สัจพจน์ 5 สัจพจน์สับเซต (Subset Axi

สัจพจน์ 5 สัจพจน์สับเซต (Subset Axiom)
กล่าวดังนี้
สำหรับเซต C ใด ๆ จะมีเซต B ซึ่งมีสมาชิก x ใน B สอดคล้องเงื่อนไข x เป็นเป็นสมาชิกใน C และเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้
 c  B  x [ x  B  x  C ]
สัจพจน์นี้มีเพื่อการยอมรับว่า มีสับเซต B ของเซต C ใด ๆ
สับเซต B ของ C ตรงกับความหมายของสับเซตที่เราเคยศึกษามาแล้ว และกำหนดเป็นนิยามได้ดังนี้
นิยาม 4 สับเซต (Subset)
ให้ A และ B เป็นเซต เรียก B ว่าเป็นสับเซตของ A สมาชิกทุกตัวในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A
ใช้สัญลักษณ์ BA แทนข้อความ B เป็นสับเซตของ A
จากนิยาม 4 ทำให้เกิดความเข้าใจได้ว่า ถ้าสมาชิกตัวหนึ่งของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของ A ก็เรียกได้ว่า B ไม่เป็นสับเซตของ A
ใช้สัญลักษณ์ BA แทนข้อความ B ไม่เป็นสับเซตของ A
นิยาม 5 สับเซตแท้ (Proper Subset)
ให้ A และ B เป็นเซต เรียก A ว่าเป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A ว่าเป็นสับเซตของและ A ไม่เท่ากับ B
เรียกสับเซต A ของ B ที่ไม่ใช่สับเซตแท้ ว่า สับเซตไม่แท้ (Improper Subset)
ดังนั้น สับเซตไม่แท้ของเซต A คือเซตว่าง และตัวเซต A เอง
หมายเหตุ 1.ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์  แทนวลี เป็นสับเซตของ ซึ่งไม่ได้ระบุชัดเจนว่าเป็นสับเซตแท้ หรือไม่ แต่เราจะเจาะจงว่าเป็นสับเซตแท้ก็ได้ เช่น เราเจาะจงว่า A เป็นสับเซตแท้ของ B แทนด้วยสัญลักษณ์ AB และ AB
2. สำหรับ A ที่เป็นสับเซตของ B อาจเรียก B ว่าเป็นซุปเปอร์เซต (Super Set) ของ A ก็ได้





ตัวอย่าง 5 ให้ W = {0,1,2,3,…,}
เรียก ว่า W เซตของจำนวนธรรมชาติรวมศูนย์ (Whole Number)
เราใช้ สัจพจน์สับเซตเพื่อสร้างเซตของเลขคู่ และสร้างเซตของจำนวนเฉพาะ(Prime Number) ดังนี้
B = {xW / x เป็นเลขคู่ }
D = { x  W / x เป็นจำนวนเฉพาะ }
ตัวอย่าง 6 ให้ S = {a,b,c,d,e}
เราสามารถสร้างเซต A เป็นสมาชิกใน S เพียง 3 ตัว คือ a,b,c,
ดังนั้น A = {a,b,c}
ได้ A S
สร้างเซต P โดยให้สมาชิกใน P เป็นสับเซตของเซต S และทุก ๆ สับเซต ของ S ต้องมีสมาชิกเพียงตัวเดียว
ได้ P = { { a } , { b } , { c } , { d } , { e } }

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัจพจน์ที่ 5 สัจพจน์สับเซต (สัจพจน์เซตย่อย) กล่าวดังนี้ สำหรับเซต C ใดๆ จะมีเซต B ซึ่งมีสมาชิก x ใน B สอดคล้องเงื่อนไข x เป็นเป็นสมาชิกใน C และเขียนสัญลักษณ์ดังนี้  c  B  x [x  B  x  C] สัจพจน์นี้มีเพื่อการยอมรับว่ามีสับเซต B ของเซต C ใดๆ สับเซต B นั้น ๆ และกำหนดเป็นนิยามได้ดังนี้ตรงกับความหมายของสับเซตที่เราเคยศึกษามาแล้ว Cนิยาม 4 สับเซต (ย่อย) ให้มีและบีเป็นเซตเรียกบีว่าเป็นสับเซตของบีสมาชิกทุกตัวในเซตเป็นสมาชิกในเซต A ใช้สัญลักษณ์ BA แทนข้อความ B เป็นสับเซตของ A จากนิยาม 4 ทำให้เกิดความเข้าใจได้ว่าถ้าสมาชิกตัวหนึ่งของเซตไม่เป็นสับเซตของไม่เป็นสมาชิกของก็เรียกได้ว่า B B A ใช้สัญลักษณ์ BA แทนข้อความ B ไม่เป็นสับเซตของ Aนิยาม 5 สับเซตแท้ (การย่อย) ให้และ B เป็นเซตเรียกว่าเป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อว่าเป็นสับเซตของและไม่เท่ากับ B เรียกสับเซตนั้น ๆ B ที่ไม่ใช่สับเซตแท้ว่าสับเซตไม่แท้ (ย่อยไม่เหมาะสม) ดังนั้นสับเซตไม่แท้ของเซตคือเซตว่างและตัวเซตตัวเองหมายเหตุ 1.ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ แทนวลีเป็นสับเซตของซึ่งไม่ได้ระบุชัดเจนว่าเป็นสับเซตแท้หรือไม่แต่เราจะเจาะจงว่าเป็นสับเซตแท้ก็ได้เช่นเราเจาะจงว่าเป็นสับเซตแท้ของ B แทนด้วยสัญลักษณ์ AB และ AB 2. สำหรับที่เป็นสับเซตของ B อาจเรียก B ว่าเป็นซุปเปอร์เซต (ชุดซูเปอร์) นั้น ๆ ก็ได้การ ตัวอย่าง 5 ให้ W = {0,1,2,3,…,} เรียก ว่า W เซตของจำนวนธรรมชาติรวมศูนย์ (Whole Number) เราใช้ สัจพจน์สับเซตเพื่อสร้างเซตของเลขคู่ และสร้างเซตของจำนวนเฉพาะ(Prime Number) ดังนี้ B = {xW / x เป็นเลขคู่ } D = { x  W / x เป็นจำนวนเฉพาะ } ตัวอย่าง 6 ให้ S = {a,b,c,d,e} เราสามารถสร้างเซต A เป็นสมาชิกใน S เพียง 3 ตัว คือ a,b,c, ดังนั้น A = {a,b,c} ได้ A S สร้างเซต P โดยให้สมาชิกใน P เป็นสับเซตของเซต S และทุก ๆ สับเซต ของ S ต้องมีสมาชิกเพียงตัวเดียว ได้ P = { { a } , { b } , { c } , { d } , { e } }

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สัจพจน์ 5 สัจพจน์สับเซต (กลุ่มย่อย Axiom)
กล่าวดังนี้
สำหรับเซต C ใด ๆ จะมีเซต B ซึ่งมีสมาชิก x ใน B สอดคล้องเงื่อนไข X เป็นเป็นสมาชิกใน C และเขียนสัญลักษณ์ดังนี้
 C  B  x [x  B  X  C]
สัจพจน์นี้มีเพื่อการยอมรับว่ามี สับเซต ของเซต B C ๆ ใด
สับเซตของ B C กำหนดเป็นและนิยามได้ดังนี้
นิยาม 4 สับเซต (กลุ่มย่อย)
ให้และ B เป็นเซตเรียก B ว่าเป็นสับเซตของสมาชิกทุกตัวในเซต B เป็นสมาชิกในเซต
ใช้สัญลักษณ์แทนข้อความBA B เป็นสับเซตของ
จากนิยาม 4 ทำให้เกิดความเข้าใจได้ว่าถ้าสมาชิก ตัวหนึ่งของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของก็เรียกได้ว่า B ไม่เป็นสับเซตของ
ใช้สัญลักษณ์แทนข้อความBA B ไม่เป็นสับเซตของ
นิยาม 5 สับ เซตแท้ (กลุ่มย่อยที่เหมาะสม)
ให้และ B เป็นเซตเรียกว่าเป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อว่าเป็นสับเซตของและไม่เท่ากับ B
เรียกสับเซตของ B ที่ไม่ใช่สับเซตแท้ว่าสับเซต ไม่ แท้ (ที่ไม่เหมาะสมกลุ่มย่อย)
ดังนั้นสับเซตไม่แท้ของเซตคือเซตว่างและตัวเซตเอง
หมายเหตุ 1. ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์แทนวลี เป็นสับเซตของ หรือไม่ เช่นเราเจาะจงว่าเป็นสับเซตแท้ของ B แทนด้วยสัญลักษณ์ABและAB
2 สำหรับที่เป็นสับเซตของ B B อาจเรียกว่าเป็นซุปเปอร์เซต (ชุดซุปเปอร์) ของก็ได้ตัวอย่าง arrow 5 ให้ W = {0,1,2,3, ... ,} เรียกว่า W เซตของจำนวนธรรมชาติรวมศูนย์ (Whole Number) เราใช้ และสร้างเซตของจำนวนเฉพาะ (Prime Number) ดังนี้B = {xW / X เป็นเลขคู่} D = {x  W / x เป็นจำนวนเฉพาะ} ตัวอย่าง 6 ให้ S = {A, B, C, D, E } เราสามารถสร้างเซตเป็นสมาชิกใน S เพียง 3 ตัวคือ A, B, C, ดังนั้น A = {a, b, c} ได้S สร้างเซต P โดยให้สมาชิกใน P เป็นสับเซตของเซต S และทุก ๆ สับเซตของ S มีสมาชิกคุณต้องเพียงคุณตัวเดียวได้ P = {{a}, {B}, {C}, {d}, {E}}