The sum of 1006 different positive

The sum of 1006 different positive integers is 1019057. If none of them is
greater than 2012, what is the minimum number of these integers which must be
odd?
【Solution】
Suppose we take the first 1006 even numbers. Then their sum is 1006 (2 2012)
2
× +
=
1013042. Now 1019057 − 1013042 = 6015. So we have to trade some even numbers
for an equal amount of odd numbers. Clearly, trading only one number can raise the total by at most 2011−2=2009. Hence we have to trade more than one number.
However, if we trade exactly two numbers, the total will increase by an even amount,
which is not what we want. Hence we must trade at least three numbers. If we trade 2,
4 and 6 for 2007, 2009 and 2011, the total will increase by 2007+2009+2011−2−4−6
=3×(2009−4)=6015 exactly. Hence the minimum number of the 1006 integers which
must be odd is 3.
ANS: 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลรวมของจำนวนเต็มบวก 1006 ที่แตกต่างกันเป็น 1,019,057 ถ้าไม่มีพวกเขาเป็น
มากกว่า 2012, สิ่งที่เป็นจำนวนขั้นต่ำของจำนวนเต็มเหล่านี้ซึ่งจะต้องเป็นเลขคี่
?
【】โซลูชั่น
สมมติว่าเราจะเป็นคนแรก 1006 แม้ตัวเลข แล้วผลรวมของพวกเขาคือ 1006 (2 2012)
2

× =
1013042 ตอนนี้ 1019057-1013042 = 6015 ดังนั้นเราจึงมีการค้าบางคนยังหมายเลข
สำหรับจำนวนเงินที่เท่ากันของเลขคี่ อย่างเห็นได้ชัดซื้อขายเพียงหนึ่งสามารถเพิ่มจำนวนทั้งหมดโดยที่มากที่สุด 2011-2 = 2,009 ด้วยเหตุนี้เรามีเพื่อการค้ามากกว่าหนึ่งจำนวน
แต่ถ้าเราค้าตรงสองตัวเลขทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเงินที่ได้
ซึ่งไม่ได้เป็นสิ่งที่เราต้องการ ด้วยเหตุนี้เราต้องค้าอย่างน้อยสามตัวเลข ถ้าเราค้า 2
4 และ 6 สำหรับปี 2007 ปี 2009 และ 2011, ทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นโดย 2007 2009 2011-2-4-6
= 3 × (2009-4) = 6015 ว่า ด้วยเหตุนี้จำนวนขั้นต่ำของจำนวนเต็ม 1006 ซึ่ง
ต้องแปลกคือ 3
ans: 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน 1006 1019057 ได้ ถ้าไม่มีพวกเขา
มากกว่าการ 2012 อะไรคือจำนวนเต็มเหล่านี้ซึ่งต้องน้อยที่สุด
คี่
【Solution】
สมมติว่าเราใช้ตัวเลขคู่แรก 1006 แล้วผลบวกของ 1006 (2 2012)
2
การ
=
1013042 ตอนนี้ 1019057 − 1013042 = 6015 ดังนั้นเราต้องค้าเลขคู่
สำหรับเป็นจำนวนเลขคี่เท่านั้น อย่างชัดเจน ขายเพียงหนึ่งหมายเลขสามารถยกยอดรวม โดย 2011−2 มากที่สุด = 2009 ดังนั้น เราต้องทำค้ามากกว่าหนึ่งหมายเลข
แต่ ถ้าเราค้าเลขสอง รวมจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนคู่,
ซึ่งจะไม่สิ่งที่เราต้องการ ดังนั้น เราต้องค้าเลขที่ 3 ถ้าเราทำค้า 2,
4 และ 6 สำหรับปี 2007, 2009 และ 2011 รวมจะเพิ่มขึ้น 2011−2−4−6 2007 2009
= 3 × (2009−4) = 6015 ตรง ดังนั้นจำนวนต่ำสุดของจำนวนเต็ม 1006 ซึ่ง
ต้องคี่คือ 3
ANS: 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนเงินของ 1006 integers ในเชิงบวกที่แตกต่างเป็น 1019057 หากไม่มีพวกเขาคือ
มากกว่าปี 2012 ที่มีจำนวนขั้นต่ำของ integers เหล่านี้ซึ่งต้อง
ประหลาด

【solution】 คิดว่าเราจะนำหมายเลข 1006 เป็นครั้งแรกแม้จะได้. จากนั้นจำนวนเงินของพวกเขาคือ 1006 ( 2 2012 )

2 ×
=
1013042 ในตอนนี้ 1019057 - 1013042 = 6015 ดังนั้นเราจึงมีการค้าแม้ตัวเลขบางอย่าง
สำหรับจำนวนเงินเท่ากันของหมายเลขคี่ ได้อย่างชัดเจนการซื้อขายเพียงหมายเลขเดียวสามารถยกระดับทั้งหมดโดยที่ส่วนใหญ่ 2011-2 = 2009 ดังนั้นเราต้องการค้ามากกว่าหนึ่งหมายเลข
อย่างไรก็ตามหากเราการค้ากับสองหมายเลขรวมจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเงินที่จะ
ซึ่งจะไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการ ดังนั้นเราจะต้องการค้าอย่างน้อยสามหมายเลข หากเราการค้า 2 ~ 4 และ 620072009 และ 2011 รวมจะเพิ่มขึ้นโดยปี 20072009 2011-2-4-6
= 3 x ( 2009-4 )= 6015 ได้อย่างแน่นอน ดังนั้นจำนวนขั้นต่ำของ 1006 integers ซึ่ง
ต้องแปลกคือ 3

ANS 3