The shape function of a free-fallin

The shape function of a free-falling laminar jet: Making use
of Bernoulli’s equation
Taha Massalhaa)
Academic Arab College for Education, Haifa 32000, Israel
Rafael M. Digilovb)
Department of Education in Technology & Science, Technion–Israel Institute of Technology, Haifa 32000,
Israel
(Received 9 November 2012; accepted 4 August 2013)
The shape function of a laminar liquid jet issuing from a circular orifice and falling vertically in air
under gravity is analyzed. The diameter of the jet is observed to decrease with the axial distance
from the nozzle. The governing equation for variation of the jet radius with the axial coordinate is
derived from a modified Bernoulli’s law, including the interfacial energy density and viscous
losses. The analytical solution found in terms of dimensionless group numbers agrees well with
experimental data. VC 2013 American Association of Physics Teachers.
[http://dx.doi.org/10.1119/1.4819196]
I. INTRODUCTION
When a fluid pours from an outlet into the air, it forms a
free-falling stable jet that accelerates, stretches, and narrows
under the influence of gravity.1 The jet flow behavior is of
considerable interest in fluid mechanics and engineering
practice and has found a wide variety of applications such as
the sol-gel process in the production of small fluid particles,
the spinning processes in fabrication of polymer fibers, and
biomedical devices. Recently, a liquid microjet has been produced2
that can be used in spacecraft propulsion, fuel injection,
mass spectroscopy, and ink-jet printing.
The key challenge when analyzing a jet flow is to find the
jet shape function (JSF);3–8 that is, the relationship between
the jet radius r and the axial distance z from the exit orifice.
For laminar flow of an isothermal liquid with a density q,
issuing from a circular orifice of radius R0 with exit velocity
t0 in a gravitational field g, dimensional analysis predicts the
following functional dependence for the JSF:
~z ¼ fðr~; Fr; We; ReÞ: (1)
Here, ~z ¼ z=R0 and r~ ¼ ~z=R0 are the reduced jet length and
jet radius, respectively, and the key dimensionless group parameters
in the problem are the Froude number ðFrÞ, the
Weber number ðWeÞ and the Reynolds number ðReÞ, given
by
Fr ¼ t2
0
2R0g
; We ¼ 2R0qt2
0
c ; Re ¼ 2R0qt0
g : (2)
These quantities represent, respectively, the relative effects
of gravity ðgÞ, surface tension ðcÞ, and viscosity ðgÞ in comparison
to inertia, with each defined to be large when inertial
effects are comparatively large.
Neglecting the surface tension effect, Clarke9 derived an
analytical JSF for viscous fluids in terms of the Airy function.
However, his JSF is valid only for high Re because at
low Re the effect of the surface tension becomes more significant
than the viscosity10 and cannot be ignored.11 Adachi12
analyzed the effects of the fluid viscosity and surface tension
in the asymptotic regions of high and low Reynolds number.
No analytical equation for the JSF over a wide range of all
three dimensionless group numbers is known. For inviscid
fluids (the limit of large Re but still laminar flow), an analytical
form of JSF proposed by many authors can be summarized
as13
~z ¼ Fr
1
r~4 m
n
Bo
1
r~ 1
; (3)
where the first term is due to gravity while the second is the
surface tension term due to the curvature of the liquid-air jet
surface. Here Bo ¼ We=Fr ¼ 4R2
0qg=c is the Bond number,
characterizing the relative effect of gravity with respect to
surface tension, while m and n are parameters of the model.
According to Kurabayashi,5 n ¼ 8, whereas the slenderness
approximation used by Anno6 yelds n ¼ 4. For n ¼ 0 and
large Bond numbers, Eq. (3) reduces to the well-known
Weisbach equation14
~z ¼ Fr
1
r~4 1
: (4)
The effects of surface tension and viscosity on the form of
the stationary jet are active research topics15–17 and not yet
fully understood. In this paper, we develop an analytical
approach based on energy considerations to derive the governing
differential equation for the jet radius as a function of
axial position. We formulate a modified Bernoulli equation18
for a free-falling jet that includes the jet interfacial energy
density and losses due to the fluid viscosity. An analytical
equation for the JSF derived in terms of the dimensionless
group numbers is compared with experimental observations,
and good agreement is obtained.
II. FORMULATION OF THE PROBLEM
Consider isothermal, laminar flow of an incompressible
Newtonian fluid with viscosity g, surface tension c, and density
q, issuing downward from a circular orifice of radius R0
into the air with initial velocity t0 and falling in a gravitational
field g^z (z being measured vertically downward) in the form
of an axisymmetric jet narrowing downward (see Fig. 1).
For this jet flow, a modifed Bernoulli-type equation18 along
the streamline, including energy losses due to fluid viscosity19
and free surface energy of the jet, can be written in the form
733 Am. J. Phys. 81 (10), October 2013 http:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันรูปร่างของเจ็ท laminar ฟรีตก: ใช้ทำของสมการของ BernoulliTaha Massalhaa)วิชาการอาหรับวิทยาลัยเพื่อการศึกษา ฟา 32000 อิสราเอลRafael ม. Digilovb)แผนกการศึกษาเทคโนโลยีและวิทยาศาสตร์ อิสราเอล-Technion สถาบันเทคโนโลยี ฟา 32000อิสราเอล(รับ 9 2555 พฤศจิกายน ยอมรับ 4 2013 สิงหาคม)การทำงานรูปร่างของไอพ่นของเหลว laminar ออกจาก orifice กลม และอยู่ในอากาศในแนวตั้งภายใต้แรงโน้มถ่วงเป็นวิเคราะห์ เส้นผ่าศูนย์กลางของเจ็ทจะสังเกตลดลงกับระยะทางตามแนวแกนจากหัวฉีด สมการควบคุมความผันแปรของรัศมีเจ็ทกับพิกัดตามแนวแกนคือมาของ Bernoulli ที่แก้ไขกฎหมาย รวม interfacial พลังงานความหนาแน่น และความหนืดขาดทุน การแก้ปัญหาวิเคราะห์พบตัวเลขกลุ่ม dimensionless ตกลงที่ดีข้อมูลทดลอง สมาคมอเมริกัน 2013 VC ของครูฟิสิกส์[ส่วน http://dx.doi.org/10.1119/1.4819196]I. บทนำเมื่อไหล pours จากเต้าเสียบไปในอากาศ แบบการฟรีตกเจ็ทมั่นคงที่เพิ่มความเร็ว ยืด และจำกัดภายใต้อิทธิพลของ gravity.1 เจ็ทกระแสพฤติกรรมเป็นสนใจจำนวนมากในกลศาสตร์ของไหลและวิศวกรรมฝึก และพบโปรแกรมประยุกต์ที่หลากหลายเช่นกระบวนการโซลเจลในการผลิตของอนุภาคของเหลวขนาดเล็กกระบวนการปั่นในการผลิตเส้นใยโพลิเมอร์ และอุปกรณ์ทางชีวการแพทย์ ล่าสุด microjet เหลวแล้ว produced2ที่สามารถใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศ การฉีดน้ำมันเชื้อเพลิงกขนาดใหญ่ และพิมพ์อิงค์เจ็ทความท้าทายเมื่อวิเคราะห์กระแส jet จะพบการฟังก์ชันรูปร่างเป็นเจ็ท (JSF) 3 – 8 คือ ความสัมพันธ์ระหว่างr รัศมีเจ็ทและระยะทางตามแนวแกน z จาก orifice ออกสำหรับกระแส laminar ของของเหลวการ isothermal กับ q มีความหนาแน่นออกจาก orifice วงกลมรัศมี R0 ด้วยความเร็วออกของทำนายวิเคราะห์มิติ t0 ใน g ฟิลด์ความโน้มถ่วง การการพึ่งพาทำงานต่อไปนี้สำหรับ JSF จะ:~ fðr z ¼ ~; Fr เรา ReÞ: (1ที่นี่, ~ z z ¼ = R0 และ r ~ ¼ ~ z = R0 มีเจ็ทลดความยาว และเจ็ทรัศมี ตามลำดับ และพารามิเตอร์คีย์กลุ่ม dimensionlessðFrÞ หมายเลข Froude มีปัญหาการเวเบอร์หมายเลข ðWeÞ และเรย์โนลด์สหมายเลข ðReÞ ได้รับโดยFr ¼ t202R0g; เรา¼ 2R0qt20c รี¼ 2R0qt0g: (2)ปริมาณเหล่านี้แสดงถึง ตามลำดับ ผลกระทบสัมพันธ์ðgÞ แรงโน้มถ่วง แรงตึงผิว ðcÞ และ ðgÞ ความหนืดในการเปรียบเทียบเพื่อความเฉื่อย ด้วยกำหนดให้มีขนาดใหญ่เมื่อ inertialผลมีขนาดใหญ่ดีอย่างหนึ่งผิวผล neglecting, Clarke9 ได้รับการJSF วิเคราะห์สำหรับของเหลวความหนืดในการทำงานโปร่งอย่างไรก็ตาม JSF ของเขาถูกต้องเฉพาะสำหรับ Re สูงเนื่องจากที่ต่ำอีกครั้งผลของแรงตึงผิวจะยิ่งกว่า viscosity10 สามารถ ignored.11 Adachi12วิเคราะห์ผลกระทบของของเหลวความหนืดและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic เลขเรย์โนลด์สสูง และต่ำไม่วิเคราะห์สมการ JSF ช่วงกว้างของทั้งหมดหมายเลขกลุ่มสาม dimensionless มีชื่อเสียง สำหรับ inviscidของเหลว (จำนวน Re ขนาดใหญ่แต่ยังคงไหล laminar) การวิเคราะห์ทางสามารถสรุปรูปแบบของ JSF ซึ่งเสนอ โดยผู้เขียนหลายas13~ z ¼ Fr1r ~ 4 เมตร nบ่อ1r ~ 1 ; (3)คำแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงขณะที่สองคำว่าแรงตึงผิวเนื่องจากขนาดของ jet อากาศเหลวพื้นผิว ที่นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R20qg = c คือ จำนวนพันธะกำหนดลักษณะของผลของแรงโน้มถ่วงกับ respect ให้ญาติแรงตึงผิว m และ n มี พารามิเตอร์ของแบบจำลองตาม Kurabayashi, 5 n ¼ 8 ขณะที่ slendernessประมาณที่ใช้ Anno6 yelds n ¼ 4 สำหรับ n ¼ 0 และตราสารหนี้แบบจำนวนมาก Eq. (3) ลดให้รู้จักWeisbach equation14~ z ¼ Fr1r ~ 4 1 : (4)ผลกระทบของความหนืดและแรงตึงผิวในรูปแบบของเจ็ทเครื่องเขียนเป็นงานวิจัย topics15 – 17 และยังไม่ได้อย่างเข้าใจ ในเอกสารนี้ เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีใช้พลังงานที่ควรได้รับการควบคุมสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับรัศมีเจ็ทเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli ปรับเปลี่ยนสำหรับ jet ล้มฟรีที่มีพลังงาน interfacial เจ็ทความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของเหลว การวิเคราะห์ทางสมการของ JSF ที่มาในการ dimensionlessกลุ่มตัวเลขเปรียบเทียบกับการสังเกตทดลองและได้ข้อตกลงที่ดีII. กำหนดปัญหาพิจารณากระแส isothermal, laminar ของการ incompressibleทฤษฎีของไหล มีความหนืด g, c แรงตึงผิว ความหนาแน่นq ออกลงจาก orifice กลมของรัศมี R0ไปในอากาศด้วยความเร็วเริ่มต้น t0 และล้มในที่ความโน้มถ่วงฟิลด์ g ^ z (z วัดลงในแนวตั้ง) ในแบบฟอร์มของเจ็ท axisymmetric ที่จำกัดให้แคบลงล่าง (ดู Fig. 1)สำหรับกระแสนี้ jet, equation18 modifed Bernoulli ชนิดตามการปรับปรุง รวมถึงการสูญเสียพลังงานเนื่องจากของเหลว viscosity19และฟรีพลังงานผิวของเจ็ท สามารถเขียนในแบบฟอร์ม733 น.เจนับ 81 (10), 2013 ตุลาคม http:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่นรูปทรงของตกฟรีเจ็ทราบเรียบงาน:
ใช้งานทำของสมการของBernoulli
ฮา Massalhaa)
นักวิชาการวิทยาลัยอาหรับเพื่อการศึกษา, Haifa 32000
อิสราเอลราฟาเอลเอ็มDigilovb)
กรมสามัญศึกษาในเทคโนโลยีและวิทยาศาสตร์ Technion อิสราเอลสถาบันเทคโนโลยีไฮฟา 32000,
อิสราเอล
(ได้รับ 9 พฤศจิกายน 2012; ได้รับการยอมรับ 4 สิงหาคม 2013) ฟังก์ชั่นรูปทรงของเจ็ทของเหลวราบเรียบออกจากปากกลมและลดลงในแนวตั้งในอากาศภายใต้แรงโน้มถ่วงมีการวิเคราะห์ เส้นผ่านศูนย์กลางของเจ็ทเป็นที่สังเกตจะลดลงตามระยะทางตามแนวแกนจากหัวฉีด สมการปกครองรูปแบบของรัศมีเจ็ทกับแกนพิกัดจะได้มาจากการแก้ไขกฎหมาย Bernoulli รวมทั้งความหนาแน่นของพลังงาน interfacial หนืดและการสูญเสีย วิธีการแก้ปัญหาการวิเคราะห์พบว่าในแง่ของตัวเลขกลุ่มขนาดตกลงกันได้ดีกับข้อมูลการทดลอง VC 2013 สมาคมอเมริกันของครูฟิสิกส์. [http://dx.doi.org/10.1119/1.4819196] ครั้งที่หนึ่ง บทนำเมื่อของเหลวเทจากเต้าเสียบไปในอากาศมันเป็นหนึ่งเจ็ทฟรีที่ลดลงมีเสถียรภาพที่ช่วยเร่งการเหยียดและแคบลงภายใต้อิทธิพลของgravity.1 พฤติกรรมการไหลของเจ็ทมีความสนใจเป็นอย่างมากในกลศาสตร์ของไหลและวิศวกรรมการปฏิบัติและมีพบความหลากหลายของการใช้งานเช่นกระบวนการโซลเจลในการผลิตของอนุภาคของเหลวขนาดเล็กกระบวนการปั่นในการผลิตเส้นใยพอลิเมอของและอุปกรณ์ชีวการแพทย์ เมื่อเร็ว ๆ นี้ microjet ของเหลวได้รับ produced2 ที่สามารถนำมาใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศ, การฉีดน้ำมันเชื้อเพลิง, สเปกโทรสโกมวลและการพิมพ์อิงค์เจ็ท. ความท้าทายที่สำคัญเมื่อวิเคราะห์การไหลของเจ็ทคือการหาฟังก์ชั่นรูปร่างเจ็ท (JSF) 3-8 ว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีเจ็ทอาร์และซีระยะทางตามแนวแกนจากปากทางออก. สำหรับการไหลของของเหลวที่อุณหภูมิคงที่มีความหนาแน่นคิวที่ออกจากปากกลม R0 รัศมีด้วยความเร็วออกจาก t0 ในกรัมสนามแรงโน้มถ่วง, การวิเคราะห์มิติคาดการณ์การพึ่งพาการทำงานต่อไปนี้สำหรับJSF: ~ Z ¼ FDR ~; Fr; เรา; Reth (1) นี่ ~ Z ¼ซี = R0 และอา ~ ¼ ~ Z = R0 มีความยาวเจ็ทลดลงและรัศมีเจ็ทตามลำดับและพารามิเตอร์กลุ่มมิติที่สำคัญในปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นจำนวนFroude ðFrÞที่จำนวนเวเบอร์ðWeÞและจำนวนðReÞนาดส์ได้รับจากพ่อ¼ t2 0 2R0g; เรา¼ 2R0qt2 0 ค; Re ¼ 2R0qt0 g: (2) ปริมาณเหล่านี้เป็นตัวแทนตามลำดับผลกระทบญาติของแรงโน้มถ่วงðgÞแรงตึงผิวðcÞและðgÞความหนืดในการเปรียบเทียบความเฉื่อยกับแต่ละที่กำหนดไว้จะมีขนาดใหญ่เมื่อเฉื่อยผลกระทบที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับ. ละเลยแรงตึงผิว ผล Clarke9 มาJSF วิเคราะห์ของเหลวหนืดในแง่ของฟังก์ชั่น Airy. แต่ JSF เขาจะใช้ได้เฉพาะสำหรับเรื่องที่สูงเนื่องจากต่ำRe ผลกระทบของแรงตึงผิวจะกลายเป็นความสำคัญมากขึ้นกว่าviscosity10 และไม่สามารถ ignored.11 Adachi12 การวิเคราะห์ผลกระทบของความหนืดของของเหลวและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic จำนวน Reynolds สูงและต่ำ. ไม่สมการวิเคราะห์สำหรับ JSF ในช่วงที่กว้างของทุกหมายเลขสามมิติกลุ่มเป็นที่รู้จักกัน สำหรับ inviscid ของเหลว (ขีด จำกัด ของเรื่องใหญ่ แต่ไหลยังคงเป็น) การวิเคราะห์รูปแบบของJSF เสนอโดยผู้เขียนหลายสามารถสรุปas13 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 มn บ่อ1 อา ~ 1; (3) ที่ระยะแรกคือเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในขณะที่สองเป็นระยะแรงตึงผิวอันเนื่องมาจากความโค้งของเจ็ทของเหลวอากาศพื้นผิว นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R2 0qg = c เป็นจำนวนบอนด์พัฒนาการผลกระทบความสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วงที่เกี่ยวกับพื้นผิวความตึงเครียดในขณะที่ม. และ n พารามิเตอร์ของรูปแบบ. ตาม Kurabayashi 5 n ¼ 8 ในขณะที่เรียวประมาณที่ใช้โดย Anno6 yelds n ¼ 4. สำหรับ n ¼ 0 และตัวเลขบอนด์ขนาดใหญ่สมการ (3) ลดที่รู้จักกันดีWeisbach equation14 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 1: (4) ผลกระทบของแรงตึงผิวและความหนืดในรูปแบบของเจ็ทนิ่ง topics15-17 มีการวิจัยที่ใช้งานและยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ ในบทความนี้เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีการขึ้นอยู่กับการพิจารณาของพลังงานที่ได้รับมาว่าสมการเชิงอนุพันธ์รัศมีเจ็ทเป็นหน้าที่ของตำแหน่งในแนวแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli การปรับเปลี่ยนสำหรับเจ็ทลดลงฟรีที่มีเจ็ทพลังงานเฟสความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของของเหลว วิเคราะห์สมการสำหรับ JSF มาในแง่ของมิติจำนวนกลุ่มเมื่อเทียบกับการสังเกตการทดลองและข้อตกลงที่ดีจะได้รับ. ครั้งที่สอง การพัฒนาสูตรปัญหาพิจารณา isothermal ไหลราบเรียบของอัดของเหลวนิวตันกับกรัมความหนืดแรงตึงผิวคและความหนาแน่นคิวออกลดลงจากปากกลมR0 รัศมีไปในอากาศด้วยt0 ความเร็วเริ่มต้นและลดลงในแรงโน้มถ่วงสนามกรัม ^ ซี (ซีถูกวัดในแนวตั้งลง) ในรูปแบบของการลดเจ็ทaxisymmetric ลง (ดูรูปที่ 1).. สำหรับการไหลของเจ็ทนี้ modifed equation18 Bernoulli ชนิดพร้อมปรับปรุงรวมทั้งการสูญเสียพลังงานเนื่องจากการviscosity19 ของเหลวและพลังงานพื้นผิวฟรีของเจ็ทที่สามารถเขียนในรูปแบบ733 Am เจสรวง 81 (10) ตุลาคม 2013 http: