- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
MULTIPLICATION AND DIVISIONMultipli
MULTIPLICATION AND DIVISION
Multiplication as Repeated Addition
We think of a multiplication statement like “2 × 3” as meaning “Add two threes together”, or
3 + 3
and “4 × 9” as “add 4 nines together”, or
9 + 9 + 9 + 9.
In general, a × b means to add b’s together such that the number of b’s is equal to a:
a × b = b + b + b + . . . + b (a times)
Multiplication with Signed Numbers
We can apply this same rule to make sense out of what we mean by a positive number times a negative number. For example,
3 × (–4)
just means to take 3 of the number “negative four” and add them together:
3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
Unfortunately, this scheme breaks down when we try to multiply a negative number times a number. It doesn’t make sense to try to write down a number a negative number of times. There are two ways to look at this problem.
One way is to use the fact that multiplication obeys the commutative law, which means that the order of multiplication does not matter:
a × b = b × a.
This lets us write a negative times a positive as a positive times a negative and proceed as before:
(–3) × 4 = 4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12
However, we are still in trouble when it comes to multiplying a negative times a negative. A better way to look at this problem is to demand that multiplication obey a consistent pattern. If we look at a multiplication table for positive numbers and then extend it to include negative numbers, the results in the table should continue to change in the same pattern.
For example, consider the following multiplication table:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
The numbers in the last column are decreasing by 2 each time, so if we let the values for a continue into the negative numbers we should keep decreasing the product by 2:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
–1 2 –2
–2 2 –4
–3 2 –6
We can make a bigger multiplication table that shows many different possibilities. By keeping the step sizes the same in each row and column, even as we extend into the negative numbers, we see that the following sign rules hold for multiplication:
Sign Rules for Multiplication
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
Multiplication Table
Notice how the step size in each row or column remains consistent, regardless of whether we are multiplying positive or negative numbers.
For math purists, here’s the real reason:
The Real Reason
It should be obvious that the presentation of the rules of arithmetic given here is just a collection of motivational arguments, not a formal development. The formal development of the real number system starts with the field axioms. The field axioms are postulated, and then all the other properties follow from them. The field axioms are
1. The associative and commutative laws for addition and multiplication
2. The existence of the additive and multiplicative identities (0 and 1)
3. The existence of the additive inverse (opposites, or negatives) and the multiplicative inverse (the reciprocal)
4. The distributive law
All of these are essential, but the distributive law is particularly important because it is what distinguishes the behavior of multiplication from addition. Namely, multiplication distributes over addition but not vice-versa.
The rules of arithmetic like “a negative times a negative gives a positive” are what they are because that is the only way the field axioms would still hold. For example, the distributive law requires that
–2(3 – 2) = (–2)(3) + (–2)(–2)
We can evaluate the left side of this equation by following the order of operations, which says to do what is in parentheses first, so
–2(3 – 2) = –2(1) = –2.
Now for the distributive law to be true, the right side must also be equal to2, so
(–2)(3) + (–2)(–2) = –2
If we use our sign rules for multiplication then it works out the way it should:
(–2)(3) + (–2)(–2) = –6 + 4 = –2
Notation for Multiplication
We are used to using the symbol “×” to represent multiplication in arithmetic, but in algebra we prefer to avoid that symbol because we like to use the letter “x” to represent a variable, and the two symbols can be easily confused. So instead, we adopt the following notation for multiplication:
1. Multiplication is implied if two quantities are written side-by-side with no other symbol between them.
Example: ab means a × b.
2. If a symbol is needed to prevent confusion, we use a dot.
Example: If we need to show 3 times 5, we cannot just write them next to each other or it would look like the number thirty-five, so we write 3 • 5.
• We can also use parentheses to separate factors. 3 times 5 could be written as 3(5) or (3)5 or (3)(5).
Division
There are two ways to think of division: as implying a related multiplication, or as multiplying by the reciprocal.
Division as Related Multiplication
The statement “12 ÷ 3 = 4” is true only because 3 × 4 = 12. A division problem is really asking the question “What number can I multiply the divisor by to get the dividend?”; and so every division equation implies an equivalent multiplication equation. In general:
a ÷ b = c if and only if a = b × c
This also shows why you cannot divide by zero. If we asked “What is six divided by zero?” we would mean “What number times zero is equal to six?”, but any number times zero gives zero, so there is no answer to this question.
Multiplicative Inverse (The Reciprocal)
For every real number a (except zero) there exists a real number denoted by 1/a such that
a(1/a) = 1
• The number 1/a is called the reciprocal or multiplicative inverse of a.
• Note that the reciprocal of 1/a is a. The reciprocal of the reciprocal gives you back what you started with.
This allows us to define division as multiplication by the reciprocal:
a ÷ b = a × (1/b)
This is usually the most convenient way to think of division when you are doing algebra.
Notation for Division
Instead of using the symbol “ ” to represent division, we prefer to write it using the fraction notation:
Sign Rules for Division
Because division can always be written as a multiplication by the reciprocal, it obeys the same sign rules as multiplication.
If a positive is divided by a negative, or a negative divided by a positive, the result is negative:
but if both numbers are the same sign, the result is positive:
Multiplication as Repeated Addition
We think of a multiplication statement like “2 × 3” as meaning “Add two threes together”, or
3 + 3
and “4 × 9” as “add 4 nines together”, or
9 + 9 + 9 + 9.
In general, a × b means to add b’s together such that the number of b’s is equal to a:
a × b = b + b + b + . . . + b (a times)
Multiplication with Signed Numbers
We can apply this same rule to make sense out of what we mean by a positive number times a negative number. For example,
3 × (–4)
just means to take 3 of the number “negative four” and add them together:
3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
Unfortunately, this scheme breaks down when we try to multiply a negative number times a number. It doesn’t make sense to try to write down a number a negative number of times. There are two ways to look at this problem.
One way is to use the fact that multiplication obeys the commutative law, which means that the order of multiplication does not matter:
a × b = b × a.
This lets us write a negative times a positive as a positive times a negative and proceed as before:
(–3) × 4 = 4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12
However, we are still in trouble when it comes to multiplying a negative times a negative. A better way to look at this problem is to demand that multiplication obey a consistent pattern. If we look at a multiplication table for positive numbers and then extend it to include negative numbers, the results in the table should continue to change in the same pattern.
For example, consider the following multiplication table:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
The numbers in the last column are decreasing by 2 each time, so if we let the values for a continue into the negative numbers we should keep decreasing the product by 2:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
–1 2 –2
–2 2 –4
–3 2 –6
We can make a bigger multiplication table that shows many different possibilities. By keeping the step sizes the same in each row and column, even as we extend into the negative numbers, we see that the following sign rules hold for multiplication:
Sign Rules for Multiplication
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
Multiplication Table
Notice how the step size in each row or column remains consistent, regardless of whether we are multiplying positive or negative numbers.
For math purists, here’s the real reason:
The Real Reason
It should be obvious that the presentation of the rules of arithmetic given here is just a collection of motivational arguments, not a formal development. The formal development of the real number system starts with the field axioms. The field axioms are postulated, and then all the other properties follow from them. The field axioms are
1. The associative and commutative laws for addition and multiplication
2. The existence of the additive and multiplicative identities (0 and 1)
3. The existence of the additive inverse (opposites, or negatives) and the multiplicative inverse (the reciprocal)
4. The distributive law
All of these are essential, but the distributive law is particularly important because it is what distinguishes the behavior of multiplication from addition. Namely, multiplication distributes over addition but not vice-versa.
The rules of arithmetic like “a negative times a negative gives a positive” are what they are because that is the only way the field axioms would still hold. For example, the distributive law requires that
–2(3 – 2) = (–2)(3) + (–2)(–2)
We can evaluate the left side of this equation by following the order of operations, which says to do what is in parentheses first, so
–2(3 – 2) = –2(1) = –2.
Now for the distributive law to be true, the right side must also be equal to2, so
(–2)(3) + (–2)(–2) = –2
If we use our sign rules for multiplication then it works out the way it should:
(–2)(3) + (–2)(–2) = –6 + 4 = –2
Notation for Multiplication
We are used to using the symbol “×” to represent multiplication in arithmetic, but in algebra we prefer to avoid that symbol because we like to use the letter “x” to represent a variable, and the two symbols can be easily confused. So instead, we adopt the following notation for multiplication:
1. Multiplication is implied if two quantities are written side-by-side with no other symbol between them.
Example: ab means a × b.
2. If a symbol is needed to prevent confusion, we use a dot.
Example: If we need to show 3 times 5, we cannot just write them next to each other or it would look like the number thirty-five, so we write 3 • 5.
• We can also use parentheses to separate factors. 3 times 5 could be written as 3(5) or (3)5 or (3)(5).
Division
There are two ways to think of division: as implying a related multiplication, or as multiplying by the reciprocal.
Division as Related Multiplication
The statement “12 ÷ 3 = 4” is true only because 3 × 4 = 12. A division problem is really asking the question “What number can I multiply the divisor by to get the dividend?”; and so every division equation implies an equivalent multiplication equation. In general:
a ÷ b = c if and only if a = b × c
This also shows why you cannot divide by zero. If we asked “What is six divided by zero?” we would mean “What number times zero is equal to six?”, but any number times zero gives zero, so there is no answer to this question.
Multiplicative Inverse (The Reciprocal)
For every real number a (except zero) there exists a real number denoted by 1/a such that
a(1/a) = 1
• The number 1/a is called the reciprocal or multiplicative inverse of a.
• Note that the reciprocal of 1/a is a. The reciprocal of the reciprocal gives you back what you started with.
This allows us to define division as multiplication by the reciprocal:
a ÷ b = a × (1/b)
This is usually the most convenient way to think of division when you are doing algebra.
Notation for Division
Instead of using the symbol “ ” to represent division, we prefer to write it using the fraction notation:
Sign Rules for Division
Because division can always be written as a multiplication by the reciprocal, it obeys the same sign rules as multiplication.
If a positive is divided by a negative, or a negative divided by a positive, the result is negative:
but if both numbers are the same sign, the result is positive:
0/5000
MULTIPLICATION AND DIVISIONMultiplication as Repeated AdditionWe think of a multiplication statement like “2 × 3” as meaning “Add two threes together”, or 3 + 3 and “4 × 9” as “add 4 nines together”, or 9 + 9 + 9 + 9. In general, a × b means to add b’s together such that the number of b’s is equal to a: a × b = b + b + b + . . . + b (a times)Multiplication with Signed NumbersWe can apply this same rule to make sense out of what we mean by a positive number times a negative number. For example,3 × (–4)just means to take 3 of the number “negative four” and add them together:3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12Unfortunately, this scheme breaks down when we try to multiply a negative number times a number. It doesn’t make sense to try to write down a number a negative number of times. There are two ways to look at this problem.One way is to use the fact that multiplication obeys the commutative law, which means that the order of multiplication does not matter:a × b = b × a.This lets us write a negative times a positive as a positive times a negative and proceed as before:(–3) × 4 = 4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12However, we are still in trouble when it comes to multiplying a negative times a negative. A better way to look at this problem is to demand that multiplication obey a consistent pattern. If we look at a multiplication table for positive numbers and then extend it to include negative numbers, the results in the table should continue to change in the same pattern.For example, consider the following multiplication table:a b a × b3 2 62 2 41 2 20 2 0The numbers in the last column are decreasing by 2 each time, so if we let the values for a continue into the negative numbers we should keep decreasing the product by 2:a b a × b3 2 62 2 41 2 20 2 0–1 2 –2–2 2 –4–3 2 –6We can make a bigger multiplication table that shows many different possibilities. By keeping the step sizes the same in each row and column, even as we extend into the negative numbers, we see that the following sign rules hold for multiplication:Sign Rules for Multiplication(+)(+) = (+)(–)(–) = (+)(–)(+) = (–)(+)(–) = (–)Multiplication TableNotice how the step size in each row or column remains consistent, regardless of whether we are multiplying positive or negative numbers. For math purists, here’s the real reason:The Real ReasonIt should be obvious that the presentation of the rules of arithmetic given here is just a collection of motivational arguments, not a formal development. The formal development of the real number system starts with the field axioms. The field axioms are postulated, and then all the other properties follow from them. The field axioms are1. The associative and commutative laws for addition and multiplication2. The existence of the additive and multiplicative identities (0 and 1)3. The existence of the additive inverse (opposites, or negatives) and the multiplicative inverse (the reciprocal)4. The distributive lawAll of these are essential, but the distributive law is particularly important because it is what distinguishes the behavior of multiplication from addition. Namely, multiplication distributes over addition but not vice-versa.The rules of arithmetic like “a negative times a negative gives a positive” are what they are because that is the only way the field axioms would still hold. For example, the distributive law requires that–2(3 – 2) = (–2)(3) + (–2)(–2)We can evaluate the left side of this equation by following the order of operations, which says to do what is in parentheses first, so–2(3 – 2) = –2(1) = –2.Now for the distributive law to be true, the right side must also be equal to2, so(–2)(3) + (–2)(–2) = –2If we use our sign rules for multiplication then it works out the way it should:(–2)(3) + (–2)(–2) = –6 + 4 = –2 Notation for MultiplicationWe are used to using the symbol “×” to represent multiplication in arithmetic, but in algebra we prefer to avoid that symbol because we like to use the letter “x” to represent a variable, and the two symbols can be easily confused. So instead, we adopt the following notation for multiplication:1. Multiplication is implied if two quantities are written side-by-side with no other symbol between them.Example: ab means a × b.2. If a symbol is needed to prevent confusion, we use a dot. Example: If we need to show 3 times 5, we cannot just write them next to each other or it would look like the number thirty-five, so we write 3 • 5.• We can also use parentheses to separate factors. 3 times 5 could be written as 3(5) or (3)5 or (3)(5).DivisionThere are two ways to think of division: as implying a related multiplication, or as multiplying by the reciprocal.Division as Related MultiplicationThe statement “12 ÷ 3 = 4” is true only because 3 × 4 = 12. A division problem is really asking the question “What number can I multiply the divisor by to get the dividend?”; and so every division equation implies an equivalent multiplication equation. In general:a ÷ b = c if and only if a = b × cThis also shows why you cannot divide by zero. If we asked “What is six divided by zero?” we would mean “What number times zero is equal to six?”, but any number times zero gives zero, so there is no answer to this question.Multiplicative Inverse (The Reciprocal)For every real number a (except zero) there exists a real number denoted by 1/a such thata(1/a) = 1• The number 1/a is called the reciprocal or multiplicative inverse of a.• Note that the reciprocal of 1/a is a. The reciprocal of the reciprocal gives you back what you started with.This allows us to define division as multiplication by the reciprocal:a ÷ b = a × (1/b)This is usually the most convenient way to think of division when you are doing algebra.Notation for DivisionInstead of using the symbol “ ” to represent division, we prefer to write it using the fraction notation: Sign Rules for DivisionBecause division can always be written as a multiplication by the reciprocal, it obeys the same sign rules as multiplication.If a positive is divided by a negative, or a negative divided by a positive, the result is negative:
but if both numbers are the same sign, the result is positive:
but if both numbers are the same sign, the result is positive:
การแปล กรุณารอสักครู่..
คูณและหาร
คูณเป็นบวกซ้ำ ๆ
เราคิดว่าของคำสั่งการคูณเช่น "2 × 3" ความหมาย "เพิ่มสองสามเข้าด้วยกัน" หรือ3 + 3 และ "4 × 9" ขณะที่ "เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน" หรือ9 + 9 + 9 + 9 โดยทั่วไป×ขหมายถึงการเพิ่มขร่วมกันดังกล่าวว่าจำนวนของขเท่ากับการ: ข× b = b + b + + . . + B (ครั้ง) คูณกับตัวเลขลงนามเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้เพื่อให้ความรู้สึกที่ออกมาจากสิ่งที่เราหมายถึงโดยครั้งจำนวนบวกจำนวนลบ ยกตัวอย่างเช่น3 × (-4) ก็หมายความว่าจะใช้เวลา 3 ของจำนวน "เชิงลบสี่" และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน: 3 × (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 แต่น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราพยายามที่จะเพิ่มจำนวนครั้งจำนวนลบจำนวน มันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงตัวเลขจำนวนลบครั้ง . มีสองวิธีที่จะมองไปที่ปัญหานี้เป็นวิธีหนึ่งคือการใช้ความจริงที่ว่าคูณเชื่อฟังกฎหมายสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าคำสั่งของคูณไม่สำคัญ: . × = ขข× นี้จะช่วยให้เราเขียนครั้งในเชิงลบ บวกเป็นครั้งบวกลบและดำเนินการก่อน(-3) × 4 × 4 = (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 อย่างไรก็ตาม เรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงการคูณครั้งลบเชิงลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือการเรียกร้องให้คูณปฏิบัติตามรูปแบบที่สอดคล้อง ถ้าเราดูที่ตารางสูตรคูณสำหรับตัวเลขในเชิงบวกและจากนั้นขยายไปยังรวมถึงตัวเลขติดลบผลในตารางควรจะยังคงมีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบเดียวกัน. ตัวอย่างเช่นพิจารณาตารางสูตรคูณต่อไปนี้: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 0 0 2 ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายจะลดลง 2 ในแต่ละครั้งดังนั้นหากเราปล่อยให้ค่าสำหรับดำเนินการต่อไปตัวเลขติดลบที่เราควรจะให้ลดลงผลิตภัณฑ์โดย 2: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 2 0 0 2 -1 -2 -2 2 -4 -3 2 -6 เราสามารถทำให้ตารางสูตรคูณที่ใหญ่กว่าที่แสดงให้เห็นความเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน โดยทำให้ขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละแถวและคอลัมน์แม้ในขณะที่เราขยายเป็นตัวเลขเชิงลบเราจะเห็นว่ากฎสัญญาณต่อไปนี้ถือคูณ: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับการคูณ(+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (+) (-) = (-) ตารางการคูณแจ้งให้ทราบว่าขนาดขั้นตอนในแต่ละแถวหรือคอลัมน์ยังคงสอดคล้องโดยไม่คำนึงถึงว่าเราจะบวกหรือคูณ จำนวนลบ. สำหรับครูสอนคณิตศาสตร์ นี่คือเหตุผลที่แท้จริง: เหตุผลที่แท้จริงก็ควรที่จะเห็นได้ชัดว่าการนำเสนอของกฎของเลขคณิตให้ที่นี่เป็นเพียงคอลเลกชันของการขัดแย้งสร้างแรงบันดาลใจไม่ได้พัฒนาอย่างเป็นทางการ การพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบจำนวนจริงเริ่มต้นด้วยหลักการสนาม สัจพจน์สนามจะตั้งสมมติฐานและจากนั้นทุกคุณสมบัติอื่น ๆ ตามมาจากพวกเขา สัจพจน์สนามเป็น1 กฎหมายเชื่อมโยงและการเปลี่ยนแปลงสำหรับการเพิ่มและการคูณ2 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งและเอกลักษณ์การคูณ (0 และ 1) 3 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งผกผัน (ตรงข้ามหรือเชิงลบ) และผกผัน (ซึ่งกันและกัน) 4 กฎหมายการจำหน่ายทั้งหมดเหล่านี้มีความจำเป็น แต่กฎหมายการจำหน่ายที่มีความสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นสิ่งที่แตกต่างของพฤติกรรมการคูณจากการเพิ่ม คือคูณจัดจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ แต่ไม่ในทางกลับกัน. กฎของเลขคณิตเช่น "ครั้งลบเชิงลบให้เป็นบวก" เป็นสิ่งที่พวกเขาเพราะเห็นว่าเป็นวิธีเดียวที่สัจพจน์สนามจะยังคงถือ ยกตัวอย่างเช่นกฎหมายกำหนดว่าการจำหน่าย-2 (3-2) = (-2) (3) + (-2) (- 2) เราสามารถประเมินด้านซ้ายของสมการนี้โดยทำตามคำสั่งของการดำเนินงานที่กล่าวว่า ที่จะทำสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรกดังนั้น-2 (3-2). = -2 (1) = -2 ตอนนี้สำหรับกฎหมายการจำหน่ายที่จะเป็นจริงทางด้านขวายังต้องto2เท่ากันดังนั้น(-2 ) (3) + (-2) (- 2) = -2 ถ้าเราใช้กฎการเข้าสู่ระบบของเราสำหรับการคูณแล้วก็ทำงานออกวิธีที่มันควรจะ: (-2) (3) + (-2) (- 2) = -6 + 4 = -2 โน้ตสำหรับคูณเราจะใช้ในการใช้สัญลักษณ์ "×" เพื่อเป็นตัวแทนในการคำนวณการคูณ แต่ในพีชคณิตเราชอบที่จะหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ว่าเป็นเพราะเราชอบที่จะใช้ตัวอักษร "x" เพื่อเป็นตัวแทนของตัวแปร และทั้งสองสัญลักษณ์จะสับสนได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นแทนที่จะเรานำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับการคูณ: 1 คูณเป็นนัยถ้าสองปริมาณที่ถูกเขียนด้านโดยด้านที่ไม่มีสัญลักษณ์อื่น ๆ ระหว่างพวกเขา. ตัวอย่าง: AB หมายความ×ข. 2 ถ้าสัญลักษณ์เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันความสับสนเราจะใช้จุด. ตัวอย่าง: ถ้าเราต้องการที่จะแสดง 3 ครั้งที่ 5 เราสามารถไม่เพียง แต่พวกเขาเขียนติดกันหรือมันจะมีลักษณะจำนวนสามสิบห้าดังนั้นเราเขียน 3 • 5. •นอกจากนี้เรายังสามารถใช้วงเล็บปัจจัยแยก 3 ครั้งที่ 5 อาจจะเขียนเป็น 3 (5) หรือ (3) 5 หรือ (3) (5). ส่วนที่มีสองวิธีที่จะคิดว่าส่วนคือ. เป็นนัยว่าคูณที่เกี่ยวข้องหรือเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันเป็นฝ่ายที่เกี่ยวข้อง คูณคำสั่ง "12 ÷ 3 = 4" เป็นความจริงเพียงเพราะ 3 × 4 = 12 ส่วนปัญหาที่เป็นจริงถามคำถาม "สิ่งที่ฉันสามารถจำนวนคูณหารโดยที่จะได้รับเงินปันผล"; และเพื่อให้สมการทุกส่วนหมายถึงสมการคูณเทียบเท่า โดยทั่วไป: ข÷ = c ถ้าหาก b = ×คนี้ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ ถ้าเราถามว่า "อะไรคือสิ่งที่หกหารด้วยศูนย์" เราจะหมายถึง "สิ่งที่ครั้งจำนวนศูนย์เท่ากับหก?" แต่จำนวนครั้งใด ๆ ที่จะช่วยให้ศูนย์ศูนย์จึงมีคำตอบสำหรับคำถามนี้. คูณผกผัน (ซึ่งกันและกัน) สำหรับทุกจำนวนจริง (ยกเว้นศูนย์) มีอยู่เป็นจำนวนจริงแสดงโดย 1 / ดังกล่าวว่า(1 /) = 1 •จำนวน 1 / เรียกว่าผกผันซึ่งกันและกันหรือคูณของ. •โปรดทราบว่าซึ่งกันและกัน 1 / เป็น ซึ่งกันและกันของซึ่งกันและกันจะช่วยให้คุณกลับสิ่งที่คุณเริ่มต้นด้วย. นี้ช่วยให้เราที่จะกำหนดเป็นส่วนคูณด้วยซึ่งกันและกัน: ข÷× = (1 / ข) ซึ่งมักจะเป็นวิธีที่สะดวกที่สุดที่จะคิดว่าส่วนเมื่อคุณอยู่ . ทำพีชคณิตสัญลักษณ์สำหรับกองแทนการใช้สัญลักษณ์ "" เพื่อเป็นตัวแทนของส่วนเราชอบที่จะเขียนโดยใช้สัญกรณ์ส่วน: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับกองเพราะส่วนจะสามารถเขียนเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันก็เชื่อฟังเครื่องหมายเดียวกัน กฎระเบียบที่เป็นคูณ. ถ้าบวกโดยแบ่งเป็นเชิงลบหรือเชิงลบโดยแบ่งออกเป็นบวกผลที่ได้คือลบ: แต่ถ้าทั้งสองตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันผลที่เป็นบวก:
คูณเป็นบวกซ้ำ ๆ
เราคิดว่าของคำสั่งการคูณเช่น "2 × 3" ความหมาย "เพิ่มสองสามเข้าด้วยกัน" หรือ3 + 3 และ "4 × 9" ขณะที่ "เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน" หรือ9 + 9 + 9 + 9 โดยทั่วไป×ขหมายถึงการเพิ่มขร่วมกันดังกล่าวว่าจำนวนของขเท่ากับการ: ข× b = b + b + + . . + B (ครั้ง) คูณกับตัวเลขลงนามเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้เพื่อให้ความรู้สึกที่ออกมาจากสิ่งที่เราหมายถึงโดยครั้งจำนวนบวกจำนวนลบ ยกตัวอย่างเช่น3 × (-4) ก็หมายความว่าจะใช้เวลา 3 ของจำนวน "เชิงลบสี่" และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน: 3 × (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 แต่น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราพยายามที่จะเพิ่มจำนวนครั้งจำนวนลบจำนวน มันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงตัวเลขจำนวนลบครั้ง . มีสองวิธีที่จะมองไปที่ปัญหานี้เป็นวิธีหนึ่งคือการใช้ความจริงที่ว่าคูณเชื่อฟังกฎหมายสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าคำสั่งของคูณไม่สำคัญ: . × = ขข× นี้จะช่วยให้เราเขียนครั้งในเชิงลบ บวกเป็นครั้งบวกลบและดำเนินการก่อน(-3) × 4 × 4 = (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 อย่างไรก็ตาม เรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงการคูณครั้งลบเชิงลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือการเรียกร้องให้คูณปฏิบัติตามรูปแบบที่สอดคล้อง ถ้าเราดูที่ตารางสูตรคูณสำหรับตัวเลขในเชิงบวกและจากนั้นขยายไปยังรวมถึงตัวเลขติดลบผลในตารางควรจะยังคงมีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบเดียวกัน. ตัวอย่างเช่นพิจารณาตารางสูตรคูณต่อไปนี้: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 0 0 2 ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายจะลดลง 2 ในแต่ละครั้งดังนั้นหากเราปล่อยให้ค่าสำหรับดำเนินการต่อไปตัวเลขติดลบที่เราควรจะให้ลดลงผลิตภัณฑ์โดย 2: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 2 0 0 2 -1 -2 -2 2 -4 -3 2 -6 เราสามารถทำให้ตารางสูตรคูณที่ใหญ่กว่าที่แสดงให้เห็นความเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน โดยทำให้ขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละแถวและคอลัมน์แม้ในขณะที่เราขยายเป็นตัวเลขเชิงลบเราจะเห็นว่ากฎสัญญาณต่อไปนี้ถือคูณ: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับการคูณ(+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (+) (-) = (-) ตารางการคูณแจ้งให้ทราบว่าขนาดขั้นตอนในแต่ละแถวหรือคอลัมน์ยังคงสอดคล้องโดยไม่คำนึงถึงว่าเราจะบวกหรือคูณ จำนวนลบ. สำหรับครูสอนคณิตศาสตร์ นี่คือเหตุผลที่แท้จริง: เหตุผลที่แท้จริงก็ควรที่จะเห็นได้ชัดว่าการนำเสนอของกฎของเลขคณิตให้ที่นี่เป็นเพียงคอลเลกชันของการขัดแย้งสร้างแรงบันดาลใจไม่ได้พัฒนาอย่างเป็นทางการ การพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบจำนวนจริงเริ่มต้นด้วยหลักการสนาม สัจพจน์สนามจะตั้งสมมติฐานและจากนั้นทุกคุณสมบัติอื่น ๆ ตามมาจากพวกเขา สัจพจน์สนามเป็น1 กฎหมายเชื่อมโยงและการเปลี่ยนแปลงสำหรับการเพิ่มและการคูณ2 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งและเอกลักษณ์การคูณ (0 และ 1) 3 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งผกผัน (ตรงข้ามหรือเชิงลบ) และผกผัน (ซึ่งกันและกัน) 4 กฎหมายการจำหน่ายทั้งหมดเหล่านี้มีความจำเป็น แต่กฎหมายการจำหน่ายที่มีความสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นสิ่งที่แตกต่างของพฤติกรรมการคูณจากการเพิ่ม คือคูณจัดจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ แต่ไม่ในทางกลับกัน. กฎของเลขคณิตเช่น "ครั้งลบเชิงลบให้เป็นบวก" เป็นสิ่งที่พวกเขาเพราะเห็นว่าเป็นวิธีเดียวที่สัจพจน์สนามจะยังคงถือ ยกตัวอย่างเช่นกฎหมายกำหนดว่าการจำหน่าย-2 (3-2) = (-2) (3) + (-2) (- 2) เราสามารถประเมินด้านซ้ายของสมการนี้โดยทำตามคำสั่งของการดำเนินงานที่กล่าวว่า ที่จะทำสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรกดังนั้น-2 (3-2). = -2 (1) = -2 ตอนนี้สำหรับกฎหมายการจำหน่ายที่จะเป็นจริงทางด้านขวายังต้องto2เท่ากันดังนั้น(-2 ) (3) + (-2) (- 2) = -2 ถ้าเราใช้กฎการเข้าสู่ระบบของเราสำหรับการคูณแล้วก็ทำงานออกวิธีที่มันควรจะ: (-2) (3) + (-2) (- 2) = -6 + 4 = -2 โน้ตสำหรับคูณเราจะใช้ในการใช้สัญลักษณ์ "×" เพื่อเป็นตัวแทนในการคำนวณการคูณ แต่ในพีชคณิตเราชอบที่จะหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ว่าเป็นเพราะเราชอบที่จะใช้ตัวอักษร "x" เพื่อเป็นตัวแทนของตัวแปร และทั้งสองสัญลักษณ์จะสับสนได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นแทนที่จะเรานำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับการคูณ: 1 คูณเป็นนัยถ้าสองปริมาณที่ถูกเขียนด้านโดยด้านที่ไม่มีสัญลักษณ์อื่น ๆ ระหว่างพวกเขา. ตัวอย่าง: AB หมายความ×ข. 2 ถ้าสัญลักษณ์เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันความสับสนเราจะใช้จุด. ตัวอย่าง: ถ้าเราต้องการที่จะแสดง 3 ครั้งที่ 5 เราสามารถไม่เพียง แต่พวกเขาเขียนติดกันหรือมันจะมีลักษณะจำนวนสามสิบห้าดังนั้นเราเขียน 3 • 5. •นอกจากนี้เรายังสามารถใช้วงเล็บปัจจัยแยก 3 ครั้งที่ 5 อาจจะเขียนเป็น 3 (5) หรือ (3) 5 หรือ (3) (5). ส่วนที่มีสองวิธีที่จะคิดว่าส่วนคือ. เป็นนัยว่าคูณที่เกี่ยวข้องหรือเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันเป็นฝ่ายที่เกี่ยวข้อง คูณคำสั่ง "12 ÷ 3 = 4" เป็นความจริงเพียงเพราะ 3 × 4 = 12 ส่วนปัญหาที่เป็นจริงถามคำถาม "สิ่งที่ฉันสามารถจำนวนคูณหารโดยที่จะได้รับเงินปันผล"; และเพื่อให้สมการทุกส่วนหมายถึงสมการคูณเทียบเท่า โดยทั่วไป: ข÷ = c ถ้าหาก b = ×คนี้ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ ถ้าเราถามว่า "อะไรคือสิ่งที่หกหารด้วยศูนย์" เราจะหมายถึง "สิ่งที่ครั้งจำนวนศูนย์เท่ากับหก?" แต่จำนวนครั้งใด ๆ ที่จะช่วยให้ศูนย์ศูนย์จึงมีคำตอบสำหรับคำถามนี้. คูณผกผัน (ซึ่งกันและกัน) สำหรับทุกจำนวนจริง (ยกเว้นศูนย์) มีอยู่เป็นจำนวนจริงแสดงโดย 1 / ดังกล่าวว่า(1 /) = 1 •จำนวน 1 / เรียกว่าผกผันซึ่งกันและกันหรือคูณของ. •โปรดทราบว่าซึ่งกันและกัน 1 / เป็น ซึ่งกันและกันของซึ่งกันและกันจะช่วยให้คุณกลับสิ่งที่คุณเริ่มต้นด้วย. นี้ช่วยให้เราที่จะกำหนดเป็นส่วนคูณด้วยซึ่งกันและกัน: ข÷× = (1 / ข) ซึ่งมักจะเป็นวิธีที่สะดวกที่สุดที่จะคิดว่าส่วนเมื่อคุณอยู่ . ทำพีชคณิตสัญลักษณ์สำหรับกองแทนการใช้สัญลักษณ์ "" เพื่อเป็นตัวแทนของส่วนเราชอบที่จะเขียนโดยใช้สัญกรณ์ส่วน: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับกองเพราะส่วนจะสามารถเขียนเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันก็เชื่อฟังเครื่องหมายเดียวกัน กฎระเบียบที่เป็นคูณ. ถ้าบวกโดยแบ่งเป็นเชิงลบหรือเชิงลบโดยแบ่งออกเป็นบวกผลที่ได้คือลบ: แต่ถ้าทั้งสองตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันผลที่เป็นบวก:
การแปล กรุณารอสักครู่..
การคูณและการหารการคูณและการบวกซ้ำ
เราคิดว่าคูณงบเช่น " 2 × 3 " ความหมาย " เพิ่มสองสามครั้งด้วยกัน " หรือ
3
" 4 × 9 " เป็น " เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน " หรือ
9 9 9 9 .
ในทั่วไป a × b หมายถึงเพิ่ม B ด้วยกันเช่นหมายเลขของ B เท่ากับ A :
a × b = b b b . . . . . . . . B ( ครั้ง )
การคูณด้วยตัวเลข
เซ็นเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้ที่จะทำให้ความรู้สึกของสิ่งที่เราหมายถึงจำนวนครั้ง บวกลบเลข ตัวอย่างเช่น
3 × ( - 4 )
หมายความว่าเอาไป 3 จํานวนลบ " สี่ " และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน :
3 × ( - 4 ) = ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( - 4 ) = – 12
น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราลองคูณจำนวนครั้งที่ลบตัวเลขมันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงหมายเลขเลขลบครั้ง มีสองวิธีที่จะมองปัญหานี้ .
วิธีหนึ่งคือการใช้ข้อเท็จจริงการคูณเชื่อฟังกฎหมายที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าลำดับของการคูณไม่สำคัญ :
a × b = b × A .
นี้ช่วยให้เราเขียนลบคูณบวกเป็นบวกเป็นลบ และดำเนินการก่อนที่ครั้ง :
( - 3 ) × 4 = 4 × ( - 3 ) = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = - 12
อย่างไรก็ตามเรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงคูณลบครัลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือความต้องการที่คูณเชื่อฟังรูปแบบที่สอดคล้องกัน ถ้าเราดูสูตรคูณสำหรับบวกเลขแล้วขยายเพื่อรวมเลขลบผลลัพธ์ในโต๊ะควรเปลี่ยนไปในรูปแบบเดียวกัน
ตัวอย่างเช่นพิจารณาสูตรคูณต่อไปนี้ :
B a × b
3
2 6 2 2 4 1 2
2
0 2 0
ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายลดลง 2 ครั้ง ดังนั้น หากเราปล่อยให้ ค่าสำหรับต่อเข้าเบอร์ลบเราต้องลดสินค้า :
2 B a × b
3
6
2 2 2 4 1 2 2 2 0
0 – 1 – 2 – 2
4
2 – 22 – 3 – 6
เราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นสูตรคูณที่แสดงความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันมาก โดยการรักษาขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละคอลัมน์แถวและแม้ในขณะที่เราขยายเป็นจำนวนลบ เราเห็นว่า ตามป้ายกฎถือการคูณ :
กฎเครื่องหมายคูณ
( ) ( ) = ( )
( - ) ( - ) ( ) ( ) (
) ) = ( ( ) ( ) (
- ) = ( - )
สูตรคูณ
เราคิดว่าคูณงบเช่น " 2 × 3 " ความหมาย " เพิ่มสองสามครั้งด้วยกัน " หรือ
3
" 4 × 9 " เป็น " เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน " หรือ
9 9 9 9 .
ในทั่วไป a × b หมายถึงเพิ่ม B ด้วยกันเช่นหมายเลขของ B เท่ากับ A :
a × b = b b b . . . . . . . . B ( ครั้ง )
การคูณด้วยตัวเลข
เซ็นเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้ที่จะทำให้ความรู้สึกของสิ่งที่เราหมายถึงจำนวนครั้ง บวกลบเลข ตัวอย่างเช่น
3 × ( - 4 )
หมายความว่าเอาไป 3 จํานวนลบ " สี่ " และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน :
3 × ( - 4 ) = ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( - 4 ) = – 12
น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราลองคูณจำนวนครั้งที่ลบตัวเลขมันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงหมายเลขเลขลบครั้ง มีสองวิธีที่จะมองปัญหานี้ .
วิธีหนึ่งคือการใช้ข้อเท็จจริงการคูณเชื่อฟังกฎหมายที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าลำดับของการคูณไม่สำคัญ :
a × b = b × A .
นี้ช่วยให้เราเขียนลบคูณบวกเป็นบวกเป็นลบ และดำเนินการก่อนที่ครั้ง :
( - 3 ) × 4 = 4 × ( - 3 ) = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = - 12
อย่างไรก็ตามเรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงคูณลบครัลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือความต้องการที่คูณเชื่อฟังรูปแบบที่สอดคล้องกัน ถ้าเราดูสูตรคูณสำหรับบวกเลขแล้วขยายเพื่อรวมเลขลบผลลัพธ์ในโต๊ะควรเปลี่ยนไปในรูปแบบเดียวกัน
ตัวอย่างเช่นพิจารณาสูตรคูณต่อไปนี้ :
B a × b
3
2 6 2 2 4 1 2
2
0 2 0
ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายลดลง 2 ครั้ง ดังนั้น หากเราปล่อยให้ ค่าสำหรับต่อเข้าเบอร์ลบเราต้องลดสินค้า :
2 B a × b
3
6
2 2 2 4 1 2 2 2 0
0 – 1 – 2 – 2
4
2 – 22 – 3 – 6
เราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นสูตรคูณที่แสดงความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันมาก โดยการรักษาขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละคอลัมน์แถวและแม้ในขณะที่เราขยายเป็นจำนวนลบ เราเห็นว่า ตามป้ายกฎถือการคูณ :
กฎเครื่องหมายคูณ
( ) ( ) = ( )
( - ) ( - ) ( ) ( ) (
) ) = ( ( ) ( ) (
- ) = ( - )
สูตรคูณ
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- ตอนนี้ฉันต้องทำงานคืนนี้จะมาคุยกันเรื่อง
- ชลบุรีทะเลงาม ข้าวหลามอร่อย อ้อยหวานจักส
- Teach me know the word love
- Thailand is not good people of the synta
- HOW TO BE HEALTHY • Above all, don't smo
- อย่างหนัก
- Only price.
- เจ้าหน้าที่การตลาด
- good hygiene
- Also signifies the natural world (water
- I hope you understand
- Disability's sale
- Unemployment was associated with a highe
- ชลบุรีทะเลงาม ข้าวหลามอร่อย อ้อยหวานจักส
- Ask your father you get well soon. Don't
- ชลบุรีทะเลงาม ข้าวหลามอร่อย อ้อยหวานจักส
- การแต่งกายของชาวมาเลเซีย
- มันคืองานที่ต้องทำก่อนจะเรียนจบ
- Julia and Brian have been married for th
- (ii) eRa226 derived from measurements of
- cook
- มีความพากเพียร
- puppy
- ร้านเปิด10โมง
