202 BOOK REVIEWS (MarchLagerungen i

202 BOOK REVIEWS (March
Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum. By L. Fejes
Tóth. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 65.)
Berlin, Springer, 1953. 10 + 197 pp. 24 DM.
This is probably the only book, in any language, devoted to the
subject of "arrangements" such as packings and coverings. It is full
of interesting results, many of them discovered by the author himself,
and the rest collected from a great variety of sources. Yet it is
not a collection of isolated theorems but develops the subject systematically.
The exposition is clear, and relieved by frequent historical
interludes (such as one drawing attention to Minkowski's
enthusiastic remark: "Mich interessiert alles, was konvex ist!").
There are 124 beautiful figures, a five-page bibliography (including
many works as recent as 1951 and 1952) and a useful index.
After a brief introduction to the theory of convex regions, the
author gives a neat proof that, if two ellipsoids are polar reciprocals
with respect to a unit sphere, their volumes, E and E', satisfy
EE' ^ (4TT/3)2,
with equality only when the ellipsoids and sphere all have the same
center. This is essentially a theorem of affine geometry: If two ellipsoids
are polar reciprocals with respect to a third, the geometric
mean of their volumes is greater than or equal to the volume of the
third. Another affine theorem, this time in two dimensions, is that,
if an n-gon contains an ellipse of area e and is contained in an ellipse
of area E, then
e/E S cos2 v/n.
This first chapter includes also a nicely illustrated account of the
regular and Archimedean solids and of the analogous tessellations; e.g.,
(3, 3, 4, 3, 4) is the tessellation of triangles and squares in which no
two squares share a side (so that each vertex is surrounded by two
triangles, a square, another triangle, and another square, as the symbol
indicates). The author might well have mentioned (on p. 19) that
this particular tessellation is not anomalous like (3, 3, 3, 4, 4), but
can be derived from the regular tessellation (4, 4, 4, 4) in the same
way that the snub cube (3, 3, 3, 3, 4) is derived from the cube (4, 4, 4)
or from the octahedron (3, 3, 3, 3) (cf. Coxeter, Regular and semiregular
poly topes, I, Math. Zeit. vol. 46 (1940) pp. 380-407, especially
p. 395).
Chapter II includes a good exposition of Blaschke's important concept
of the affine length of a curve. It is proved that the affine circumference
X of an oval curve of area T satisfies
'954] BOOK REVIEWS 203
X3 < 8TT27
with equality only for an ellipse (whereas the ordinary circumference
L satisfies
L2 £ 47TT,
with equality only for a circle).
In Chapter III we come to one of the problems from which the
book takes its name: the closest packing and thinnest covering of
the plane with equal circles, or, as the author vividly explains: the
most efficient distribution of trees in an orchard, and of oases in a
desert. (It is a pleasant feature of the book that the exquisitely precise
diagrams for these problems contain quite recognizable trees, and
even an Arab riding a camel to the nearest oasis.) With any discrete
set of points (such as the trees or oases), the author associates a decomposition
of the plane into polygonal "cells" (elsewhere called
"Dirichlet regions"). Each of the points lies in one cell, whose interior
consists of all points that are nearer to this point than to any
other one of the set. Given the cells, their inscribed circles form a
packing and their circumscribed circles form a covering. The solution
of the packing problem (p. 67) is that if a convex region of area T
contains a set of at least two nonoverlapping congruent circles, the
sum of their areas is less than TTT/2 -31 / 2 . The solution of the covering
problem is that, if a convex region of area T is completely covered by
a set of at least two congruent circles, the sum of their areas is greater
than 2TT/3-31/2. It follows that the best positions, both for the trees
and for the oases, are the centers of the cells of the regular tesselation
of regular hexagons, (6, 6, 6). (A result that many of us could guess
but few could prove!)
This chapter includes also some results on regions of various sizes.
For instance, if L is the sum of the circumferences of n nonoverlapping
circles in a convex hexagon of area 5, then
L2 S 27T2nS/31'2.
(On p. 89 this expression is accidentally written as 7raS/31/2.) The
corresponding result for A, the sum of the affine circumferences of
n nonoverlapping ovals, is
A3 g 72n2S.
The historical remarks include a reference to the independent discovery
by Reifenberg, Bateman, and Erdös that 18 equal circles (and
no more) can have at least one point in common with a given circle of
the same size, while none of the circles has its center interior to
204 BOOK REVIEWS [March
another. Those authors described the system, but here for the first
time we have an actual drawing (

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

202 รีวิวหนังสือ (มีนาคมLagerungen ใน Ebene der เอาฟ์แดร์ Kugel und im เย โดย L. FejesTóth (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ฉบับ 65)เบอร์ลิน สปริง 1953 10 + 197 ภภ. 24 DMนี่คืออาจจะเพียงหนังสือ ในภาษา การเรื่องของ "เรื่องเช่น packings และปู เต็มผลน่าสนใจ หลายคนค้นพบ โดยผู้เขียนเองและส่วนเหลือเก็บจากหลากหลายแหล่ง แต่ มันเป็นไม่เก็บของแยก theorems แต่พัฒนาตัวแบบระบบนิทรรศการมีความชัดเจน และปลดปล่อย โดยบ่อยครั้งประวัติศาสตร์interludes (เช่นหนึ่งวาดความสนใจของมินคอฟสกีความกระตือรือร้นหมายเหตุ: " Mich interessiert alles แก้ไข konvex ist ! ")มีเลขสวย 124 (รวมบรรณานุกรมสำหรับห้าหน้าจำนวนมากเป็นล่าเป็น 1951 1952) และดัชนีมีประโยชน์นี้หลังจากแนะนำสั้น ๆ กับทฤษฎีของภูมิภาคนูน การผู้เขียนให้หลักฐานเรียบร้อยที่ ถ้า ellipsoids สอง ขั้วคือเกี่ยวกับทรงกลมหน่วย ปริมาณของพวกเขา E และ E', ตอบสนองEE' ^ (4TT 3) 2ด้วยความเสมอภาคเฉพาะเมื่อการ ellipsoids และทรงกลมได้เหมือนกันศูนย์ นี่คือหลักทฤษฎีบทเรขาคณิต affine: ถ้าสอง ellipsoidsมีขั้วคือส่วนที่เกี่ยวกับบุคคลภายนอก การเรขาคณิตหมายถึงไดรฟ์ข้อมูลมีค่ามากกว่า หรือเท่ากับปริมาตรของการสาม บทพิสูจน์ affine เวลานี้ในสองมิติ อยู่ที่ถ้า n-gon ประกอบด้วยรูปวงรีของ e พื้นที่ และอยู่ในรูปวงรีพื้นที่ E แล้วe/E S cos2 v/nบทแรกนี้รวมถึงยังเป็นบัญชีภาพประกอบสวยงามของการปกติและวงของแข็งและ ของ tessellations คล้าย เช่น(3, 3, 4, 3, 4) เป็นเทสเซลเลชันของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมซึ่งไม่มีสี่เหลี่ยมสองข้างร่วมกัน (เพื่อให้แต่ละจุดยอดล้อมรอบ ด้วยสองสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมอีก และอื่น สแควร์เป็นสัญลักษณ์บ่งชี้) ผู้เขียนอาจมีกล่าวถึงใน p. 19) ดีที่เทสเซลเลชันเฉพาะนี้ไม่ผิดปกติเช่น (3, 3, 3, 4, 4), แต่ได้มาจากการ tessellation ปกติ (4, 4, 4, 4) ในเดียวกันวิธีที่ว่า มาดูถูก cube (3, 3, 3, 3, 4) จาก cube (4, 4, 4)หรือ จากแปด (3, 3, 3, 3) (cf. Coxeter ปกติ และ semiregularโพลี topes ฉัน คณิตศาสตร์ ให้ ฉบับ 46 (1940) ภภ. 380-407 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง395 p.)บทที่สองประกอบด้วยนิทรรศการที่ดีของแนวคิดที่สำคัญของ Blaschkeความยาว affine ของเส้นโค้ง จะพิสูจน์ที่เส้นรอบวง affineตอบสนอง X ของโค้งเป็นรูปไข่ของ T] รีวิวหนังสือ 203X3 < 8TT27ด้วยความเสมอภาคสำหรับเป็นวงรีเท่านั้น (ในขณะที่เส้นรอบวงธรรมดาตรง LL2 £ 47TTด้วยความเสมอภาคเฉพาะสำหรับวงกลม)ในบท III มาถึงปัญหาหนึ่งที่การหนังสือที่มาของชื่อ: บรรจุใกล้ที่สุดและครอบคลุมที่บางที่สุดของเครื่องบิน กับวงกลมที่เท่ากัน หรือ เป็นผู้เขียนอธิบายเต็มตา: การการแจกจ่ายที่มีประสิทธิภาพสูงสุด ของต้นไม้ในสวน และเครื่องเทศในการทะเลทราย (เป็นคุณสมบัติที่ดีของหนังสือที่ละเอียดประณีตไดอะแกรมสำหรับปัญหาเหล่านี้ประกอบด้วยต้นไม้ค่อนข้างรู้จัก และแม้การอาหรับขี่อูฐไปที่ใกล้ที่สุด) ใด ๆ เนื่องตั้งจุด (เช่นไม้หรือเครื่องเทศ), ผู้แต่งร่วมการสลายตัวเครื่องบินลงในเหลี่ยม "เซลล์" (อื่น ๆ เรียกว่า"Dirichlet ภูมิภาค") แต่ละจุดอยู่ในเซลล์เดียว ตกแต่งภายในที่มีประกอบด้วยจุดที่อยู่ใกล้จุดนี้กว่าใด ๆอื่น ๆ หนึ่งชุด กำหนดเซลล์ พวกเขาฟอร์มวงการจารึกไว้ในบรรจุและแวดวงของพวกเขาอยู่ในรูปแบบครอบคลุม การแก้ปัญหาของปัญหาจัด (p. 67) คือว่าถ้า พื้นที่ T แคว้นนูนประกอบด้วยอย่างน้อยสองวงเท่าที่ขนาน การผลรวมของพื้นที่ของพวกเขาจะน้อยกว่า TTT/2-31 / 2 การแก้ปัญหาของครอบคลุมปัญหาก็คือ ถ้าภูมิภาคนูนบริเวณ T ครอบคลุมอย่างสมบูรณ์โดยชุดของวงน้อยสองเท่า ผลรวมของพื้นที่ของพวกเขามีมากขึ้นกว่า 2TT/3-31/2 มันตามที่สุดตำแหน่ง ทั้งต้นและสำหรับเครื่องเทศ เป็นศูนย์กลางของเซลล์ของ tesselation ปกติหกเหลี่ยมปกติ, (6, 6, 6) (ผลลัพธ์ที่พวกเราหลายคนอาจคาดเดาแต่ไม่กี่สามารถพิสูจน์)บทนี้มียังผลลัพธ์บางอย่างบนพื้นที่ขนาดต่าง ๆเช่น ถ้า L เป็นผลรวมของเส้นรอบวงของ n ขนานวงในหกเหลี่ยมนูนของพื้นที่ 5 แล้วL2 S 27T2nS/31 ' 2(P. 89 ใน นิพจน์นี้ตั้งใจเขียนเป็น 7raS/31/2) การผลการค้นหาที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นรอบวง affine ของจำนวน การวงรีขนาน n เป็นA3 g 72n2Sหมายเหตุทางประวัติศาสตร์รวมถึงการอ้างอิงถึงการค้นพบอิสระโดย Reifenberg เบท Erdös วงเท่านั้น 18 (และไม่มาก) สามารถมีอย่างน้อยหนึ่งจุดร่วมกันกับวงกลมที่กำหนดของขนาดเดียวกัน ในขณะที่ไม่มีของวงกลมมีการตกแต่งภายในศูนย์การรีวิวหนังสือ 204 [มีนาคมอื่น ผู้เขียนอธิบายระบบ แต่ที่นี่ที่แรกเวลาที่เรามี(การวาดจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

202 บทวิจารณ์หนังสือ (มีนาคม
Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel คาดไม่ถึง IM Raum. โดยแอล Fejes
Tóth. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ฉบับ. 65)
เบอร์ลินสปริงเกอร์ 1953 10 + 197 PP. 24 DM.
นี้เป็น อาจจะเป็นหนังสือเล่มเดียวในภาษาใด ๆ ที่ทุ่มเทให้กับ
เรื่องของ "การเตรียมการ" เช่น packings และ coverings. มันเต็ม
ของผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากของพวกเขาค้นพบโดยผู้เขียนเอง,
และส่วนที่เหลือเก็บรวบรวมจากความหลากหลายของแหล่งที่มา แต่มันเป็น
. ไม่ได้เป็นคอลเลกชันของทฤษฎีบทโดดเดี่ยว แต่พัฒนาเรื่องระบบ
การแสดงออกที่ชัดเจนและโล่งใจประวัติศาสตร์บ่อย
ซั่ม (เช่นหนึ่งดึงความสนใจไปคอฟสกีของ
หมายเหตุกระตือรือร้น "Mich interessiert alles เป็น Konvex ist!").
มี 124 ตัวเลขที่สวยงามบรรณานุกรมห้าหน้า (รวมทั้ง
การทำงานให้มากที่สุดเท่าที่ผ่านมาเป็น 1951 และ 1952) และดัชนีที่มีประโยชน์.
หลังจากแนะนำสั้น ๆ กับทฤษฎีของภูมิภาคนูนที่
เขียนให้หลักฐานเรียบร้อยว่าถ้าสอง ellipsoids มีขั้ว ส่วนกลับ
ด้วยความเคารพเป็นทรงกลมหน่วยปริมาณของพวกเขา, E และ E 'ตอบสนอง
EE' ^ (4TT / 3) 2,
มีความเท่าเทียมกันเฉพาะเมื่อ ellipsoids รูปทรงกลมและทุกคนมีเหมือนกัน
ศูนย์ นี้เป็นหลักทฤษฎีของเรขาคณิตเลียนแบบ: ถ้าสอง ellipsoids
เป็นส่วนกลับขั้วที่เกี่ยวกับสามเรขาคณิต
ค่าเฉลี่ยของปริมาณของพวกเขาคือมากกว่าหรือเท่ากับปริมาณที่
สาม ทฤษฎีบทเลียนแบบอีกครั้งในสองมิติคือว่า
ถ้า N-gon มีวงรีพื้นที่จดหมายและของที่มีอยู่ในวงรี
พื้นที่ E แล้ว
E / ES cos2 v / n.
นี้บทแรกรวมถึงยังเป็นอย่างดี บัญชีของภาพประกอบ
ของแข็งปกติและ Archimedean และของ tessellations คล้าย; เช่น
(3, 3, 4, 3, 4) เป็นพลังของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมที่ไม่มี
สองสี่เหลี่ยมแบ่งปันด้าน (เพื่อให้แต่ละยอดรายล้อมไปด้วยสอง
สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมอื่นและตารางอื่นเช่น สัญลักษณ์
บ่งชี้) ผู้เขียนอาจดีได้กล่าวถึง (พี. 19) ที่
tessellation นี้โดยเฉพาะไม่ได้เป็นความผิดปกติเช่น (3, 3, 3, 4, 4) แต่
จะได้รับจาก tessellation ปกติ (4, 4, 4, 4) เดียวกัน
วิธีการที่ก้อนดูแคลน (3, 3, 3, 3, 4) มาจากก้อน (4, 4, 4)
หรือจากแปดด้าน (3, 3, 3, 3) (cf Coxeter ธรรมดาและ semiregular
Topes โพลี, I, คณิตศาสตร์. Zeit. Vol. 46 (1940) PP. 380-407 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
พี. 395).
บทที่สองรวมถึงการแสดงออกที่ดีของแนวคิดที่สำคัญของ Blaschke
ของความยาวของเลียนแบบโค้ง ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าเลียนแบบเส้นรอบวง
X ของเส้นโค้งรูปไข่ของพื้นที่ T ตอบสนอง
'] หนังสือ 954 คำวิจารณ์จาก 203
X3 <8TT27
มีความเท่าเทียมกันเฉพาะสำหรับวงรี (ในขณะที่เส้นรอบวงสามัญ
L ตอบสนอง
L2 £ 47TT,
มีความเท่าเทียมกันเฉพาะสำหรับวงกลม) .
ในบทที่สามที่เรานำมาให้เป็นหนึ่งในปัญหาที่เกิดขึ้นจากการที่
หนังสือเล่มนี้ใช้ชื่อ: บรรจุใกล้เคียงที่สุดและครอบคลุมบางที่สุดของ
เครื่องบินกับแวดวงเท่ากันหรือเป็นผู้เขียนเต็มตาอธิบาย: ผู้
จัดจำหน่ายที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดของต้นไม้ในสวนผลไม้ และเครื่องเทศใน
ทะเลทราย (มันเป็นคุณสมบัติที่น่ารื่นรมย์ของหนังสือที่แม่นยำอย่างประณีต
แผนภาพสำหรับปัญหาเหล่านี้มีต้นไม้เป็นที่รู้จักมากและ
แม้กระทั่งอาหรับขี่อูฐไปโอเอซิสที่ใกล้ที่สุด.) ด้วยการไม่ต่อเนื่องใด ๆ
ชุดของจุด (เช่นต้นไม้หรือเครื่องเทศ) ผู้เขียนร่วมการสลายตัว
ของเครื่องบินเข้าเหลี่ยม "เซลล์" (เรียกว่าที่อื่น ๆ
"ภูมิภาค Dirichlet") แต่ละจุดที่อยู่ในเซลล์หนึ่งภายในซึ่ง
ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้กับจุดนี้มากไปกว่าการใด ๆ ที่
อีกคนหนึ่งของชุด ได้รับเซลล์วงกลมจารึกของพวกเขาในรูปแบบ
การบรรจุและวงการ circumscribed ของพวกเขาในรูปแบบครอบคลุม วิธีการแก้
ปัญหาการบรรจุ (p. 67) คือว่าถ้าภูมิภาคนูนของพื้นที่ที
มีชุดของวงการสอดคล้องกันอย่างน้อยสอง nonoverlapping ให้
ผลรวมของพื้นที่ของพวกเขาคือน้อยกว่า TTT / 2 -31/2 การแก้ปัญหาของครอบคลุมที่
มีปัญหาก็คือว่าถ้าภูมิภาคนูนของพื้นที่ T จะครอบคลุมทั้งหมดโดย
ชุดของอย่างน้อยสองวงการสอดคล้องกันเป็นผลรวมของพื้นที่ของพวกเขานั้นยิ่งใหญ่
กว่า 2TT / 3-31 / 2 มันตามที่ตำแหน่งที่ดีที่สุดทั้งสำหรับต้นไม้
และเครื่องเทศที่เป็นศูนย์ของเซลล์ของ tesselation ปกติ
ของรูปหกเหลี่ยมปกติ (6, 6, 6) (ผลที่เราหลายคนสามารถคาดเดา
แต่ไม่กี่สามารถพิสูจน์ได้!)
บทนี้ยังรวมถึงผลบางอย่างเกี่ยวกับภูมิภาคของขนาดต่างๆ.
ตัวอย่างเช่นถ้า L คือผลรวมของเส้นรอบวงของ n nonoverlapping ที่
วงการในหกเหลี่ยมนูนออกจากพื้นที่ 5 แล้ว
L2 S 27T2nS / 31'2.
(ในพี. 89 สำนวนนี้ถูกเขียนขึ้นโดยบังเอิญเป็น 7raS / 31/2.) The
ผลที่สอดคล้องกันสำหรับผลรวมของเส้นรอบวงเลียนแบบของ
n วงรี nonoverlapping เป็น
72n2S A3 กรัม.
ข้อคิดเห็นประวัติศาสตร์รวมถึงการอ้างอิงถึงการค้นพบอิสระ
โดย Reifenberg เบทและแอร์ดิชที่ 18 วงกลมเท่ากับ (และ
ไม่มาก) สามารถมีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่เหมือนกันกับวงกลมที่กำหนดของ
ขนาดเดียวกันในขณะที่ไม่มีของวงการมีศูนย์ของมัน ภายใน
204 บทวิจารณ์หนังสือ [มีนาคม
อีก ผู้เขียนอธิบายระบบ แต่นี่เป็นครั้งแรก
เวลาที่เรามีการวาดภาพที่เกิดขึ้นจริง (