The transformed boundary-value prob

The transformed boundary-value problem for the unknown height h above the flat bed is

Equation (24)
for h even and periodic of period in the q-variable. Since in our approach, depending on the context, it is advantageous to use either the moving frame or the conformal coordinates, let us record for further use the formulas

Equation (25)
and

Equation (26)
where

Equation (27)
and

Equation (28)
2.2. Basic properties of the velocity field
Let us now derive some basic properties of the velocity field beneath a Stokes wave with a non-flat free surface. In the fluid region


beneath the free surface and above the flat bed , delimited laterally by the crest line x = 0 and the trough line , (9) and (11) ensure that v is a harmonic function. Since for , from (13) and (19) we infer that for . Since by (12), the strong maximum principle (see [10]) yields that in the interior of . By anti-symmetry, in the fluid region


obtained by reflection of in the crest line, while v = 0 on the crest and trough lines. These considerations provide us with the sign of the vertical fluid velocity component in the moving frame (x, y) in which the flow is steady, and, due to (7)–(8), also when one takes into account variations in time in the physical frame (X, Y) through which the waves are moving; see figure 3.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหาค่าขอบเขตแปรรูปสำหรับ h ไม่รู้จักสูงเหนือเตียงแบนสมการ (24)สำหรับ h แม้ และงวดของรอบระยะเวลาตัวแปร q เนื่องจากในวิธีการของเรา ขึ้นอยู่กับบริบท ประโยชน์ของการใช้กรอบการเคลื่อนไหวหรือพิกัด conformal ให้เราบันทึกการใช้สูตรสมการ (25)และสมการ (26)ซึ่งสมการ (27)และสมการ (28)2.2. พื้นฐานคุณสมบัติของฟิลด์ความเร็วให้เรามาบางคุณสมบัติพื้นฐานของฟิลด์ความเร็วใต้คลื่นสโตกส์มีพื้นผิวแบนไม่ใช่ฟรีตอนนี้ ในภาคของเหลวใต้ผิวน้ำฟรี และ ข้างเตียงแบน คั่นแนวนอนบรรทัดเครสท์ x = 0 และรางบรรทัด, (9) และ (11) ให้ v ที่ ฟังก์ชันมีค่า เนื่องจาก (13) และ (19) เราเข้าใจว่าสำหรับการ ตั้งแต่ตาม (12), หลักการสูงสุดแข็งแกร่ง (ดู [10]) ทำให้ที่ในภายในของการ โดยต่อต้านสมมาตร ในภาคของเหลวรับ โดยสะท้อนในบรรทัดยอด ในขณะที่ v = 0 บรรทัดเครสท์และราง ข้อควรพิจารณาเหล่านี้ให้กับเครื่องหมายของคอมโพเนนต์แนวตั้งความเร็วที่ของเหลวในย้ายเฟรม (x, y) ซึ่งการไหลคือ steady และ ครบกำหนด (7)–(8) ยัง เมื่อหนึ่งจะเป็นรูปแบบของบัญชีในเวลาจริงเฟรม (X, Y) ซึ่งคลื่นย้าย ดูรูป 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหาเปลี่ยนค่าขอบเขตสำหรับความสูงของเอชที่ไม่รู้จักเหนือเตียงแบนเป็นสมการที่ (24) สำหรับเอชได้และระยะของระยะเวลาในคิวตัวแปร เนื่องจากในวิธีการของเราขึ้นอยู่กับบริบทมันเป็นประโยชน์ที่จะใช้ทั้งกรอบการเคลื่อนไหวหรือพิกัดมาตราส่วนให้เราบันทึกต่อการใช้สูตรสมการ (25) และสมการที่ (26) ที่สมการ (27) และสมการ (28 ) 2.2 คุณสมบัติพื้นฐานของสนามความเร็วให้เราได้รับมาบางคุณสมบัติพื้นฐานของสนามความเร็วใต้คลื่นคส์ที่มีพื้นผิวฟรีไม่แบน ในภูมิภาคของเหลวใต้พื้นผิวฟรีและเหนือเตียงแบนคั่นขวางเส้นยอด x = 0 และสายราง (9) และ (11) ให้แน่ใจว่าโวลต์เป็นฟังก์ชั่นฮาร์โมนิ ตั้งแต่จาก (13) และ (19) เราสรุปว่า โดยตั้งแต่ (12) หลักการสูงสุดที่แข็งแกร่ง (ดู [10]) อัตราผลตอบแทนที่อยู่ในการตกแต่งภายในของ โดยต่อต้านสมมาตรในภูมิภาคของเหลวที่ได้จากการสะท้อนของยอดในสายในขณะที่วี = 0 บนยอดและเส้นราง พิจารณาเหล่านี้ให้เรามีสัญญาณขององค์ประกอบความเร็วของไหลในแนวตั้งกรอบการเคลื่อนไหว (x, y) ซึ่งไหลเป็นอย่างต่อเนื่องและเนื่องจาก (7) - (8) ยังเป็นที่เมื่อจะเข้าสู่การเปลี่ยนแปลงบัญชีในเวลา ในกรอบทางกายภาพ (X, Y) โดยที่คลื่นกำลังจะย้าย; ดูรูปที่ 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เปลี่ยนปัญหาค่าขอบสำหรับไม่ทราบความสูง H เหนือเตียงแบนเป็นสมการ ( 24 )


สำหรับ H และธาตุของระยะเวลาใน q-variable . เนื่องจากในแนวทางของเรา ขึ้นอยู่กับบริบท มันเป็นประโยชน์ที่จะใช้ทั้งกรอบหรือพิกัด conformal , ให้เราบันทึกไปใช้สูตรสมการ ( 25 )




( 26 ) และสมการสมการที่





( 27 ) และสมการ ( 28 )
2.2 . คุณสมบัติพื้นฐานของข้อมูลความเร็ว
บัดนี้ให้เราสืบทอดคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างของความเร็วด้านใต้ สโตคส์คลื่นด้วย ไม่ใช่แบนพื้นผิวฟรี ในของไหลภาค


ใต้พื้นผิวฟรีและด้านบนแบนเตียง , ที่คั่นแนวนอน โดยยอดบรรทัด x = 0 และ รางสาย ( 9 ) และ ( 10 ) ตรวจสอบให้แน่ใจว่า V เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิ ตั้งแต่สำหรับ( 13 ) และ ( 19 ) เราสรุปได้ว่าสำหรับ ตั้งแต่ ( 12 ) , หลักการสูงสุดที่แข็งแกร่ง ( ดู [ 10 ] ) ผลผลิตในการตกแต่งภายในของ โดย Anti สมมาตรในของเหลวเขต


ได้รับการสะท้อนในเส้นยอดในขณะที่ V = 0 บนยอด และ รางสาย การพิจารณาเหล่านี้ให้เรา มีร่องรอยของแนวตั้งความเร็วของไหลส่วนประกอบในกรอบ ( x , y ) ซึ่งในการไหลคงที่และเนื่องจาก ( 7 ) และ ( 8 ) นอกจากนี้ เมื่อคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงเวลาในกรอบทางกายภาพ ( x , y ) ที่คลื่นเคลื่อนที่ เห็นในรูปที่ 3