We call the derivation αp(a) = a −

We call the derivation αp(a) = a − p of Example 3.5 as simple multiplier.
Proposition 3.22. For every p ∈ X, the simple multiplier αp is an endomorphism of X.
Proof. Let a, b ∈ X. Using (P12), we have
αp(a − b) = (a − b) − p = (a − p) − (b − p) = αp(a) − αp(b).
Hence αp is an endomorphism of X..
Proposition 3.23. The simple multiplier α0 is an identity function of X.
Proof. For every a ∈ X, α0(a) = a − 0 = a. This completes the proof.
Proposition 3.24. Let X be a subtraction algebra. Then, for each p ∈ X, we have αp(x ∧
p) = 0.
Proof. For each p ∈ X, we have
αp(x ∧ p) = αp((x − (x − p)) = (x − (x − p)) − p
= (x − p) − (x − p) = 0.
This completes the proof.
Denote by M(X) by the set of all multipliers of X. That is,
M(X) = {f | f is a multiplier on X}.
Define a binary operation “◦” and a map 1 on M(X) as follows:
(α ◦ β)(x) = α(x)β(x) and 1(x) = 1
for all α, β ∈M(X) and x ∈ X.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราเรียก αp(a) มา = p −ของตัวอย่างที่ 3.5 เป็นตัวคูณอย่างนี้ข้อเสนอที่ 3.22 ∈ทุก p X, αp ตัวคูณอย่างง่ายเป็นการ endomorphism Xหลักฐานการ ให้เรามี∈ a, b ไฟร์ใช้ (P12),Αp (a − b) =− p (− b) = (− p) − (b − p) = αp(a) − αp(b)ดังนั้น αp จะเป็น endomorphism X ...ข้อเสนอที่ 3.23 Α0 เรื่องตัวคูณจะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ของ Xหลักฐานการ สำหรับทุก∈ X, α0(a) =− 0 =การ เสร็จสิ้นการพิสูจน์ข้อเสนอที่ 3.24 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ แล้ว ∈แต่ละ p X เรามี αp(x ∧p) = 0หลักฐานการ ∈แต่ละ p X เรามีΑp (x ∧ p) = αp ((x − (x − p)) = p − (− x (x − p))= (p x −) − (x − p) = 0เสร็จสิ้นการพิสูจน์แสดง โดย M(X) โดยชุดของ multipliers ทั้งหมดของ X นั่นก็คือM(X) = { f | f เป็นตัวคูณบน X }กำหนดการดำเนินการทวิภาค "◦" และแผนที่ 1 ใน M(X) ดังนี้:(Β◦ด้วยกองทัพ) (x) = α(x)β(x) และ 1(x) = 1สำหรับทั้งหมดด้วยกองทัพ β ∈M(X) และ x ∈ X

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราเรียกαpมา (ก) = a p - 3.5 ของตัวอย่างง่ายๆเป็นตัวคูณ. We call the derivation αp(a) = a − p of Example 3.5 as simple multiplier.
โจทย์ 3.22 สำหรับพี∈ X ทุกαpคูณง่ายเป็นตัวของ endomorphism Proposition 3.22. For every p ∈ X, the simple multiplier αp is an endomorphism of X.
เอ็กซ์หลักฐาน ให้มี b ∈เอ็กซ์ใช้ (P12) Proof. Let a, b ∈ X. Using (P12), we have
เรามีαp (a - b) = (a - b) - p = (ก - พี) - (ข - P) = αp (ก) - αp (ข) . αp(a − b) = (a − b) − p = (a − p) − (b − p) = αp(a) − αp(b).
ดังนั้นαpเป็น endomorphism ของ X .. Hence αp is an endomorphism of X..
โจทย์ 3.23 α0คูณง่ายๆคือฟังก์ชั่นตัวตนของเอ็กซ์หลักฐาน Proposition 3.23. The simple multiplier α0 is an identity function of X.
สำหรับทุก∈ X, α0 (ก) = a - 0 = a เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน. Proof. For every a ∈ X, α0(a) = a − 0 = a. This completes the proof.
โจทย์ 3.24 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ จากนั้นแต่ละพี∈ X เรามีαp (x ∧ Proposition 3.24. Let X be a subtraction algebra. Then, for each p ∈ X, we have αp(x ∧
P) = 0 p) = 0.
หลักฐาน Proof. For each p ∈ X, we have
αp(x ∧ p) = αp((x − (x − p)) = (x − (x − p)) − p
= (x − p) − (x − p) = 0.
This completes the proof.
Denote by M(X) by the set of all multipliers of X. That is,
M(X) = {f | f is a multiplier on X}.
Define a binary operation “◦” and a map 1 on M(X) as follows:
(α ◦ β)(x) = α(x)β(x) and 1(x) = 1
for all α, β ∈M(X) and x ∈ X.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราเรียกมาα P ( A ) = − P เช่น 3.5 เป็นคูณง่ายๆ
ข้อเสนอ 3.22 . สำหรับทุกจุด∈ X ตัวคูณที่ง่ายα p เป็นนตรสัณฐานของ x
พิสูจน์ ให้ a , b ∈ X ใช้ ( p12 ) เราได้
α P ( − B ) = ( −− B ) P = ( −− ( − P P ) B ) = P ( A ) α−α P ( B )
ดังนั้นα p เป็นนตรสัณฐานของ X . .
ข้อเสนอ 3.23 . ง่ายคูณα 0 เป็นฟังก์ชันของ x
ตัวตนพิสูจน์สำหรับทุก∈ X , α 0 ( ) = − 0 = a การพิสูจน์เสร็จสิ้น .
) 3.24 . ให้ x เป็นลบพีชคณิต แล้ว สำหรับแต่ละจุด∈ x เราได้α P ( x ∧
p ) = 0 .
พิสูจน์ สำหรับแต่ละจุด∈ x เราได้
α P ( x ∧ p ) = P ( X ( α− ( − p ( x ) = x − ( −− X p ) p ( x
= −− ( − p p ) x ) = 0 .

นี้ซึ่งต้องพิสูจน์ครับ แสดงโดย m ( X ) โดยชุดของทั้งหมดคูณ X
นั่นก็คือM ( X ) = { F | F ตัวคูณใน X } .
กำหนดการดำเนินการทวิภาค " ◦ " และแผนที่ 1 m ( X ) ดังนี้ :
( α◦บีตา ) ( x ) = α ( x ) บีตา ( X ) และ ( X ) = 1
ทั้งหมด αบีตา∈ , M ( X ) X ∈ X