากรากของสมการที่กำหนดจะไม่ได้รับผลกระทบจากการหารสมการที่กำหนดโดยสมาชิกทั้งสองแบบ ไปครับของฉัน เรียนรู้วิธีลัดนี้ไม่เพียงแต่ เป็นการตรวจสอบทฤษฎีที่พวกเขาได้เรียนแข่งขันต่ออายุ แต่ยังละเอียดลออของวิธีการแสดงเป็นรูปภาพในหนังสือของพวกเขา เนื่องจากผมยังมีส่วนของนักเรียนที่ไม่เพื่อแรงจูงใจสูงเป็นส่วนหนึ่งของฉันทุกวัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

"วิธีลายฉลุ" สำหรับการแก้ Quadratics ประเภทที่มีรากจริง
โดยอัลเบิร์สมิ ธ กับเราเกี่ยวกับสิบปีที่ผ่านมาผมได้มาความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ b, c และในสมการของพาราโบลาประเภทy = และค่านิยม พิกัดของจุดคงที่ (h, k) และ n คงที่จากสมการของเส้นคงที่ (ขนานกับแกน x) y = n ที่กำหนดสถานะเป็นรูปโค้งดังกล่าวในระนาบคาร์ทีเซียน (ดูส่วนที่ 2 การตรวจสอบของ วิธีลายฉลุ) ความสนใจของผมในเวลาที่จะให้ของแข็งแข็งค่าในช่วงต้นของคุณสมบัติของฟังก์ชันพาราโบลาสำหรับกลุ่มของนักเรียนที่เร่งตัวขึ้นในพีชคณิตประถมร่วมกับการพิจารณาของการแก้ปัญหาของสมการกำลังสองในตัวแปรเดียว. ความคิดในการสร้างลายฉลุเป็นรูปโค้งที่อาจจะใช้ในการแก้สมการกำลังสองประเภทใดแนะนำค่อนข้างเป็นธรรมชาติของตัวเองเมื่อผมได้ชี้ให้เห็นให้กับนักเรียนที่มีรูปร่างที่เฉพาะเจาะจงของโค้งใด ๆ ของชนิดy = ถูกกำหนด แต่เพียงผู้เดียวโดยมูลค่าของ, ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมสององศา ระยะห่างระหว่างจุดคงที่และสายคงกำหนดรูปร่างที่เฉพาะเจาะจงของโค้งใด ๆ และเราได้แสดงให้เห็นว่าค่าของความสัมพันธ์ผกผันกิโลนิวตัน, ระยะห่างระหว่างจุดตรึงและสายคงที่ (ดูตอนที่ 2). นั่นหมายความว่า ที่ลายฉลุเป็นรูปโค้งสร้างจาก y = จะได้ว่ารูปร่างเช่นเดียวกับพาราโบลาอื่น ๆ ของชนิดy = และวิธีการแก้ปัญหาของสมการของชนิดที่ = 0 อาจจะค่อนข้างถูกต้องถูกกำหนดโดย1 หาพิกัดของต่ำ (หรือสูง) จุดของเส้นโค้งพาราโบลาที่กำหนด2 วางปลายของลายฉลุที่จุดนั้น (แนวตั้ง) และ3 ติดตามรอบลายฉลุด้วยดินสอหรือปากกาที่ดีลูกจุดที่จะได้รับรากโดยประมาณของสมการได้รับในจุดที่เส้นโค้งตัดแกน x. เนื่องจากกำลังสองประเภทใดสามารถแปลงเป็นสมการกำลังสองประเภท = 0 , จากนั้นลายฉลุเดียวสามารถนำมาใช้ในการกำหนดรากของสมการกำลังสองประเภทนี้ใด ๆ เนื่องจากรากของสมการที่กำหนดจะไม่ได้รับผลกระทบโดยการหารทั้งสมาชิกของสมการที่กำหนดโดย. ในการแปลกใจของฉันนักเรียนได้รับการยอมรับเด็กหนุ่มนี้ วิธีการไม่เพียง แต่เป็นการตรวจสอบความมั่นใจของทฤษฎีที่พวกเขากำลังศึกษา แต่ยังเป็นความงดงามของวิธีการแบบกราฟิกที่ให้ไว้ในตำราเรียนของพวกเขา. ตั้งแต่ผมยังมีส่วนที่ไม่ให้นักเรียนมีแรงจูงใจสูงเป็นส่วนหนึ่งของชีวิตประจำวันของฉัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

" วิธีการ " ลายฉลุสินค้ากรณีศึกษาของชนิดที่มีรากจริงโดย Albert Smith


เราประมาณสิบปีที่ผ่านมาฉันได้รับความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a , b และ c ในสมการพาราโบลา y =

ของประเภทและค่าของพิกัดของจุดคงที่ ( เอชK ) และค่าคงที่จากสมการของการแก้ไขบรรทัด ( ขนานกับแกน x ) Y = n ที่กำหนดเช่นตำแหน่งในรูปโค้งของเครื่องบิน ( ดูส่วนที่ 2 การตรวจสอบความถูกต้องของวิธีที่ลายฉลุ ) ความสนใจของฉันในเวลาที่ถูกให้แข็งขอบคุณ ต้น คุณสมบัติของฟังก์ชันพาราโบลาสำหรับนักเรียนในกลุ่มเร่งพีชคณิตเบื้องต้นควบคู่กับการพิจารณาของผลเฉลยของสมการในตัวแปรเดียว
ความคิดสร้างพาราโบลาลายฉลุที่อาจจะใช้ในการแก้ไขใด ๆของประเภท

กำลังสองค่อนข้างเป็นธรรมชาติแนะนำตัวเองเมื่อฉันชี้ให้นักเรียนเห็นว่ารูปร่างที่เฉพาะเจาะจงของพาราโบลาประเภท
y =
ก็ตัดสินใจแต่เพียงผู้เดียว โดยมูลค่าของ , ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมการศึกษาระดับปริญญาที่สอง ระยะห่างระหว่างจุดคงที่และถาวรบรรทัดกำหนดรูปร่างที่เฉพาะเจาะจงของพาราโบลา และเราได้แสดงให้เห็นว่าค่าของเป็นตรงกันข้ามที่เกี่ยวข้องกับ k-n ,ระยะห่างระหว่างจุดคงที่และโทรศัพท์พื้นฐาน ( ส่วนที่ 2 )
แสดงว่าเป็นพาราโบลาลายฉลุสร้างจาก Y = คงเหมือนรูปร่างอื่นใดที่เป็นพาราโบลาประเภท
y =

และโซลูชั่นของสมการประเภท = 0 จะค่อนข้างถูกต้องถูกกำหนดโดย
1 การหาพิกัดของจุดต่ำ ( หรือสูง ) ให้โค้งพาราโบลา
2วางปลายปากกาที่จุด ( เรียงตามแนวตั้ง ) ,
3 ติดตามรอบปากกากับดินสอหรือปากกาชี้บอล ปรับให้ได้ประมาณรากของสมการที่กำหนดจุดที่กราฟตัดแกน x .

เนื่องจากกำลังสองของประเภท

อาจจะแปลงเป็นกำลังสองของประเภท
=
0แล้วปากกาเดียวสามารถใช้เพื่อหารากของกำลังสองของประเภทนี้ เนื่องจากรากของสมการที่กำหนดจะไม่ได้รับผลกระทบ โดยแบ่งให้สมาชิกทั้งสองของสมการโดย A .