3. Random variables and Distributio

3. Random variables and Distributions
3.1 Random variables and Discrete Distributions
A random variable is a real-valued function defined on a sample space. Random variables are the main tools used for modeling unknown quantities. In statistical analyses. For each random variable X and each set A of real numbers, we could calculeat the probability that X takes its value in A. the collection of all these probabilities is the distribution of X. There are two major classes of distributions and random variables: discrete (this section) and continuous (section 3.2). Discrete distributions are those that assign positive probability to at most countably many different values. A Discrete distribution can be characterized by its probability function (p.f); Which specifies the probability that the random variable takes each of the Different possible values. A random variable with a discrete distridbution will Be called a discrete random variable.
Defintion of a Random Variabib
Consider an experiment for which the sample space is denoted by S. A real-valued function that is defined on the space S is called a random variable. In other words, in a particular experiment a random variable X would be some function that assigns a real number X (s) to each possible outcome s S.
Example 3.1.1 Tossing a Coin. Consider an experiment in which a coin is tossed 10 times. In this experiment the sample space can be regarded as the set of outcomes consisting of the different sequences of 10 heads and tails that are possible, and the random variable X could be the number of heads obtained on the 10 tosses. For each possible sequence s consisting of 10 heads and tails, this random variable would then assign a number X (s)



Figure 3.1 The event that at least one utility demand is high
Equal to the number of heads in the sequence. Thus, if s is the sequence HHTTTHTTTH, then X(s)=4.
Example 3.1.2 Demands for utilities. Consider the contractor in Example 1.5.2 0n page 16 who is concerned about the demands for water and electricity in a new office compiex. The sample space was pictured in Fig. 1.5 on page 11. Think of the sample space as consisting of a collection of points of form (x,y), where x is the demand for water and y is the demand for electricity. That is, each point s S is a pair s=(x,y). One random variable that is of interest in this problem is the demand for water. This can be expressed as X(s)=x when s=(x,y). Another interesting random variable is Y, equal to the electricity demand, which can be expressed as Y(s)=y when s=(x,y). A third possible random variable Z is an indicator of whether or not at least one demand is high. Let A and B be the two events described in Example 1.5.2. That is, A is the event that water demand is at least 100, and B is event that electric demand is at least 115. Define
z(s)={█(1 if s∈A∪B,@0 if s A∪B.)┤
The event A B is indicated in Fig. 3.1.
Example 3.1.3 Measuring a Person’s Height. Consider an experiment in which a person is selected at random from some population and her height in inches is measured. This height is a random variable.


The Distribution of a Random Variable
When a probabilty distribution has been specified on the sample space of an experiment, we can determine a probability distribution for the possible values of each random variable X. Let A be a subset of the real line, and let Pr(X A) denote the probability that the value of X will belong to the subset A. Then Pr(X A) is eQual to the probability that the outcome s of the experiment will be such that X(s) A. In symbols,




Figure 3.2 The event that water demand is between 50 and 175
Example 3.1.4 Tossing a Coin. Consider again an experiment in which a coin is tossed 10 times, and let X be the number of heads that are obtained. In this experiment the possible values of X are 0,1,2,…,10; and, as explained in Example 1.8.3 on page 30,
Pr(x=x)=(10¦x) 1/2^10 for x= 0,1,2,…,10.
Example 3.1.5 Demands for utilities. In Example 1.5.2, we actually calculated some features of the distributions of the three random varibles X,Y, and Z defined in Example 3.1.2. For example, the event A, defined as the event that water demand is at least 100, can be expressed as and Pr(A) = 0.5102. This means that . The distribution of X consists of all probabilities of the form Pr(X C) for all sets C of real numbers. These can all be calculated in a manner similar to the calculation of Pr(A) in Example 1.5.2. In particular, if C is a subset of the interval [4,200], than
Pr(X c)=((150-1)×(length of set C)/29,204. (3.1.1)
For example, if C is the interval [50,175], than its length is 125, and Pr(X C) =149x125/29,204=0.6378. The subset of the sample space whose probability was just calculated is drawn in Fig.3.2.

Discrete Disteibutions
It is said that a random variable X has a discrete distribution or that X is a discrete random variable if X can take only a finite number k of different values or, at most, an infinite sequence of different values Random variables that can take every value in an interval are called continuous and are discussed in Section 3.2. If a random variable X has a discrete discrete distribution, the probability funcyion (abbreviated p.f) of X is defined as the function f such that for every real number x,
f(x)=Pr(X=x).
For every point x that is not one of the possible values of X, it is evident that f(x)=0. Also, if the sequence includes all the possible values of X, than Atypical p.f. is sketched in Fig. 3.3, in which each vertical segment






Figure 3.3 An example of a p.f.
represents the value of f(x) corresponding to a possible value x. The sum of the heights of the vertical segments in Fig. 3.3 must be 1.
If X has a discrete distribution, the probability of each subset A of the real line can be determined from the relation

Example 3.1.6 Demands for utilities. The random variable Z in Example 3.1.2 equals 1 if at least one of the utility demands is high, and Z=0 if neither demand is high. Since Z takes only two different values, it has a discrete distribution. Note that {s : Z(s)=1} = A B, whewe A and B are defined in Example 1.5.2. We calculated Pr(A B)=0.65253 in Example 1.5.2. If Z has p.f. f, than
F(z)={█(0.65253 if z=1,@0.34747 if z=0,@0 otherwise )┤
Some random variables have distributions that appear so frequently that the distributions are given names. For example, a random variable Z that takes only two values 0 and 1 with Pr(Z=1)=p(such as Z in Example 3.1.6 with p= 0.65252) has a Bernoulli distribution with parameter p. we conclude this section with illustrations of two additional discrete distributions that arise often.

The Uniform Distribution on Integers
Suppose that the value of a random variable X is equally likely to be each of the k integers 1,2,,…,k. Then the p.f. of X is as follows:
F(x)={█(1/k for x=1,2,…,k,@0 otherwise.)┤


This discrete distribution is called the uniform distribution on the integers 1,2,…,k. If represents the outcome of an experiment that is often described by saying that one of the integers 1,2,..,k is chosen at random. In this context, the phrandom” means that each of the k integers is equally likely to be chosen. In this same sense, it is not possible to choose an integer a random from the set of all positive integers because it is not possible to assing the same probabilly to every one of the postive integers and still make the sum of these probabilities equal o I. In other words, a uniform distribution cannot be assigned to an infinite sequence of possible values, but such a distribution can be assigned to any finite sequence. In particular, it is simple to extend the uniform distribution to every finite sequence of consecutive integers.
Example 3.1.7 Daily Number. A popular state lottery game requires partcipants to select a three-digit number (leading Os allowed). Then three balls, each with one digit, are chosen at random from well-mixed bowls. The sample space here consists of all triples where for j=1,2,3. If s= , define X(s)= . For example X(0,1,5)=15. It is easy to check that Pr(x=x)=0.001 for each integer . The distrion of X is uniform on the integers 0,1,…,999.
NOTE: random Variables Can Have the Same Distribution without Being the Same Random Variable. Consider two consecutive daily number draws as in Example 3.1.7. The sample space consists of all 6-tuples , where the first three coordinates are the number drawn on the first day and the last three are the numbers drawn on the second day ( all in the order drawn). If s = , let and let . It is easy to see that and are different functions of s and are not the same random variable. Indeed, there is only a small probability that they will take the same value. But they have the same distribution because they assume the same values with the same probabilities. If a businessman has 1000 customers numbered 0,…,999, and he selects one at random and records the number Y , the distribution of Y will be the same as the distribution of and of , but Y is not like or in any other way.

The Binomal Distribution
Suppose that a certain machine produces a defective item ith a proability of p(0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. ตัวแปรสุ่มและการกระจาย 3.1 ตัวแปรสุ่มและการกระจายแยกกันตัวแปรสุ่มคือ ฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดพื้นที่ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มเป็นเครื่องมือหลักที่ใช้สำหรับสร้างโมเดลไม่ทราบปริมาณ ในการวิเคราะห์ทางสถิติ สำหรับแต่ละตัวแปรสุ่ม X และแต่ละชุด A ของจำนวนจริง เราอาจ calculeat ความน่าเป็นที่ X จะค่าใน A. คอลเลกชันของกิจกรรมเหล่านี้เป็นการแจกแจงของ X ได้ มี 2 ประเภทที่สำคัญของตัวแปรสุ่มและการกระจาย: แยกกัน (ส่วนนี้) และส่วนต่อเนื่อง (3.2) การกระจายแยกกันอยู่ที่กำหนดความน่าเป็นค่าบวกให้ค่าแตกต่างกันมากที่สุด countably สามารถลักษณะการกระจายแยกกัน โดยฟังก์ชันของความน่าเป็น (p.f); ซึ่งระบุความน่าเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้แตกต่างกันแต่ละ ตัวแปรสุ่ม มี distridbution เดี่ยว ๆ จะถูกเรียกว่าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องDefintion Variabib สุ่มพิจารณาการทดลองที่สามารถระบุพื้นที่ตัวอย่าง โดยเอส ฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดในพื้นที่ S คือตัวแปรสุ่ม ในคำอื่น ๆ ทดลองเฉพาะตัวแปรสุ่ม X จะมีบางส่วนทำงาน S. กำหนดเป็นจำนวนจริง X (s) กับ s แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ว่า3.1.1 Tossing เหรียญตัวอย่าง พิจารณาการทดลองที่เหรียญเป็นเพราะ 10 ครั้ง ในการทดลองนี้สามารถถือเป็นชุดผลลัพธ์ประกอบด้วยลำดับแตกต่างกัน 10 หัว และหางที่เป็นไปได้ และตัวแปรสุ่ม X อาจเป็นหมายเลขของหัวรับที่ 10 พื้นที่ตัวอย่าง tosses สำหรับแต่ละลำดับได้ s ประกอบด้วย 10 หัวและหาง ตัวแปรสุ่มนี้จะกำหนดตัวเลข X (s) รูป 3.1 เหตุการณ์ว่าอรรถประโยชน์น้อยความสูงเท่ากับจำนวนหัวตามลำดับ ดังนั้น ถ้า s เป็นลำดับ HHTTTHTTTH แล้ว X(s) = 4ความต้องการตัวอย่าง 3.1.2 สำหรับสาธารณูปโภค พิจารณาผู้รับเหมาในตัวอย่างที่ 1.5.2 0n หน้า 16 ผู้ที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับความต้องการใช้น้ำและไฟฟ้าใน compiex สำนักงานใหม่ พื้นที่ตัวอย่างเป็นภาพใน Fig. 1.5 หน้า 11 คิดว่า พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยคอลเลกชันของจุด (x, y), แบบฟอร์มความต้องการน้ำ x และ y มีความต้องการไฟฟ้า นั่นคือ แต่ละจุด s S เป็น s=(x,y) คู่ ตัวแปรสุ่มตัวอย่างหนึ่งที่น่าสนใจในปัญหานี้เป็นความต้องการน้ำ นี้สามารถแสดงเป็น X(s) = x เมื่อ s=(x,y) ตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจอีกตัวคือ เท่ากับความต้องการไฟฟ้า ซึ่งสามารถแสดงเป็น Y(s), Y = y เมื่อ s=(x,y) สามเป็นตัวแปรสุ่ม Z เป็นตัวบ่งชี้ความต้องการน้อยจะสูงหรือไม่ ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์สองในตัวอย่างที่ 1.5.2 นั่นคือ A คือ เหตุการณ์ว่า น้ำน้อย 100 และ B เป็นเหตุการณ์ที่ว่าความต้องการไฟฟ้าน้อย 115 กำหนดz(s) = {█ (ถ้า 1 s∈A∪B,@0 ถ้า s A∪B.)┤เหตุการณ์ที่ระบุไว้ใน Fig. 3.1 A Bตัวอย่างวัดความสูงของคนเป็น 3.1.3 พิจารณาการทดลองที่ผู้เลือกสุ่มจากประชากรบาง และวัดความสูงของเธอเป็นนิ้ว ความสูงนี้เป็นตัวแปรสุ่ม การแจกแจงของตัวแปรสุ่มเมื่อมีการระบุการกระจาย probabilty พื้นที่ตัวอย่างของการทดลอง เราสามารถตรวจสอบการกระจายความน่าเป็นสำหรับค่าเป็นไปได้ของแต่ละตัวแปรสุ่ม X ให้ A เป็นเซตย่อยของบรรทัดจริง และให้แสดงความเป็นไปได้ว่า ค่าของ X จะเป็นชุดย่อย A. Pr(X A) แล้ว Pr(X A) จะเท่ากับความเป็นไปได้ว่า s ผลการทดลองจะเป็นอย่างที่อ. X(s) ในสัญลักษณ์ 3.2 รูปเหตุการณ์ที่น้ำต้องอยู่ระหว่าง 50 และ 1753.1.4 Tossing เหรียญตัวอย่าง พิจารณาการทดลองที่เหรียญเป็นเพราะ 10 ครั้งอีกครั้ง และให้ X เป็นจำนวนหัวที่จะได้รับ ในการทดลองนี้ ได้ค่าของ X จะ 0,1,2,..., 10 และ ตามที่อธิบายไว้ในตัวอย่าง 1.8.3 หน้า 30Pr(x=x)=(10¦x) 1/2 ^ 10 สำหรับ x = 0,1,2,..., 10ความต้องการอย่าง 3.1.5 การสาธารณูปโภค ในตัวอย่างที่ 1.5.2 เราจริงคำนวณบางคุณลักษณะของการกระจายของสามสุ่ม varibles X, Y และ Z ที่กำหนดไว้ในตัวอย่าง 3.1.2 สำหรับตัวอย่าง เหตุการณ์ A กำหนดเป็นแสดงเป็นเหตุการณ์ที่ว่าน้ำน้อย 100, Pr(A) = 0.5102 นี้หมายความ ว่า การกระจายของ X ประกอบด้วยกิจกรรมทั้งหมดของแบบฟอร์ม Pr (X C) สำหรับทุกชุด C ของจำนวนจริง เหล่านี้ทั้งหมดสามารถคำนวณในลักษณะคล้ายกับการคำนวณของ Pr(A) ในตัวอย่างที่ 1.5.2 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า C เป็นเซตย่อยของช่วง [4200], กว่า ประชาสัมพันธ์ (X c) = ((150-1) ×(length of set C)/29, 204 (3.1.1)ตัวอย่าง ถ้า C เป็นช่วง [50,175], มากกว่าความยาวเป็น 125 และการประชาสัมพันธ์ (X C) = 149 x 125/29, 204 = 0.6378 ชุดย่อยของพื้นที่อย่างมีความน่าเป็นเพียงคำนวณออกใน Fig.3.2Disteibutions แยกกันกล่าวว่า ตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายแยกกัน หรือว่า X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X สามารถใช้เฉพาะจำกัดหมายเลข k ของค่าต่าง ๆ หรือ ที่สุด การลำดับอนันต์แตกต่างกันค่าตัวแปรสุ่มที่สามารถนำทุกค่าในช่วงจะเรียกว่าต่อเนื่อง และจะในส่วน 3.2 ถ้าตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายแยกกันแยกกัน ความน่าเป็น funcyion (ย่อ p.f) ของ X ถูกกำหนดเป็นฟังก์ชัน f ดังกล่าวว่าสำหรับ x ทุกตัวเลขจริงf(x)=Pr(X=x)ทุกจุด x ที่ไม่ใช่ค่าเป็นไปได้ของ X อย่างใดอย่างหนึ่ง มันเป็นความชัดที่ f (x) = 0 ยัง ถ้าลำดับที่มีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X กว่า Atypical p.f. เป็นร่างแผนใน Fig. 3.3 ในซึ่งแต่ละเซ็กเมนต์แนวตั้งรูปที่ 3.3 ตัวอย่างของ p.f. เป็นแทนค่าของ f(x) จะได้ค่า x ผลรวมของความสูงของส่วนแนวตั้งใน Fig. 3.3 ต้องเป็น 1ถ้า X มีการกระจายแยกกัน ความน่าเป็นของแต่ละเซตย่อย A ของบรรทัดจริงสามารถถูกกำหนดจากความสัมพันธ์ ความต้องการอย่าง 3.1.6 การสาธารณูปโภค ตัวแปรสุ่ม Z ตัวอย่าง 3.1.2 เท่ากับ 1 ถ้าน้อยหนึ่งความต้องการอรรถประโยชน์สูง และ Z = 0 ถ้าไม่ความต้องการสูง เนื่องจาก Z ใช้เพียงสองค่าที่แตกต่าง มีการกระจายแยกกัน หมายเหตุว่า { s: Z(s) = 1 } = A B, whewe A และ B ถูกกำหนดในตัวอย่างที่ 1.5.2 เราได้ Pr (A B) = 0.65253 ในตัวอย่างที่ 1.5.2 ถ้า Z มี p.f. f กว่าF (z) = {█ (ถ้า 0.65253 z=1,@0.34747 ว่าอย่างอื่น z=0,@0) ┤บางตัวแปรสุ่มมีการกระจายที่ปรากฏขึ้นบ่อยครั้งดังนั้นการกระจายที่มีชื่อ ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่ม Z ซึ่งใช้เวลาเพียงสองค่า 0 และ 1 กับ Pr (Z = 1) = p (เช่นในตัวอย่าง 3.1.6 p Z = 0.65252) มีการกระจาย Bernoulli กับ p. พารามิเตอร์ที่เราสรุปส่วนนี้ มีภาพประกอบของสองเพิ่มเติมเดี่ยว ๆ กระจายที่เกิดขึ้นมักจะ กระจายสม่ำเสมอบนเต็มสมมติว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม X คือเท่า ๆ กันทุกจำนวนเต็ม k 1, 2,..., k แล้ว p.f. ของ X จะเป็นดังนี้:F (x) = {█ (1/k สำหรับ x=1,2,...,k,@0 อื่น ๆ)┤กระจายนี้แยกกันเรียกว่ากระจายสม่ำเสมอบนจำนวนเต็ม 1, 2,..., k ถ้าหมายถึงผลของการทดลองซึ่งมักจะอธิบาย ด้วยคำพูดหนึ่งว่าจำนวนเต็ม 1, 2, ..., k สุ่ม ในบริบทนี้ phrandom "หมายความ ว่า ทุกจำนวนเต็ม k เท่า ๆ กันโอกาสที่จะเลือก ในความรู้สึกนี้เหมือนกัน ไม่สามารถเลือกจำนวนเต็มแบบสุ่มจากชุดของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเนื่องจากไม่สามารถ assing probabilly เดียวกันกับทุกจำนวนเต็มค่าบวก และยัง ทำให้ผลรวมของกิจกรรมเหล่านี้เท่ากับ o ผม ในคำอื่น ๆ กระจายสม่ำเสมอไม่สามารถกำหนดเป็นลำดับอนันต์ค่าได้ แต่การกระจายสามารถถูกกำหนดให้กับลำดับใดจำกัด โดยเฉพาะ มีการขยายกระจายสม่ำเสมอทุกลำดับจำกัดจำนวนเต็มต่อเนื่องตัวอย่าง 3.1.7 เลขประจำวัน เกมสลากกินแบ่งรัฐนิยมต้อง partcipants เพื่อเลือกหมายเลขสามหลัก (นำ Os ที่ได้รับอนุญาต) แล้ว ลูกสาม เลขหนึ่ง แต่ละจะเลือกสุ่มจากชามผสมดี พื้นที่ตัวอย่างที่นี่ประกอบด้วยทั้งหมด triples ที่สำหรับ j = 1, 2, 3 ถ้า s =, กำหนด X(s) = เช่น X (0,1,5) = 15 ง่ายต่อการตรวจสอบว่า Pr(x=x) = 0.001 สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม Distrion ของ X เป็นรูปบนเต็ม 0,1,..., 999หมายเหตุ: ตัวแปรสุ่มได้แจกจ่ายกันโดยไม่เป็นตัวแปรสุ่ม เดียวกัน พิจารณาสองติดต่อกันทุกวันเลขวาดตัวอย่าง 3.1.7 พื้นที่ตัวอย่างจำนวนทั้งหมด 6-tuples ที่พิกัดสามอันดับแรกคือ หมายเลขที่ออกในวันแรก และ 3 สุดท้ายเป็นตัวเลขที่ออกในวันที่สอง (ทั้งหมดในใบสั่งที่วาด) ถ้า s =, ให้ และให้การ มันจะเห็นว่า และมีหน้าที่ต่างกันของ s และไม่มีตัวแปรสุ่มเดียวกัน แน่นอน มีเฉพาะความเล็กน่าเป็นที่จะใช้ค่าเดียวกัน แต่มีการกระจายเหมือนกัน เพราะคิดว่าค่าเดียวกันกับกิจกรรมเดียวกัน ถ้านักธุรกิจมีลูกค้า 1000 เลข 0,..., 999 เขาเลือกหนึ่งสุ่ม และบันทึกหมายเลข Y การกระจายของ Y จะเหมือนกับการกระจาย ของ แต่ Y จะไม่เหมือน หรือ ในลักษณะอื่นใด กระจาย Binomalสมมติว่า เครื่องจักรผลิตสินค้าชำรุดเป็นระยะ proability ของ p (0ตัวอย่างนี้เป็นคล้ายกับตัวอย่างที่ 2.2.4 หน้า 59 สำหรับ x = 0,1,..., n ความน่าเป็นของการได้รับเฉพาะแต่ละลำดับว่า x defectives และ n x nondefectives n รายการสั่งซื้อจะ เนื่องจากมีลำดับต่าง ๆ สั่งชนิดนี้ เป็นไปตามที่ Pr(X=x) =ดังนั้น p.f. ของ X จะเป็นดังนี้: F(x)={█((n¦p) p ^ x q^(n-x) สำหรับ x = 0, 1,..., n, @

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. ตัวแปรสุ่มและการแจกแจง
3.1 ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงของ
ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันค่าจริงกำหนดไว้ในพื้นที่ตัวอย่าง ตัวแปรสุ่มเป็นเครื่องมือหลักที่ใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองปริมาณที่ไม่รู้จัก ในการวิเคราะห์ทางสถิติ สำหรับแต่ละตัวแปร X สุ่มและแต่ละชุดของจำนวนจริงเราสามารถ calculeat ความน่าจะเป็นที่ X ใช้ค่าใน A. การสะสมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเหล่านี้คือการกระจายของเอ็กซ์มีสองชั้นเรียนที่สำคัญของการกระจายและตัวแปรสุ่มคือไม่ต่อเนื่อง (ส่วนนี้) และต่อเนื่อง (มาตรา 3.2) การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องเป็นคนที่กำหนดความน่าจะเป็นบวกกับค่าที่แตกต่างที่มากที่สุดหลายวท์ การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องสามารถที่โดดเด่นด้วยฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นของ (pF); ที่ระบุน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้เวลาแต่ละค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน ตัวแปรสุ่มที่มี distridbution ไม่ต่อเนื่องจะได้รับการเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
defintion ของสุ่ม Variabib
พิจารณาการทดลองที่พื้นที่ตัวอย่างที่แสดงโดยเอสฟังก์ชั่นแบบเรียลไทมูลค่าที่กำหนดไว้ในพื้นที่ S จะเรียกว่าตัวแปรสุ่ม . ในคำอื่น ๆ ในการทดลองโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวแปรสุ่ม X จะเป็นฟังก์ชั่นบางอย่างที่กำหนด X จำนวนจริง (s) เพื่อผลที่เป็นไปได้แต่ละ S S.
ตัวอย่าง 3.1.1 โยนเหรียญ พิจารณาการทดลองที่เหรียญถูกโยน 10 ครั้ง ในการทดลองนี้พื้นที่ตัวอย่างที่สามารถถือได้ว่าเป็นชุดของผลลัพธ์ที่ประกอบด้วยลำดับที่แตกต่างจาก 10 หัวและหางที่มีความเป็นไปได้และ X ตัวแปรสุ่มอาจจะเป็นจำนวนของหัวที่ได้รับเมื่อวันที่ 10 กลมๆ ที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละลำดับ S ซึ่งประกอบด้วย 10 หัวและหางตัวแปรสุ่มนี้ก็จะกำหนดจำนวน X (s) ภาพที่ 3.1 กรณีที่ความต้องการของยูทิลิตี้อย่างน้อยหนึ่งอยู่ในระดับสูงเท่ากับจำนวนของหัวในลำดับที่ ดังนั้นหากคือลำดับ HHTTTHTTTH แล้ว X (s) = 4 ตัวอย่าง 3.1.2 เรียกร้องค่าสาธารณูปโภค พิจารณาผู้รับเหมาในตัวอย่างที่ 1.5.2 หน้า 0n 16 ที่มีความกังวลเกี่ยวกับความต้องการใช้น้ำและไฟฟ้าใน compiex สำนักงานใหม่ พื้นที่ตัวอย่างเป็นภาพในรูป 1.5 ในหน้า 11 ของพื้นที่คิดว่าตัวอย่างที่ประกอบด้วยคอลเลกชันของจุดของรูปแบบ (x, y) โดยที่ x คือความต้องการน้ำและ y เป็นความต้องการสำหรับการผลิตไฟฟ้า นั่นคือ S แต่ละจุดคือคู่ S = (x, y) หนึ่งตัวแปรสุ่มที่เป็นที่สนใจในปัญหานี้คือความต้องการน้ำ นี้สามารถแสดงเป็น X (s) = x เมื่อ s = (x, y) อีกตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจคือ Y เท่ากับความต้องการใช้ไฟฟ้าซึ่งสามารถแสดงเป็น Y (s) = y เมื่อ s = (x, y) เป็นไปได้ Z ตัวแปรสุ่มที่สามเป็นตัวบ่งชี้หรือไม่อย่างน้อยหนึ่งมีความต้องการสูง ให้ A และ B เป็นสองเหตุการณ์ที่อธิบายไว้ในตัวอย่างที่ 1.5.2 นั่นคือเป็นกรณีที่ความต้องการน้ำเป็นอย่างน้อย 100 และ B เป็นเหตุการณ์ที่มีความต้องการไฟฟ้าอย่างน้อย 115 กำหนดZ (s) = {█ (1 ถ้าs∈A∪B @ 0 ถ้า S A∪ B. ) ┤ เหตุการณ์ AB จะแสดงในรูป 3.1 ตัวอย่าง 3.1.3 การวัดความสูงของบุคคล พิจารณาการทดลองที่บุคคลจะถูกเลือกโดยการสุ่มจากประชากรบางและความสูงของเธอในนิ้ววัด ความสูงนี้เป็นตัวแปรสุ่มกระจายของตัวแปรสุ่มกระจาย probabilty เมื่อได้รับการระบุไว้ในพื้นที่ตัวอย่างของการทดสอบเราสามารถตรวจสอบการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับค่าที่เป็นไปของแต่ละ X. ตัวแปรสุ่มให้เป็นส่วนหนึ่งของ บรรทัดที่แท้จริงและให้ Pr (XA) แสดงว่าน่าจะเป็นที่ค่าของ X จะเป็นของกลุ่มเอจากนั้น Pr (XA) มีค่าเท่ากับความน่าจะเป็นที่ผลของการทดลองจะเป็นเช่นที่ X (s) A. ในสัญลักษณ์รูป 3.2 กรณีที่ความต้องการน้ำอยู่ระหว่าง 50 และ 175 ตัวอย่าง 3.1.4 โยนเหรียญ พิจารณาอีกครั้งการทดลองที่เหรียญถูกโยน 10 ครั้งและให้ X เป็นหมายเลขของหัวที่จะได้รับ ในการทดลองนี้มีค่าเป็นไปได้ของ X เป็น 0,1,2, ... , 10; และตามที่อธิบายไว้ในตัวอย่างที่ 1.8.3 ในหน้า 30, Pr (x = x) = (10|x) 1/2 ^ 10 x = 0,1,2, ... , 10 ตัวอย่าง 3.1.5 เรียกร้องค่าสาธารณูปโภค . ในตัวอย่างที่ 1.5.2 เราคำนวณจริงคุณสมบัติบางอย่างของการกระจายของทั้งสาม varibles X สุ่ม Y และ Z ที่กำหนดไว้ในตัวอย่าง 3.1.2 ตัวอย่างเช่นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหมายถึงกรณีที่ความต้องการน้ำเป็นอย่างน้อย 100 ที่สามารถแสดงเป็นและ Pr (A) = 0.5102 ซึ่งหมายความว่า การกระจายตัวของ X ประกอบด้วยความน่าจะเป็นทั้งหมดของ Pr รูปแบบ (XC) สำหรับทุกชุด C ของจำนวนจริง เหล่านี้สามารถตอบรับการคำนวณในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการคำนวณของ PR (A) ในตัวอย่างที่ 1.5.2 โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า C เป็นส่วนหนึ่งของช่วง [4,200] กว่า Pr (X C) = ((150-1) × (ความยาวของชุด C) / 29,204. (3.1.1) ตัวอย่างเช่นถ้าซี ช่วง [50175] กว่าความยาวของมันคือ 125 และ Pr (XC) = 149x125 / 29,204 = 0.6378. ย่อยของพื้นที่ตัวอย่างที่มีความน่าจะเป็นเพียงการคำนวณจะถูกดึงมาใน Fig.3.2 ไม่ต่อเนื่อง Disteibutions มันบอกว่าตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องหรือ X ที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถ้า X สามารถใช้เวลาเพียง k จำนวน จำกัด ของค่าที่แตกต่างหรืออย่างมากที่สุดลำดับอนันต์ของค่าที่แตกต่างกันตัวแปรสุ่มที่สามารถใช้ค่าในช่วงที่เรียกว่าทุกอย่างต่อเนื่องและ จะกล่าวถึงในมาตรา 3.2. หากตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องโดยสิ้นเชิง funcyion ความน่าจะเป็น (pF ย่อ) ของ X ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชัน f เช่นว่าสำหรับทุกจำนวนจริง x, f (x) = Pr (X = x ) สำหรับ x ทุกจุดที่ไม่ได้เป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปของ x จะเห็นว่า f (x) = 0 นอกจากนี้. ถ้าลำดับรวมถึงทุกค่าที่เป็นไปของ X กว่าผิดปกติ pF เป็นร่างในรูป 3.3 ซึ่งแต่ละส่วนแนวตั้งรูป 3.3 ตัวอย่างของ pF แสดงให้เห็นถึงความคุ้มค่าของ f (x) ที่สอดคล้องกับค่า x ที่เป็นไปได้ ผลรวมของความสูงของส่วนแนวตั้งในรูป 3.3 ต้องเป็น 1 ถ้า x มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องน่าจะเป็นของแต่ละส่วนของสายจริงสามารถตรวจสอบได้จากความสัมพันธ์ตัวอย่าง 3.1.6 เรียกร้องค่าสาธารณูปโภค Z ตัวแปรสุ่มในตัวอย่างที่ 3.1.2 เท่ากับ 1 ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในความต้องการของยูทิลิตี้สูงและ Z = 0 หากมีความต้องการไม่สูง ตั้งแต่ Z ใช้เวลาเพียงสองค่าที่แตกต่างกันก็มีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง โปรดทราบว่า {s: Z (s) = 1} = AB, whewe A และ B จะมีการกำหนดในตัวอย่างที่ 1.5.2 เราคำนวณ Pr (AB) = 0.65253 ในตัวอย่างที่ 1.5.2 หาก Z มี pF ฉกว่าF (Z) = {█ (0.65253 ถ้า Z = 1 @ 0.34747 ถ้า Z = 0, @ 0 อื่น ๆ ) ┤ บางตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงที่ปรากฏบ่อยว่าการกระจายจะได้รับชื่อ ตัวอย่างเช่น Z ตัวแปรสุ่มที่ใช้เวลาเพียงสองค่า 0 และ 1 กับ Pr (Z = 1) = P (เช่น Z ในตัวอย่างที่ 3.1.6 กับ p = 0.65252) มีการกระจาย Bernoulli กับพารามิเตอร์ P เราสรุปได้ส่วนนี้มีภาพประกอบของทั้งสองการแจกแจงแยกเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นมักจะการกระจายชุดในจำนวนเต็มสมมติว่าค่าของตัวแปรสุ่ม X เป็นอย่างเท่าเทียมกันน่าจะเป็นของแต่ละจำนวนเต็ม k 1,2 ,, ... , k จากนั้น pF ของ X มีดังนี้f (x) = {█ (. 1 / K สำหรับ x = 1,2, ... , K, @ 0 อื่น ๆ ) ┤ นี้จัดจำหน่ายโดยสิ้นเชิงที่เรียกว่าการกระจายชุดในจำนวนเต็ม 1 2, ... , k ถ้าแสดงให้เห็นถึงผลของการทดลองที่มักจะถูกอธิบายโดยบอกว่าหนึ่งของจำนวนเต็ม 1,2, .. , k ถูกเลือกโดยการสุ่ม ในบริบทนี้ phrandom "หมายความว่าแต่ละของจำนวนเต็ม k เป็นอย่างเท่าเทียมกันมีแนวโน้มที่จะได้รับการแต่งตั้ง ในความรู้สึกเดียวกันนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกตัวเลขสุ่มจากชุดของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะ assing probabilly เดียวกันกับทุกคนของจำนวนเต็ม postive และยังคงให้ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากับ o ฉัน . ในคำอื่น ๆ กระจายสม่ำเสมอไม่สามารถมอบหมายให้ลำดับอนันต์ของค่าที่เป็นไปได้ แต่การกระจายดังกล่าวสามารถกำหนดให้ลำดับ จำกัด ใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นเรื่องง่ายที่จะขยายการกระจายชุดทุกลำดับ จำกัด ของจำนวนเต็มติดต่อกันตัวอย่าง 3.1.7 จำนวนวัน รัฐจับสลากเกมที่นิยมต้องใช้ผู้ฝึกอบรมเพื่อเลือกหมายเลขสามหลัก (ชั้นนำ Os ได้รับอนุญาต) แล้วสามลูกแต่ละคนมีหนึ่งหลักจะเลือกโดยการสุ่มจากชามที่ผสม พื้นที่ตัวอย่างที่นี่ประกอบไปด้วย triples ทั้งหมดที่สำหรับ J = 1,2,3 ถ้า s = กำหนด X (s) = ตัวอย่างเช่น X (0,1,5) = 15 มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า Pr (x = x) = 0.001 สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม จัดจำหน่ายอุปกรณ์ของ X เป็นชุดในจำนวนเต็ม 0,1, ... , 999 หมายเหตุ: ตัวแปรสุ่มสามารถมีการกระจายเดียวกันโดยไม่ต้องเป็นตัวแปรสุ่มเดียวกัน พิจารณาสองจำนวนวันติดต่อกันดึงดังตัวอย่างที่ 3.1.7 พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยทั้งหมด 6 tuples ที่แรกพิกัดสามมีจำนวนวาดในวันแรกและครั้งที่สามเป็นตัวเลขที่วาดในวันที่สอง (ทั้งหมดเพื่อวาด) ถ้า s = ให้และให้ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าและมีฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันและไม่ได้ตัวแปรสุ่มเดียวกัน อันที่จริงมีเพียงความน่าจะเป็นขนาดเล็กที่พวกเขาจะใช้ค่าเดียวกัน แต่พวกเขามีการกระจายเหมือนกันเพราะพวกเขาคิดค่าเดียวกันกับความน่าจะเป็นที่เดียวกัน หากธุรกิจมีลูกค้า 1,000 หมายเลข 0, ... , 999, และเขาเลือกหนึ่งที่สุ่มและบันทึกจำนวน Y กระจายของ Y จะเป็นเช่นเดียวกับการกระจายตัวของและ แต่ Y ไม่ชอบหรือในลักษณะอื่นใด . การกระจาย Binomal สมมติว่าเครื่องผลิตบางรายการที่มีข้อบกพร่องบอด proability ของ P (0




















































ตัวอย่างนี้จะคล้ายกับตัวอย่าง 2.2.4 ในหน้า 59
สำหรับ x = 0,1, ... , N, ความน่าจะเป็นของการได้รับในแต่ละลำดับคำสั่งเฉพาะของ n รายการที่มีว่า x defectives และ nondefectives NX เป็น เนื่องจากมีความแตกต่างกันสั่งลำดับของประเภทนี้มันตามที่
pr (X = x) =
ดังนั้น pF ของ X จะเป็นดังนี้:
f (x) = {█ ((n|p) P ^ ^ XQ ( NX) สำหรับ x = 0,1, ... , N, @

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงตัวแปรสุ่มและการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง 3.1

ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดไว้ มีพื้นที่ ตัวแปรสุ่มเป็นเครื่องมือหลักที่ใช้สำหรับการจำลองปริมาณที่ไม่รู้จัก ในการวิเคราะห์ทางสถิติ สำหรับแต่ละตัวแปร x และแต่ละชุดของตัวเลขที่แท้จริง เราอาจ calculeat ความน่าจะเป็นที่ใช้ค่าของ x ใน .คอลเลกชันของความน่าจะเป็นทั้งหมดเหล่านี้คือการกระจายของ X มีสองชั้นเรียนที่สำคัญของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและ : ( ส่วนนี้ ) และอย่างต่อเนื่อง ( มาตรา 3 ) การแจกแจงไม่ต่อเนื่องที่กำหนดความน่าจะเป็นบวกที่แตกต่างกัน countably ค่ามากที่สุด การแจกแจงไม่ต่อเนื่องสามารถโดดเด่นด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ ( p.f )ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มใช้ของแต่ละที่แตกต่างกันเป็นไปได้ค่า ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องด้วย distridbution จะเรียกว่าต่อเนื่องตัวแปรสุ่ม .
นิยามของการสุ่ม variabib
พิจารณาการทดลองที่พื้นที่ตัวอย่างเขียนโดย เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่นิยามบนของพื้นที่ เรียกว่า ตัวแปรเชิงสุ่ม ในคำอื่น ๆในเฉพาะการทดลองสุ่มตัวแปร x จะบางฟังก์ชันที่กำหนดจำนวนจริง x ( S ) S .
ตัวอย่างผลที่เป็นไปได้ในแต่ละ 3.1.1 โยนเหรียญ พิจารณาการทดลองที่เหรียญโยน 10 ครั้ง ในการทดลองนี้พื้นที่ตัวอย่างสามารถถือได้ว่าเป็นชุดของผลลัพธ์ ประกอบด้วย ลำดับที่แตกต่างกัน 10 หัวและหางที่เป็นไปได้และตัวแปรสุ่ม X เป็นจำนวนหัวที่โยนได้ 10 . เป็นไปได้สำหรับแต่ละลำดับ S ประกอบด้วย 10 หัวและหาง ตัวแปรนี้จะกำหนดจำนวน X ( s )



รูปที่ 3.1 เหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งโปรแกรมความต้องการสูง
เท่ากับจำนวนของหัว ในลำดับ ดังนั้น ถ้าเป็นลำดับ hhttthttth แล้ว x ( s ) = 4 .
ตัวอย่าง 1 .2 ความต้องการสาธารณูปโภค พิจารณาผู้รับเหมาในตัวอย่าง 1.5.2 ในหน้า 16 ที่มีความกังวลเกี่ยวกับความต้องการน้ำและไฟฟ้าใน compiex สำนักงานใหม่ พื้นที่ตัวอย่างคือภาพในรูปที่ 1.5 บนหน้า 11 คิดว่าของพื้นที่ตัวอย่างที่ประกอบด้วยชุดของจุดของแบบฟอร์ม ( X , Y ) , โดยที่ x มีความต้องการน้ำและ Y คือความต้องการไฟฟ้า นั่นคือแต่ละจุดของการเป็นคู่ S = ( x , y ) ตัวแปรสุ่มตัวเดียวที่สนใจในปัญหานี้คือความต้องการน้ำ นี้สามารถแสดงเป็น X ( s ) = x เมื่อ s = ( x , y ) สุ่มตัวแปรอีกตัวหนึ่งที่น่าสนใจคือ Y เท่ากับความต้องการใช้ไฟฟ้าซึ่งสามารถแสดงเป็น Y ( s ) = y เมื่อ s = ( x , y ) เป็นไปได้ที่สามเป็นตัวแปรสุ่ม z เป็นตัวบ่งชี้หรือไม่อย่างน้อยหนึ่งมีความต้องการสูงให้ A และ B เป็นสองเหตุการณ์ที่อธิบายไว้ในตัวอย่าง 1.5.2 . นั่นคือ เป็นเหตุการณ์ที่ต้องการน้ำอย่างน้อย 100 , และ B เป็นเหตุการณ์ที่ความต้องการไฟฟ้าอย่างน้อย 115 . กําหนด
Z ( s ) = { █ ( 1 ถ้า∈เป็น∪ B , @ 0 ถ้าเป็น∪พ. ) ┤
เหตุการณ์ B จะแสดงในรูปที่ 3.1 .
ตัวอย่าง 3.1.3 การวัดความสูงของคนพิจารณาการทดลองซึ่งคนถูกเลือกโดยการสุ่มจากประชากร และความสูงในนิ้ววัด . ความสูงเป็นตัวแปรสุ่ม


การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม
เมื่อ probabilty กระจายได้ถูกระบุไว้ในปริภูมิตัวอย่างของการทดลอง เราสามารถหาค่าความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ของแต่ละตัวแปรสุ่ม Xปล่อยให้เป็นสับเซตของเส้นจริง และให้ประชาสัมพันธ์ ( X ) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ค่าของ X จะอยู่ในเซตย่อย A แล้ว PR ( X ) เท่ากับความน่าจะเป็นว่า ผลของการทดลองจะเป็นเช่นว่า X ( s ) a .

ในรูปของสัญลักษณ์

รูปที่ 2 เหตุการณ์ที่ความต้องการน้ำระหว่าง 50 และ 175
ตัวอย่าง 3.1.4 โยนเหรียญพิจารณาอีกครั้งในการทดลองซึ่งเป็นเหรียญที่โยน 10 ครั้ง และให้ x เป็นจำนวนหัวที่ได้รับ ในการทดลองนี้ได้ค่า x จะ 0,1,2 , . . . , 10 ; และ , ตามที่อธิบายไว้ในตัวอย่าง 1.8.3 บนหน้า 30
PR ( x = x = ( 10 ¦ X ) 1 / 2
10 x = 0,1,2 , . . . , 10
ตัวอย่าง 3.1.5 ความต้องการสาธารณูปโภค ในตัวอย่าง 1.5.2 ,ที่จริงเราคำนวณคุณลักษณะบางอย่างของการกระจายของทรัพยากร 3 สุ่ม X , Y และ Z ที่กำหนดไว้ในตัวอย่างการศึกษา . ตัวอย่างเช่น กรณีกำหนดเป็นเหตุการณ์ที่ต้องการน้ำอย่างน้อย 100 สามารถแสดงเป็น และ PR ( ) = 0.5102 . นี้หมายความว่า . การกระจายของความน่าจะเป็นของ X ประกอบด้วยแบบฟอร์ม pr ( X C ) ทุกชุด C ของจำนวนจริงเหล่านี้สามารถคำนวณได้ในลักษณะคล้ายคลึงกับการคำนวณของ PR ( ) ในตัวอย่าง 1.5.2 . โดยเฉพาะถ้า C เป็นเซตย่อยของช่วงเวลา [ 200 ] ,
PR ( X C ) = ( ( 150-1 ) × ( ความยาวของชุด C ) / 29204 . ( 3.1.1 )
ตัวอย่างเช่นถ้า C คือช่วงเวลา [ 50175 ] กว่าความยาว 125 และ PR ( X ( C ) = 149x125 / 29204 = 0.6378 .มีเซตย่อยของปริภูมิตัวอย่างที่มีความน่าจะเป็นแค่คำนวณถูกวาดใน fig.3.2

ไม่ต่อเนื่อง disteibutions
มันบอกว่าสุ่มตัวแปร x มีชนิดการกระจายหรือ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ถ้า X สามารถใช้เพียงจำกัดเลขที่ K ของค่าต่าง ๆหรือ มากที่สุดเป็นลำดับอนันต์ของค่าที่แตกต่างกันตัวแปรสุ่มที่สามารถใช้ทุกค่าในช่วงจะเรียกว่าอย่างต่อเนื่องและจะกล่าวถึงในมาตรา 3.2 . ถ้าตัวแปรสุ่ม X ได้ไม่ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่องการแจกแจงความน่าจะเป็น funcyion ( ย่อ p.f ) ของ x หมายถึงฟังก์ชัน f เช่นว่าสำหรับทุกจำนวนจริง x ,
f ( x ) = PR ( X =
X )สำหรับทุกจุด X ที่ไม่หนึ่งของค่าที่เป็นไปได้ของ X จะเห็นได้ว่า f ( x ) = 0 นอกจากนี้ ถ้าลำดับรวมถึงทุกค่าที่เป็นไปได้ของ X กว่าผิดปรกติ p.f. ถูกร่างในรูปที่ 3.3 ซึ่งในแต่ละส่วนตามแนวตั้ง






รูปที่ 3.3 ตัวอย่างของ p.f.
หมายถึงค่าของ f ( x ) ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ . ผลรวมของความสูงของส่วนแนวตั้ง ในรูปที่ 33 ต้อง 1 .
ถ้า x มีการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของแต่ละส่วนย่อยของจริงบรรทัดสามารถหาได้จากความสัมพันธ์

ตัวอย่าง 3.1.6 ความต้องการสาธารณูปโภค สุ่มตัวแปร Z ในตัวอย่างการศึกษามีค่า 1 ถ้าอย่างน้อยหนึ่งของสาธารณูปโภคความต้องการสูง , และ z = 0 ถ้าไม่มีความต้องการมีสูง ตั้งแต่ Z จะใช้เวลาเพียงสองค่าต่าง ๆมันมีการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ทราบว่า { S :Z ( s ) = 1 } = B , whewe A และ B ที่กําหนดไว้ในตัวอย่าง 1.5.2 . เราคำนวณราคา ( B ) = 0.65253 ในตัวอย่าง 1.5.2 . ถ้า Z มี p.f. F ,
f ( z ) = { █ ( 0.65253 ถ้า Z = 1 , @0.34747 ถ้า Z = 0 @ 0 มิฉะนั้น ) ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจง┤
บางส่วนที่ปรากฏบ่อยครั้งว่า การจะได้รับชื่อ ตัวอย่างเช่นเป็นตัวแปรสุ่ม z ที่ใช้เวลาเพียงสองค่า 0 และ 1 กับ PR ( Z = 1 ) = P ( เช่นในตัวอย่าง 3.1.6 Z p = 0.65252 ) มีการแจกแจงเบอร์นูลีกับพารามิเตอร์หน้าเราสรุปในส่วนนี้มีภาพประกอบสองเพิ่มเติมต่อเนื่องการแจกแจงที่เกิดขึ้นบ่อยๆ

จำหน่าย
ชุดจำนวนเต็มสมมติว่าค่าของตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะได้รับของแต่ละ k จำนวนเต็ม 1 , 2 , . . . . . . . . แล้ว p.f. X จะเป็นดังนี้ :
f ( x ) = { █ ( 1 / K x = 1 , 2 , . . . , k , @ 0 มิฉะนั้น┤


) การแจกแจงไม่ต่อเนื่องนี้เรียกว่าการแจกแจงเอกรูปบนจำนวนเต็ม 1 , 2 . . . . . . . . ถ้าแสดงผลการทดลองที่มักอธิบายว่าเป็นจำนวนเต็ม 1 , 2 , . . .K จะเลือกสุ่ม ในบริบทนี้ phrandom " หมายความว่าแต่ละของ k จำนวนเต็มมีโอกาสเท่าเทียมกันที่จะถูกเลือก ในความรู้สึกนี้เหมือนกัน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเลือกจำนวนเต็มแบบสุ่มจากเซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เพราะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะ assing เหมือนกัน probabilly ทุกหนึ่งของจำนวนเต็มประจำ และยังทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากับ O . ในคำอื่น ๆไม่มีการแจกแจงได้รับมอบหมายเป็นลำดับอนันต์ของค่าเป็นไปได้ แต่การได้รับมอบหมายให้ทำงานในลำดับใด ๆ . โดยเฉพาะมันเป็นเรื่องง่ายที่จะขยายการกระจายสม่ำเสมอทุก ๆลำดับของจำนวนเต็มติดต่อกัน .
ตัวอย่าง 3.1.7 ทุกวัน เบอร์ ที่เป็นที่นิยมเกมต้อง partcipants หวยบนดินเพื่อเลือกหมายเลขสามหลัก ( นำ OS ได้รับอนุญาต )แล้วสามลูกละหนึ่งหลักถูกเลือกโดยการสุ่มจากชามผสมด้วย พื้นที่ตัวอย่างที่นี่ประกอบด้วยอเนกประสงค์ซึ่ง j = 1 , 2 , 3 ถ้า S = กำหนด x ( s ) = . ตัวอย่างเช่น x ( 0,1,5 ) = 15 มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า PR ( x = x = 0.001 สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม การ distrion ของ X คือเครื่องแบบเต็มพิล . . . 999 .
หมายเหตุ :ตัวแปรสุ่มมีการกระจายเดียวกันโดยไม่มีตัวแปรเดียวกัน พิจารณาสองติดต่อกันทุกวัน เลขที่วาดในตัวอย่าง 3.1.7 . ตัวอย่างพื้นที่ประกอบด้วย 6-tuples ที่ 3 พิกัดแรกเป็นเลขที่วาดในวันแรกและสุดท้ายสามตัวเลขที่วาดในวันที่สอง ( ในการวาด ) ถ้า S = ให้และให้ .มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าและฟังก์ชันต่าง ๆของ s และไม่ใช่ตัวแปรเดียวกัน จริงๆแล้ว มันเป็นเพียงเล็ก ๆ โอกาสที่พวกเขาจะค่าเดียวกัน แต่พวกเขามีการกระจายเดียวกันเพราะพวกเขาถือว่าเป็นค่าเดียวกันกับปัญหาเดียวกัน ถ้าเป็นนักธุรกิจได้ 1000 ลูกค้าหมายเลข 0 , . . . , 999 , และเขาเลือกหนึ่งที่สุ่มและบันทึกหมายเลข Y ,การกระจายของ Y จะเป็นเช่นเดียวกับการกระจายของ และของ แต่ Y ไม่เหมือน หรือในลักษณะอื่นใด


จำหน่าย binomal สมมติว่าเครื่องบาง ผลิตสินค้าที่บกพร่อง ith proability P ( 0 < p < 1 ) และผลิตรายการ nondefective กับความน่าจะเป็นของ Q = 1-p. สมมติต่อไปว่ารายการอิสระที่ผลิตโดยอัตราการขัดข้อง จะ ตรวจ สอบและให้ x แทนจำนวนของสินค้าเหล่านี้ที่บกพร่อง จากนั้นตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง และเป็นไปได้ที่ค่า x จะเป็น 0,1,2 , . . . , N .
ตัวอย่างนี้จะคล้ายกับตัวอย่าง 2.2.4 บนหน้า 59
สำหรับ x = 0.1 , . . . , n , ความน่าจะเป็นของการได้รับแต่ละคำสั่งลำดับ n รายการที่มีกระบวนการผลิต n-x ตรง X และ nondefectives คืออะไรเนื่องจากมีหลายคำสั่ง ลำดับ ประเภทนี้ มันเป็นไปตามที่
PR ( x = x = .
ดังนั้น p.f. ของ x จะเป็นดังนี้ :
f ( x ) = { ( N ¦█ ( P ) P
x q
( n-x ) x = 0.1 , . . . , n @