Invariant 1. Let (G, F , U, R) be

Invariant 1. Let (G
, F , U, R) be an instance. For any S-cycle C in G − U that contains a vertex of R, there is an S-cycle C in G such
that V (C
) = V (C) R.
Invariant 1 is clearly true when R is empty. Whenever we hide a vertex v, we will argue that the invariant is still true
after v is hidden. The next lemma shows that we can safely ignore the vertices in R when we make further decisions on
G − U, and hence it is safe to work on G = G − (U ∪ R) instead of G − U.
Lemma 1. Let (G
, F , U, R) be an instance. Under Invariant 1, F  is a maximal S-forest of G − U such that F ⊆ F  if and only if F  R
is a maximal S-forest of G
.
Proof. Let F  be a maximal S-forest of G − U such that F ⊆ F 
. Then clearly F  R is an S-forest in G
. Let us argue
for maximality. Since F  is maximal, for any vertex x of G − (U ∪ F 
), x is involved in an S-cycle C in G − U such that
V (C) ⊆ F  ∪ {x}. Observe that since R ⊆ F ⊆ F 
, any such vertex x is also a vertex in G
. By Invariant 1, x is involved in an
S-cycle C in G such that V (C
) = V (C) R. Since G = G − (U ∪ R), it follows that V (C
) ⊆ (F  R) ∪ {x}. Hence x cannot
be added to F  R, which is thus a maximal S-forest of G
.
For the other direction, assume that F  R is a maximal S-forest of G
. Hence every vertex x in G outside of F  R is
involved in an S-cycle C in G such that V (C) ⊆ (F  R) ∪ {x}. Since G − U is a supergraph of G
, C is also an S-cycle in
G − U. Hence no more vertices can be added to F 
, which is thus maximal. Let us argue that F  is an S-forest. Assume
for contradiction that it is not. Then a vertex y of R is involved in an S-cycle C in G − U such that V (C) ⊆ F 
. Then by
Invariant 1, there is an S-cycle C in G such that V (C
) ⊆ F  R, which contradicts the assumption that F  R is an S-forest
of G
. ✷
The measure of an instance (G
, F , U, R) is the number of undecided vertices, i.e., the vertices in G − F . In the beginning
of the algorithm all vertices are undecided and hence the measure of (G,∅,∅,∅) is n. The measure drops by the number
of vertices deleted from G plus the number of vertices added to F . Hiding a vertex does not affect the measure of an
instance. In the call with input (G
, F , U, R), the algorithm will further branch into subproblems in which some vertices
will be deleted from G and some vertices will be placed in F , and the measure will drop accordingly. If at a step, we
branch into t new subproblems, where the measure decreases by c1, c2,..., ct in each subproblem, respectively, we get the
branching vector (c1, c2,..., ct). At each branching point, we will give the corresponding branching vector to be of help in
the running time analysis.
We now describe the reduction and the branching rules of the algorithm when G has undecided vertices and F is an
S-forest. Let (G
, F , U, R) be a call of the algorithm satisfying this. In the below, we let N(v) = NG(v), N[v] = NG[v], and
d(v) = dG(v). First, we state three reduction rules. These rules are applied recursively on the considered instance as long
as it is possible to apply at least one of them.
It is easy to see that the first reduction rule, Rule A, is safe since {u, v, w} forms an S-cycle, and u, w are already placed
in F :
Rule A. If in G an undecided vertex v is adjacent to vertices u, w ∈ F such that uw ∈ E and {u, v, w} ∩ S
= ∅, then delete v, i.e.,
reduce to the subproblem (G − v, F , U ∪ {v}, R).
The following observation immediately results in the next reduction rule: Rule B.
Observation 1. Let v be a vertex of G such that no S-cycle of G contains v. Then v must be added to F if it is not in F , and it is then
safe to hide v.
Proof. If vertex v is not involved in an S-cycle, then it cannot get involved in an S-cycle at later steps when more and
more vertices are deleted from G and added to U. Hence it is safe to add it to F , and due to maximality it must be added
to F if it is not already in F . Assume now that v ∈ F . Recall that for any S-cycle C in G − U that contains a vertex of R,
there is an S-cycle C in G such V (C
) = V (C) R. Because no S-cycle in G contains v, C is an S-cycle in G − v. Hence,
it is safe to hide v and add it to R. ✷
Rule B. If G has a vertex v with d(v) 1, then add v to F if v is undecided, and when v ∈ F then hide v, i.e., reduce to the subproblem
(G − v, F ∪ {v}, U, R ∪ {v}).
Since G is not empty and it is chordal, it has a simplicial vertex. With the following observation we obtain the next
reduction rule: Rule C.
Observation 2. Let v be a simplicial vertex of G
. If N[v] ∩ S = ∅, then v must be added to F if it is not already in F , and it is then safe

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บล็อก 1 ให้ (G
, F, U, R) เป็นอินสแตนซ์ สำหรับใด ๆ รอบ S C ใน G − U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R มีตัว C S รอบใน G เช่น
V ที่ (C
) = V (C) R.
1 บล็อกเป็นจริงชัดเจนเมื่อ R จะ เมื่อใดก็ ตามที่เราซ่อน v จุด เราจะโต้เถียงบล็อกว่ายังคงจริง
หลังจาก v ถูกซ่อน จับมือถัดไปแสดงว่า เราสามารถปฏิเสธจุดยอดใน R เมื่อเราตัดสินใจได้เพิ่มเติมใน
G − U และดังนั้น จึงปลอดภัยในการทำงานกับ G = G − (U ∪ R) แทน G −ประเทศ
จับมือ 1 ให้ (G
, F, U, R) เป็นอินสแตนซ์ ภายใต้ 1 บล็อก F คือ S-ป่าสูงสุดของ G − U ดังกล่าวที่⊆ F F ถ้าและเฉพาะถ้า F R
เป็น S-ป่าสูงสุดของ
.
พิสูจน์ ให้ F เป็น S-ป่าสูงสุดของ G − U ดังกล่าวที่⊆ F F
แล้วชัดเจน F R คือ ตัว S-ป่า G
เราทะเลาะ
สำหรับ maximality เนื่องจาก F สูงสุด สำหรับจุดยอดใด ๆ x G − (U ∪ F
), x เกี่ยวข้องในการ C S รอบใน G − U ที่
V (C) ⊆ F ∪ {x } สังเกตพบว่า ตั้งแต่ R ⊆⊆ F F
, จุดเช่น x เป็นจุดยอดใน G
บล็อก 1, x มีส่วนร่วมในการ
C S รอบใน G เช่นที่ V (C
) = V (C) อาร์ เนื่องจาก G =− G (U ∪ R), เป็นไปตามที่ V (C
) ⊆ (F R) ∪ {x } ดังนั้น x ไม่
เพิ่ม F R ซึ่งเป็น S-ป่าสูงสุดของ
.
ในทิศทางอื่น ๆ สมมติว่า F ที่ R คือ S-ป่าสูงสุดของ
ดังนั้นจุดยอดทุก x ใน G นอก F R คือ
C S รอบตัวใน G ดังกล่าวที่เกี่ยวข้องกับ⊆ V (C) นั้น (F R) ∪ {x } เนื่องจาก G − U supergraph ของ G
, C เป็นตัว S-วงจร
Hence G −สหรัฐสามารถเพิ่มจุดยอดไม่มาก F
, ซึ่งเป็นสูงสุด เราโต้แย้งว่า F S-ป่ายัง สมมติ
สำหรับความขัดแย้งที่ไม่ แล้วเกี่ยวข้องในการ C S รอบใน G − U เช่น y จุดยอดของ R ⊆ V (C) ที่ F
แล้วตามด้วย
1 บล็อก มีตัว C S รอบใน G เช่นที่ V (C
) ⊆ F R ซึ่งทุกสมมติฐานที่ F R คือ ตัว S-ป่า
ของ G
✷
วัดอินสแตนซ์ (G
, R F, U ) คือจำนวนของจุดยอดลังเล เช่น จุดยอดใน G − F ในการเริ่มต้น
ของอัลกอริทึมจุดยอดทั้งหมดมีลังเล และดังนั้น การวัด (G ∅ ∅ ∅) n วัดหยด ด้วยจำนวน
ของจุดยอดถูกลบออกจาก G บวกจำนวนจุดยอดเพิ่ม F ซ่อนจุดยอดไม่มีผลต่อการวัดการ
อินสแตนซ์ ในการโทรด้วยการป้อนข้อมูล (G
, F, U, R), อัลกอริทึมจะเพิ่มเติมสาขาไป subproblems ในบางจุดยอดใด
จะถูกลบออกจาก G และบางจุดยอดจะถูกวางลงใน F และวัดจะลดลงตามลำดับ ถ้าในขั้นตอน เรา
สาขาเป็น t subproblems ใหม่ ที่วัดลด โดย c1, c2,..., ct ในแต่ละ subproblem ตามลำดับ เราได้รับการ
เวกเตอร์โยงหัวข้อ (c1, c2,..., ct) ในแต่ละจุดโยงหัวข้อ เราจะให้เวกเตอร์โยงหัวข้อที่เกี่ยวข้องให้ความช่วยเหลือใน
ทำงานที่เวลาวิเคราะห์
เราตอนนี้อธิบายการลดกฎของอัลกอริทึมการโยงหัวข้อเมื่อ G มีใจจุดยอดและ F การ
S-ป่า ให้ (G
, F, U, R) เป็นการเรียกของอัลกอริทึมความพึงพอใจนี้ ในนี้ เราให้ N(v) = NG (v), N [v] = NG [v], and
d(v) =กิจ (v) ครั้งแรก เรารัฐสามลดกฎ กฎเหล่านี้มี recursively ใช้บนอินสแตนซ์ที่พิจารณาเป็นเวลานาน
เท่าที่จำเป็นต้องใช้อย่างน้อยหนึ่งการ
ง่ายดูแรกลดกฎ กฎ A มีเซฟตั้งแต่ {u, v, w } รูปตัว S รอบ และคุณ w อยู่แล้ว
ใน F:
กฎอ. ถ้าใน G v เป็นจุดยอดลังเลอยู่ติดกับจุดยอด u, w ∈ F ดังกล่าวที่ uw ∈ E และ {u, v, w } ∩ S
=∅ แล้วลบ v, i.e.,
reduce กับ subproblem (G − v, F, U ∪ {v }, R) .
สังเกตต่อทันทีผลกฎลดถัดไป: B. กฎ
1 สังเกต ให้ v เป็นจุดยอดของ G ที่ไม่มี S-วงจรของ G ประกอบด้วย v แล้ว v ต้องเพิ่ม F ถ้าไม่อยู่ใน F และจากนั้น
ปลอดภัยซ่อน v.
พิสูจน์ ไม่เกี่ยวข้องกับจุดยอด v ในการ S รอบ ถ้าไม่ได้เกี่ยวข้องในการ S-วงจรในตอนหลังเมื่อมากกว่า และ
ลบจาก G และเพิ่มประเทศจึงมีความปลอดภัยเพื่อเพิ่ม F และเนื่องจาก maximality จะต้องเพิ่มจุดยอดมาก
ถึง F ถ้าไม่ได้ในการ ตอนนี้สมมติว่า∈ v F เรียกคืนที่สำหรับ C S รอบใด ๆ ใน G − U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R,
มีตัว C S รอบใน G V เช่น (C
) = V (C) อาร์ เนื่องจากไม่มี S-วงจรใน G ประกอบด้วย v, C คือ ตัว S-วงจรใน G − v. Hence,
ปลอดภัยซ่อน v และการอาร์✷
เกิดกฎ ถ้า G v จุดกับ d(v) 1 แล้วเพิ่ม v F v คือลังเล และเมื่อ v ∈ F แล้วซ่อน v เช่น ลดการ subproblem
(G − v, F ∪ {v }, U {V } ∪ R) .
G เนื่องจากไม่ว่างเปล่า และเป็น chordal มีจุด simplicial กับสังเกตต่อไปนี้ เราขอรับต่อไป
ลดกฎ: กฎ C.
สังเกต 2 ให้ v เป็นจุดยอดของ G simplicial
ถ้า N [v] ∩ S =∅ แล้ว v ต้องเพิ่มถึง F ถ้าไม่ได้ใน F และจากนั้นจะปลอดภัย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ค่าคงที่ 1 ปล่อย ( G 
, F , U , r ) ตัวอย่าง สำหรับ s-cycle C G − U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R มี s-cycle C  กรัมใน  เช่น
ที่ 5 ( C 
) = V ( c ) R
ค่าคงที่ 1 ชัดเจนจริงเมื่อ r มีค่าว่าง เมื่อใดก็ตามที่เราซ่อนจุดยอด v เราจะยืนยันว่าไม่เปลี่ยนแปลงยังคงเป็นจริง
หลังจาก V ที่ซ่อนอยู่ที่แทรกถัดไปแสดงอย่างปลอดภัยเราสามารถละเว้นจุด R เมื่อเราตัดสินใจเพิ่มเติมเกี่ยวกับ
G − U , และดังนั้นจึงจะปลอดภัยที่จะทำงาน  G = G − ( U ∪ r ) U .
แทรกแทน G − 1 ปล่อย ( G 
, F , U , r ) ตัวอย่าง ภายใต้ค่าคงที่ 1 F  เป็น s-forest สูงสุดของ G − u เช่น F ⊆ F  ถ้าและเพียงถ้า f  R
เป็น s-forest สูงสุดของ G 
.
พิสูจน์ให้ f  เป็น s-forest สูงสุดของ G − u เช่น F ⊆ F 

ก็เห็นได้ชัดว่า F  R เป็น s-forest กรัมใน 

เราเถียง
สำหรับ maximality . ตั้งแต่ F  เป็นยอดสูงสุด สำหรับการใด ๆ X G − ( U ∪ F 
) X , มีส่วนร่วมในการ s-cycle C G − u เช่น
v ( C ) ⊆ F  ∪ { x } สังเกตว่าตั้งแต่⊆ F R ⊆ F 
x ใด ๆ เช่น ยอดเป็นยอดในกรัม 

โดยค่าคงที่ 1 , มีส่วนร่วมในการ
x s-cycle C G  เช่น V ( C 
) = V ( c ) . G = G ตั้งแต่  − ( U ∪ R ) มันเป็นไปตามที่ V ( C 
) ⊆ ( F  r ) ∪ { x } ดังนั้น x ไม่สามารถ
เพิ่ม F  R ซึ่งจึงเป็น s-forest สูงสุดของ G 
.
สำหรับทิศทางอื่น ๆสมมติว่า F  r เป็น s-forest สูงสุดของ G 

ดังนั้นทุกจุดยอด x G  นอก F  R
มีส่วนร่วมในการ s-cycle C G  เช่น V ( c ) ⊆ ( F  r ) ∪ { x }ตั้งแต่ G − U เป็น supergraph G 
, C ยังเป็น s-cycle ใน
G −วู จึงไม่มีจุดที่สามารถเพิ่ม F 
ซึ่งจึงสูงสุด ให้เรายืนยันว่า F  เป็น s-forest . สมมติ
สำหรับความขัดแย้งที่ไม่ใช่ แล้วยอด Y R มีส่วนร่วมในการ s-cycle C G − u เช่น V ( c ) ⊆ F 

โดย
ค่าคงที่ 1 มี s-cycle C  กรัมใน  เช่น V ( C 
) ⊆ F  r ,ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า F  R เป็น s-forest
G 

✷
วัดของอินสแตนซ์ ( G 
, F , U , r ) คือจำนวนลังเลจุด ได้แก่ จุด G  − F . ในตอนแรก
อัลกอริทึมของทุกจุดจะลังเลและดังนั้นการวัด ( กรัม∅∅∅ , , , ) คือหยดวัดจระเข้ โดยหมายเลข
จุดลบจาก G  บวกจำนวนของจุดเพิ่ม F .ซ่อนจุดยอดไม่มีผลต่อการวัดของ
อินสแตนซ์ ในการเรียกด้วยการป้อนข้อมูล ( G 
, F , U , R ) ขั้นตอนต่อไปจะใส่ชื่อ subproblems ซึ่งในบางจุดจะถูกลบออกจาก 
กรัมและบางจุดจะถูกวางไว้ใน f และวัดจะลดลงตาม ถ้าในขั้นตอนเรา
T ใหม่ subproblems ) ขึ้นที่วัดลดลงโดย C1 , C2 , . . . . . . . ในแต่ละ subproblem , CT ,ตามลำดับ เราได้
กิ่งเวกเตอร์ ( C1 , C2 , . . . , CT ) ที่แยกแต่ละจุด เราจะให้สอดคล้องแตกแขนงเวกเตอร์จะช่วย

ตอนนี้เราใช้เวลาในการวิเคราะห์ อธิบาย และกฎการแตกแขนงของขั้นตอนวิธีเมื่อ G  มีลังเลจุด F เป็น
s-forest . ปล่อย ( G 
, F , U , r ) เป็นการเรียกของขั้นตอนวิธีที่น่าพอใจนี้ ในด้านล่างเราให้ N ( v ) = ng  ( V ) [ V ] = ng  [ V ] ,
d ( v ) = DG  ( V ) แรกเราลดสถานะสามกฎ กฎเหล่านี้จะใช้ในการพิจารณาเช่น recursively นาน
เป็นไปได้ที่จะใช้อย่างน้อยหนึ่งของพวกเขา .
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎการแรกปกครอง มีความปลอดภัย เนื่องจาก { u , v , w } รูปแบบ s-cycle และ U , W แล้ววางไว้
F :
กฎก.ถ้าเป็นจุดยอด v g  ลังเลอยู่ติดกับจุดยอด u , w ∈ F เช่นที่ UW ∈ E { u , v , w } ∩ S
= ∅แล้วลบ v (
ลดไป subproblem ( G  − V , F , u ∪ { v } , R )
ตามการสังเกตทันทีผลลัพธ์ในกฎการลดต่อไป : กฎ B .
สังเกต 1 ให้ V เป็นจุดยอดของ G  ดังกล่าวว่าไม่มี s-cycle G  ประกอบด้วยวี แล้ววีต้องเพิ่ม f ถ้ามันไม่ได้อยู่ในเอฟและมันเป็นแล้ว
V
ปลอดภัยที่จะซ่อนหลักฐาน ถ้าจุดยอด v ไม่ได้มีส่วนร่วมในการ s-cycle ก็ไม่สามารถเข้าไปยุ่งเกี่ยวใน s-cycle ที่ขั้นตอนต่อมาเมื่อมากขึ้น
เพิ่มเติมจุดที่ถูกลบออกจาก G  และเพิ่มไปยังสหรัฐอเมริกาดังนั้นมันปลอดภัยที่จะเพิ่ม F และเนื่องจาก maximality มันจะต้องเพิ่ม
F ถ้ามันไม่ได้อยู่ใน เอฟ . ถือว่าตอนนี้ v ∈ F .จำได้ว่า มี s-cycle C G − U ที่ประกอบด้วยจุดยอดของ R ,
มี s-cycle C  กรัมใน  เช่น V ( C 
) = V ( c ) R . เพราะไม่มี s-cycle กรัมใน  ประกอบด้วย V , C  เป็น s-cycle กรัมใน  − V
มันดังนั้น จะปลอดภัยที่จะซ่อนและเพิ่มไปยังอาร์ กฎ✷
B . ถ้า G  มีจุดยอด v กับ D ( V ) 1 แล้วเพิ่ม f V V ถ้าจะลังเล และเมื่อ 5 ∈ F แล้วหลบใน คือ ลดการ subproblem
( g  − V , F ∪ { V } , u ,r ∪ { v } ) g .
ตั้งแต่  ไม่ว่างและเป็น chordal มียอด simplicial . ด้วยการสังเกต เราขอรับกฎลดต่อไป
.
สังเกตกฎต่อไปนี้ : 1 . ให้ V เป็นจุดยอด simplicial G 

ถ้า [ V ] ∩ S = ∅แล้ว V ต้องเพิ่ม f ถ้ามันไม่ได้อยู่ใน F และมันก็ปลอดภัย