In a given circle, find an isoscele

In a given circle, find an isosceles triangle whose legs pass through two given points inside the circle. This can be restated as: from two points in the plane of a circle, draw lines meeting at the point of the circumference and making equal angles with the normal vector at that point.

The problem is called the billiard problem because it corresponds to finding the point on the edge of a circular "billiard" table at which a cue ball at a given point must be aimed in order to carom once off the edge of the table and strike another ball at a second given point.

The problem is equivalent to the determination of the point on a spherical mirror where a ray of light will reflect in order to pass from a given source to an observer. It is also equivalent to the problem of finding, given two points and a circle such that the points are both inside or outside the circle, the ellipse whose foci are the two points and which is tangent to the given circle.

The problem was first formulated by Ptolemy in 150 AD, and was named after the Arab scholar Alhazen, who discussed it in his work on optics. The problem is insoluble using a compass and ruler construction because the solution requires extraction of a cube root (Elkin 1965, Reide 1989, Neumann 1998). This is the same reason that the cube duplication problem is insoluble.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวงกลมกำหนด หน้าจั่วสามเหลี่ยมขาผ่านจุดสองจุดที่กำหนดภายในวงได้ นี้สามารถปรับเป็น: จากสองจุดในระนาบของวงกลม วาดเส้นประชุมจุดที่เส้นรอบวง และทำมุมเท่ากับเวกเตอร์ปกติซึ่งในจุดนี้ปัญหาเรียกว่าบิลเลียดปัญหาเนื่องจากตรงกับการหาจุดบนขอบโต๊ะกลม "บิลเลียด" ซึ่ง ลูกคิวที่จุดที่กำหนดต้องถูกมุ่งหเมื่อปิดขอบของตาราง และตีบอลอีกลูกที่สองได้รับจุดนี้ปัญหาคือเทียบเท่ากับการกำหนดจุดบนกระจกทรงกลมที่ลำแสงจะสะท้อนจากแหล่งที่กำหนดผ่านการสังเกตการณ์ ก็เท่ากับปัญหาการค้นหา กำหนดจุดสองจุดและวงกลมที่จุดได้ทั้งภายใน หรือภาย นอกวง กลม วงรี foci มีสองจุด และซึ่งเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่กำหนดปัญหาแรกครีม โดยทอเลมีในโฆษณา 150 และเป็นชื่อหลังจากนักวิชาการอาหรับ Alhazen ที่กล่าวถึงในงานของเขาในเลนส์ ปัญหาคือไม่ละลายน้ำโดยใช้การสร้างเข็มทิศและไม้บรรทัดเนื่องจากการแก้ไขปัญหาต้องสกัดรากที่สาม (Elkin 1965, Reide 1989, Neumann 1998) นี่คือเหตุผลเดียวที่ไม่ละลายน้ำปัญหาซ้ำลูกบาศก์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในวงกลมให้หารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขาสองผ่านจุดที่กำหนดภายในวงกลม นี้สามารถปรับเปลี่ยนดัง: จากสองจุดในระนาบของวงกลมวาดเส้นประชุมที่จุดของเส้นรอบวงและการทำมุมเท่ากันกับเวกเตอร์ปกติที่จุดนั้น. ปัญหาที่เรียกว่าปัญหาบิลเลียดเพราะมันสอดคล้องกับการหา จุดบนขอบของวงกลม "บิลเลียด" ตารางที่ใช้ลูกที่จุดที่กำหนดให้ต้องมีจุดมุ่งหมายเพื่อที่จะสิ้นฤทธิ์ครั้งเดียวปิดขอบของตารางและตีลูกอีกจุดที่กำหนดวินาที. ปัญหาคือเทียบเท่ากับ กำหนดจุดบนกระจกทรงกลมที่รังสีของแสงจะสะท้อนให้เห็นเพื่อที่จะผ่านจากแหล่งที่มอบให้กับผู้สังเกตการณ์ นอกจากนี้ยังเป็นเทียบเท่ากับปัญหาการหาที่ได้รับสองจุดและวงกลมดังกล่าวว่าจุดที่มีทั้งภายในหรือภายนอกวงกลมวงรีที่มีจุดโฟกัสเป็นสองจุดซึ่งเป็นสัมผัสกันในวงกลมที่กำหนดก. แต่ปัญหาก็คือสูตรแรก ปโตเลมีใน 150 AD และได้รับการตั้งชื่อตามนักวิชาการอาหรับ Alhazen ที่กล่าวถึงในการทำงานของเขาในเลนส์ ปัญหาคือไม่ละลายน้ำใช้เข็มทิศและผู้ปกครองก่อสร้างเพราะการแก้ปัญหาต้องใช้การสกัดรากก้อน (กิ้นส์ 1965 Reide 1989 Neumann 1998) นี่คือเหตุผลเดียวกันว่าปัญหาความซ้ำซ้อนก้อนเป็นที่ไม่ละลายน้ำ