Denote Aα,β(δ, γ) be the subclass o

Denote Aα,β(δ, γ) be the subclass of normalized analytic functions f
defined by f(z) = z +
∞
n=2 anzn that satisfied
Reeiδ{αf(z) + βzf(z)} > γ in the open unit disk D = z ∈ C : |z| < 1
for some α > 0, β ≥ 0 , γ ∈ R(0 ≤ γ < α) and α cos δ −γ > 0. In this
paper, we find sharp upper bound of functional for the second Hankel
determinant, |a2a4 − a23
| for this class of function.
Mathematics Subject Classification: Primary 30C45
Keywords: Convex function, Hankel Determinant, Starlike function
1 Introduction
Let S denote the class of normalized analytic function f of the form
f(z) = z +
∞
n=2
anzn (1)
where z ∈ D = {z : |z| < 1}. In 1976, Noonan and Thomas [3] defined the qth
Hankel determinant of f for q ≥ 1 by
Hq(n) =

an an+1 · · · an+q−1
an+1 an+2 · · · an+q
...
...
...
...
an+q−1 an+q · · · an+2q−2

.
808 N. Mohamed, D. Mohamad and Sh. Cik Soh
A classical theorem of Fekete and Szeg¨o [4] considered the Hankel
determinant of f ∈ S for H2(1) with well-known result for the estimation of
|a3 − μa22
| when a1 = 1 and μ is real.
Besides, [1] and [7] already considered second Hankel determinant where
q = 2 and n = 2
H2(2) =

a2 a3
a3 a4

in order to get sharp result for certain defined subclasses.
In this paper, we will make use this determinant in order to seek upper
bound for the functional |a2a4 − a23
| and follow the same procedure by them
for functions f belongs to the subclasses of S denoted by Aα,β(δ, γ) which
satisfied:
Re eiδ{αf(z) + βzf(z)} > γ, z ∈ D (2)
for some α > 0, β ≥ 0 and γ ∈ R(0 ≤ γ < α) and α cos δ −γ > 0.
We first state some premilinary lemmas required in our investigation.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แสดง Aα β (δ γ) เป็นระดับชั้นย่อยของฟังก์ชันวิเคราะห์มาตรฐาน fกำหนด โดย f(z) = z +∞n = anzn 2 ที่พอใจReeiδ {αf (z) + βzf (z) } > γในดิสก์เปิดหน่วย D = z ∈ C: | z | < 1สำหรับบางα > 0 β≥ 0 γ∈ R (0 ≤γ < α) และα cos −γδ > 0 ในการนี้กระดาษ เราหาคมบนผูกพันของงาน Hankel สองดีเทอร์มิแนนต์ กรุนด์ฟอส a2a4 − a23| สำหรับคลาสนี้ของฟังก์ชันคณิตศาสตร์เรื่องการจัดประเภท: หลัก 30C 45คำสำคัญ: ทำงานนูน Hankel ดีเทอร์มิแนนต์ ฟังก์ชัน Starlikeบทนำ 1ให้ S แทนชั้น f ฟังก์ชันวิเคราะห์มาตรฐานของแบบฟอร์มf(z) = z +∞n = 2anzn (1)ซึ่ง z ∈ D = { z: | z | < 1 } ในปี 1976 นูนันโทมัส [3] กำหนดและยัง qthHankel ดีเทอร์มิแนนต์ของ f สำหรับ q ≥ 1 โดยHq(n) =มีการ + 1 · การ + q−1การ + 1 เป็น + 2 · การ + q............การ + q−1 + q · การ + 2q−2.808 N. Mohamed, D. Mohamad และเล่าถึง Cik Sohทฤษฎีบทคลาสสิกของ Fekete และ Szeg¨o [4] ถือ Hankelดีเทอร์มิแนนต์ของ f ∈ S สำหรับ H2(1) มีผลรู้จักประมาณกรุนด์ฟอส a3 − μa22| เมื่อ a1 = 1 และμเป็นจริงนอกเหนือจาก, [1] และ [7] แล้วพิจารณาสอง Hankel ดีเทอร์มิแนนต์ที่q = 2 และ n = 2H2(2) =a2 a3a3 a4เพื่อที่ได้คมชัด ผลกำหนดชั้นบางในกระดาษนี้ เราจะได้ใช้ดีเทอร์มิแนนต์นี้เพื่อค้นหาด้านบนเพื่อการทำงาน | a2a4 − a23| ทำ ตามขั้นตอนเดียวกัน โดยพวกเขาสำหรับฟังก์ชัน f เป็นของระดับชั้นย่อยของ S เขียนแทน ด้วย Aα β (δ γ) ซึ่งความพึงพอใจ:Re eiδ {αf (z) + βzf (z) } > γ z ∈ D (2)บางα > 0 β≥ 0 และγ∈ R (0 ≤γ < α) และα cos −γδ > 0เราแรกรัฐบางคำนามภาษา premilinary ที่จำเป็นในการตรวจสอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แสดงว่าAα, β (δ, γ) เป็น subclass ของฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ปกติฉ
กำหนดโดย f (z) = Z +
? ∞
n = 2 anzn ที่ความพึงพอใจ
Reeiδ {αf (z) + βzf ?? (Z)}> γในการเปิดหน่วยดิสก์ D = Z ∈ C: | Z | <1
สำหรับบางα> 0 β≥ 0, γ∈ R (0 ≤γ <α) และ cos αδ-γ> 0 ในการนี้
กระดาษที่เราพบที่คมชัดบนปกของการทำงานสำหรับสอง Hankel
ปัจจัย, | a2a4 - A23
| สำหรับการเรียนของฟังก์ชั่นนี้.
คณิตศาสตร์เรื่องการจัดประเภท: ประถม 30C45
คำสำคัญ: ฟังก์ชั่นนูน, Hankel ปัจจัยกำหนดการ, เป็นแสงดาวฟังก์ชั่น
1 บทนำ
Let S หมายถึงระดับของฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ปกติฉของรูปแบบ
f (z) = Z +
∞?
n = 2
anzn (1)
ที่ Z ∈ D = {Z: | Z | <1} ในปี 1976 นันและโทมัส [3] กำหนด qth
ปัจจัย Hankel ของ F สำหรับ q ≥ 1 โดย
Hq (n) =
?????????
เป็นนัก + 1 ···คำ + Q-1
+ 1 + 2 ···คำ + Q
...
...
...
...
+ Q-1 + Q ··· + 2Q-2
?????????
.
808 N. โมฮาเหม็, D. Mohamad และ Sh CIK Soh
ทฤษฎีบทคลาสสิกของสีดำและ Szego [4] ถือว่า Hankel
ปัจจัยของ F ∈ S สำหรับ H2 (1) กับผลที่รู้จักกันดีสำหรับการประมาณค่าของ
| A3 - μa22
| เมื่อ a1 = 1 และμเป็นจริง.
นอกจากนี้ [1] และ [7] พิจารณาแล้วสองปัจจัยที่ Hankel
q = 2 n = 2
H2 (2) =
????
A2 A3
A3 A4
????
ในการสั่งซื้อ . เพื่อให้ได้ผลที่คมชัดสำหรับ subclasses ที่กำหนดไว้บางอย่าง
ในบทความนี้เราจะทำให้การใช้ปัจจัยนี้เพื่อที่จะแสวงหาบน
ที่ถูกผูกไว้สำหรับการทำงาน | a2a4 - A23
| และทำตามขั้นตอนเดียวกันโดยพวกเขา
สำหรับการทำงาน F เป็นคลาสย่อยของ S เขียนแทนโดยAα, β (δ, γ) ซึ่ง
ความพึงพอใจ:
{? αf (z) + βzf ?? (Z)} Re eiδ> γ, Z ∈ D (2)
สำหรับบางα> 0 β≥ 0 และγ∈ R (0 ≤γ <α) และ cos αδ-γ> 0
ก่อนอื่นเราระบุ lemmas premilinary บางอย่างที่จำเป็นในการตรวจสอบของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แสดงαบีตา ( δγ , , ) เป็น subclass ของมาตรฐานการวิเคราะห์ฟังก์ชัน fกำหนด f ( z ) = Z +∞n = 2 anzn ที่พอใจreei δ { α F ( Z ) + ZF บีตา ( Z ) } > γในเปิดหน่วยดิสก์ D = Z ∈ C : | Z | < 1บางα > 0 , บีตา≥ 0 γ∈ R ( 0 ≤γ < α ) และαเพราะδ−γ > 0 ในนี้กระดาษที่เราหาคมบนผูกพันของการทำงานสำหรับการแปล 2| a2a4 − a23 ตัวกำหนด| สำหรับชั้นเรียนของฟังก์ชันนี้คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 30c45 ปฐมภูมิคำสำคัญ : ฟังก์ชันการแปล starlike ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์ นูน1 แนะนำให้แสดงถึงชั้นของรูป f ฟังก์ชันวิเคราะห์ของแบบฟอร์ม= Z + F ( Z )∞n = 2anzn ( 1 )ที่ Z ∈ D = { Z : | Z | < 1 } ในปี 1976 , นู๋แนนและโทมัส [ 3 ] กำหนดเล่นการแปลกำหนด F สำหรับ Q ≥ 1สำนักงานใหญ่ ( n ) =มี + 1 · · ·และ + Q − 1ที่เป็น + 1 + 2 · · ·และ + คิว. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .การ + Q + Q เป็น− 1 · · ·และ + 2 − 2.808 . Mohamed , D . Mohamad และเจ๊ะซอ .ทฤษฎีบทคลาสสิกและตั้ง fekete szeg o [ 4 ] ถือว่าการแปลกำหนด f ∈สำหรับ H2 ( 1 ) กับผลที่รู้จักกันดีสำหรับการประมาณค่า| A3 −μ a22| เมื่อ A1 = 1 และμเป็นเรื่องจริงนอกจากนี้ , [ 1 ] และ [ 7 ] พิจารณาแล้วต่อที่ 2 การแปลQ = 2 และ n = 2ราคา ( 2 ) = .A2 A3A3 A4เพื่อที่จะได้รับผลที่คมชัดเพื่อกำหนดบางคลาส .ในกระดาษนี้เราจะใช้ปัจจัยนี้เพื่อค้นหาด้านบนจำกัดสำหรับการทำงาน | a2a4 − a23| และปฏิบัติตามขั้นตอนเดียวกัน โดยพวกเขาสำหรับฟังก์ชัน f เป็นของคลาส S แทน โดยαบีตา ( δγ , , ) ซึ่งพอใจ :อีกไม่δ { α F ( Z ) + ZF บีตา ( Z ) } > γ , Z ∈ D ( 2 )บางα > 0 , บีตา≥ 0 และγ∈ R ( 0 ≤γ < α ) และαเพราะδ−γ > 0เรารัฐบาง premilinary lemmas ที่จําเป็นในการสอบสวนของเรา