6.6 The focus-Directrix PropertyAlt

6.6 The focus-Directrix Property
Although the Greeks defined the conic sections as sections of cones, it is customary, in collage courses in analytic geometry, to define them by the focus-directrix property. Establish the following lemma (a) and then complete the simple proof in (b) that any section of a right circular cone possesses the focus-directrix property.
(a) The lengths of any two line segments from a point to a plane are inversely proportional to the sines of the angles which the ling segments make with the plane.
(b) Denote the plane of the section of the right circular cone by p. Let a sphere touch the cone along a circle whose plane we shall call q and also touch plane p at point F (see Figure 42). Let planes p and q intersect in line d. From P, any point on the conic section, drop a perpendicular PR on line d. Let the element of the cone through P cut plane q in point E. Finally, let a be the angle between planes p and q and b the angle and element of the cone makes with plane q. Show that PF/PR=PE/PR=(sin a)/(sin B)=e, and constant, Thus F is a focus, d the corresponding directrix, and e the eccentricity of the conic section. (This simple and elegant approach was discovered around the first quarter-mark of the nineteenth century by the two Belaian mathematicians Adolphe Quetelet (1797-1874) and Gerninal Dandelin (1794-1847)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

6.6 การโฟกัสไดเรกตริกซ์คุณสมบัติแม้ว่ากรีกกำหนดกรวยที่เป็นส่วนของกรวย มันเป็นขนบธรรมเนียม ในหลักสูตรภาพตัดปะในเรขาคณิตวิเคราะห์ การกำหนดตามคุณสมบัติโฟกัสไดเรกตริกซ์ สร้างจับมือต่อไปนี้ (ก) และทำกันง่าย ๆ ใน (b) ที่ส่วนใด ๆ ของกรวยกลมมีคุณสมบัติโฟกัสไดเรกตริกซ์แล้ว(ก) ความยาวใด ๆ สองส่วนของเส้นตรงจากจุดกับเครื่องบิน inversely กับไซน์ของมุมที่เซ็กเมนต์ที่ลิงทำเครื่องบินได้(ข) แสดงระนาบที่ส่วนของกรวยกลม โดย p ให้ทรงกลมสัมผัสกรวยตามวงกลมที่มีเครื่องบินที่เราจะโทรถาม และยัง สัมผัสเครื่องบิน p ที่จุด F (ดูรูปที่ 42) ให้เครื่องบิน p และ q ที่อินในบรรทัด จาก P จุดใด ๆ บนกรวย ฝาก PR ตั้งฉากบนเส้น d ให้องค์ประกอบของกรวยผ่านตัดคิวบินในจุด E. P สุดท้าย ให้ความเป็นมุมระหว่างเครื่องบิน p และ q b มุม และองค์ประกอบของกรวยทำ ด้วยเครื่องบินคำถามดูว่าที่ PF PR = =(sin a) PE/PR / (บาป B) =อี และค่าคง ดังนั้น F เป็นโฟกัส d ไดเรกตริกซ์เกี่ยวข้อง และอีความเยื้องศูนย์กลางของกรวย (วิธีนี้ง่าย และฉลาดค้นพบรอบไตรมาสแรกหมายของศตวรรษ โดย mathematicians Belaian สอง Adolphe Quetelet (ค.ศ. 1797-1874) และ Gerninal Dandelin (1794-1847)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

6.6 โฟกัสไดเรกตริกซ์ทรัพย์สิน
แม้ว่าชาวกรีกกำหนดภาคตัดกรวยเป็นในส่วนของกรวยมันเป็นธรรมเนียมในหลักสูตรการจับแพะชนแกะในเรขาคณิตวิเคราะห์เพื่อกำหนดสถานที่ให้บริการพวกเขาโดยการโฟกัสไดเรกตริกซ์ สร้างแทรกดังต่อไปนี้ (ก) และแล้วเสร็จหลักฐานที่เรียบง่ายใน (ข) ที่ส่วนของกรวยกลมขวาใดครอบครองทรัพย์สินโฟกัสไดเรกตริกซ์.
(ก) ความยาวของสองส่วนของเส้นจากจุดที่เครื่องบินจะผกผัน สัดส่วนกับไซน์ของมุมที่กลุ่มลิงให้กับเครื่องบิน.
(ข) แสดงว่าเครื่องบินในส่วนของกรวยกลมขวาโดย P ให้สัมผัสทรงกลมกรวยพร้อมวงกลมที่มีเครื่องบินที่เราจะเรียกคิวและสัมผัสเครื่องบิน F p ที่จุด (ดูรูปที่ 42) ให้เครื่องบิน p และ q ตัดกันงสาย จาก P, จุดบนภาคตัดกรวยใด ๆ ลดลง PR ตั้งฉากในบรรทัดง ให้องค์ประกอบของรูปกรวยผ่านเครื่องบินตัด P Q ในจุด E. สุดท้ายให้เป็นมุมระหว่างระนาบ P และ Q และขมุมและองค์ประกอบของรูปกรวยทำให้กับเครื่องบินคิว แสดงให้เห็นว่า PF / ประชาสัมพันธ์ = PE / ประชาสัมพันธ์ = (บาป) / (บาป B) = อีและคงที่ดังนั้น F เป็นจุด A, D ไดเรกตริกซ์ที่สอดคล้องและ e เล็ก ๆ น้อย ๆ ของส่วนที่มีรูปกรวย (วิธีนี้ง่ายและสง่างามที่ถูกค้นพบรอบแรกไตรมาสเครื่องหมายของศตวรรษที่สิบเก้าโดยทั้งสองนักคณิตศาสตร์ Belaian Adolphe Quetelet (1797-1874) และ Gerninal Dandelin (1794-1847)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

6.6 เน้นเส้นบังคับคุณสมบัติ
แม้ว่ากรีกกำหนดภาคตัดกรวยเป็นส่วนของกรวย เป็นจารีตประเพณีในวิทยาลัยหลักสูตรในเรขาคณิตวิเคราะห์ กําหนด โดยเน้นเส้นบังคับคุณสมบัติ สร้างรูปแบบต่อไปนี้ ( ก ) แล้ว ให้พิสูจน์ง่าย ๆใน ( B ) ที่ส่วนใด ๆของสิทธิกลมโคนครบถ้วนเน้นเส้นบังคับ
คุณสมบัติ( 2 ) ความยาวของใด ๆ ส่วนสายจากจุดที่เครื่องบินจะเป็นสัดส่วนผกผันกับไซนส์ของมุมที่หลิงส่วนให้กับเครื่องบิน .
( b ) แสดงเครื่องบินของส่วนของกรวยกลมตรงหน้าให้แตะกรวยทรงกลมตามวงกลมที่มีเครื่องบินเราจะ โทรถาม และยังสัมผัสเครื่องบิน P ที่จุด F ( รูปที่ 42 ) ปล่อยเครื่องบิน P และ Q ตัดกันในบรรทัด .จากจุดใด ๆจุดในส่วนรูปกรวย , วางตั้งฉากกับเส้น D PR ให้องค์ประกอบของกรวยตัดเครื่องบินผ่าน P Q ในจุด E แล้วปล่อยให้เป็นมุมระหว่างระนาบ P และ Q และ B มุมและองค์ประกอบของกรวยให้กับเครื่องบินคิวแสดงให้เห็นว่า PF = PE / / ประชาสัมพันธ์ PR = ( บาป ) / ( บาป B ) = E และ F คงที่ จึงเป็นจุดสนใจ และเดไซล์ที่สอดคล้องกันและ E ความผิดปกติของส่วนที่เป็นรูปทรงกรวย .( วิธีนี้ง่ายและสง่างามนี้ถูกค้นพบรอบไตรมาสแรกเป็นเครื่องหมายของศตวรรษที่ ๑๙ โดยทั้งสอง belaian นักคณิตศาสตร์ดลฟี เควทีเล็ท ( 1797-1874 ) และ gerninal dandelin ( 1794-1847 )