for n ≥ n0. Now, from |yn+t − yn| ≤

for n ≥ n0. Now, from |yn+t − yn| ≤ √2 + |ν| and |α1| > 1 it follows that the
coefficient for αn
1 must be zero, i.e., ξ(αt − 1) − F(α)=0. Thus ξ ∈ Q(α, i).
Similarly, F(αj ) = 0 for each j ∈ {2,...,d} such that |αj | > 1. We claim that
no such j exists. Indeed, if there is an index j ∈ {2,...,d} for which |αj | > 1
then F(αj )=0. Since F is a polynomial with coefficients in Q(i), this implies
that F(α1)=0. So ξ = F(α)/(αt − 1) = 0, a contradiction.
It follows that the sequence s1, s2, s3,... can be ultimately periodic only
if α is an algebraic integer whose conjugates over Q(i) except for α itself all
lie in the unit disc |z| ≤ 1 and ξ ∈ Q(α, i). Therefore, under assumptions of
Theorem 1.1, the sequence (2.2) is not ultimately periodic.
3. Proof of Theorem 1.1. Suppose first that (P∗) ≤ (P). By the definition
of (P∗), for every  > 0, there is a monic polynomial Q(z) := zm + b1zm−1 +
··· + bm with complex coefficients such that L(P∗Q) ≤ (P∗) + . Clearly,
L(P∗Q) = L(P Q∗), where Q∗(z) = bmzm + ··· + b1z + 1. Put R := P Q∗ and,
for convenience of notation, b0 := 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สำหรับ n ≥ n0 ตอนนี้ จาก |yn + t − yn| ≤ √2 + |ν| และ |α1| > 1 เป็นไปตามที่การสัมประสิทธิ์สำหรับ αn1 ต้องเป็นศูนย์ (αt − 1) ξ− F (ด้วยกองทัพ) เช่น = 0 จึงξ∈ Q(α, i)ในทำนองเดียวกัน F (αj) = 0 สำหรับแต่ละเจ∈ {2,..., d } ที่ |αj | > 1 เราอ้างว่าไม่เจดังกล่าวแล้ว แน่นอน ถ้ามีเจมีดัชนี∈ {2,..., d } สำหรับที่ |αj | > 1แล้ว F (αj) = 0 เนื่องจาก F เป็นพหุนามที่ มีสัมประสิทธิ์ใน Q(i) นี้หมายถึงที่ F (α1) = 0 ดังนั้นξ = F (ด้วยกองทัพ) /(αt − 1) = 0 ความขัดแย้งเป็นไปตามที่ลำดับ s1, s2, s3,...สามารถสุดงวดเท่านั้นว่าด้วยกองทัพ จำนวนเต็มพีชคณิตที่มี conjugates มากกว่า Q(i) ยกเว้นด้วยกองทัพตัวเองทั้งหมดอยู่ใน |z| ดิสก์หน่วย ≤ 1 และξ∈ Q(α, i) ดังนั้น ภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีบทที่ 1.1 ลำดับที่ (2.2) ได้เป็นครั้งคราวในที่สุด3. หลักฐานของทฤษฎีบทที่ 1.1 สมมติก่อนที่≤ (P∗) (P) ตามนิยามของ (P∗), สำหรับทุก > 0 มี Q(z) เป็นพหุนาม monic: = zm + b1zm−1 +··· + bm กับซับซ้อนเช่นสัมประสิทธิ์ที่≤ L(P∗Q) (P∗) + อย่างชัดเจนL(P∗Q) = L (P Q∗), ที่ Q∗(z) = bmzm + ··· + b1z + 1 ย้าย R: = P Q∗ และเพื่อความสะดวกของสัญกรณ์ b0: = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สำหรับ n ≥ n0 ขณะนี้จาก | yn + T - yn | ≤√2 + | ν | และ | α1 | > 1
เป็นไปตามที่ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับαn
1 ต้องเป็นศูนย์คือξ (αt - 1) - F (α) = 0 ดังนั้นξ∈ Q (α, i).
ในทำนองเดียวกัน F (αj) = 0 สำหรับแต่ละญ∈ {2, ... , d} เช่นที่ | αj | > 1.
เราอ้างว่าไม่มีเจอยู่เช่น อันที่จริงถ้ามีดัชนีเจ∈ {2, ... , d} ซึ่ง | αj | > 1
แล้ว F (αj) = 0 ตั้งแต่ F เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ใน Q (i)
นี้หมายถึงว่าF (α1) = 0 ดังนั้นξ = F (α) /. (αt - 1) = 0,
ความขัดแย้งมันตามที่ลำดับs1, s2, s3 ... อาจจะเป็นระยะ ๆ
ในที่สุดเท่านั้นถ้าαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตที่มีconjugates มากกว่า Q (i )
ยกเว้นแอลฟาตัวเองทั้งหมดโกหกในแผ่นดิสก์หน่วย| Z | ≤ 1 และξ∈ Q (α, i) ดังนั้นภายใต้สมมติฐานของทฤษฎีบท 1.1 ตามลำดับ (2.2) ไม่ได้เป็นระยะ ๆ ในที่สุด. 3 หลักฐานการทฤษฎีบท 1.1 สมมติว่าเป็นครั้งแรกที่? (P *) ≤? (P) ตามคำนิยามของ? (P *) สำหรับทุกครั้งหรือไม่ > 0 มีพหุนาม monic Q (ซี) = zm + b1zm-1 +? ··· + BM มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนดังกล่าวว่า L (P * Q) ≤ (P *) + เห็นได้ชัดว่าL (P * Q) = L (PQ *) ที่ Q * (ซี) = bmzm ··· + + + 1 b1z ใส่ R = PQ * และเพื่อความสะดวกของสัญกรณ์, b0 = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สำหรับ n ≥ NO . ตอนนี้ จาก | ใน T −ใน | ≤√ 2 | และν | | α 1 | > 1 มันดังต่อไปนี้ว่าสัมประสิทธิ์α
n
1 ต้องเป็น ศูนย์ คือ ξ ( α T −− 1 ) f ( α ) = 0 ดังนั้นξ∈ Q ( αผม )
เหมือนกับ , f ( α J ) = 0 สำหรับแต่ละเจ ∈ { D } , 2 . . . . . . . เช่นที่ | α J | 1 เราอ้างว่า
ไม่มี J อยู่ แน่นอน หากมีดัชนี∈ J { 2 , . . . , D } ซึ่ง | α J | > 1
แล้ว f ( α J ) = 0เนื่องจากเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ใน F ( , q ) f ( αนี้บาง
ที่ 1 ) = 0 ดังนั้นξ = F ( α ) / ( α T − 1 ) = 0 , ความขัดแย้ง .
มันดังต่อไปนี้ว่าลำดับ S1 , S2 , S3 , . . . สามารถในที่สุดธาตุเท่านั้น
ถ้าαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตที่มีสารประกอบมากกว่า Q ( i ) ยกเว้นαตัวเองโกหก
ในหน่วยดิสก์ | Z | ≤ 1 และξ∈ Q ( α ฉัน ) ดังนั้น ภายใต้สมมติฐานของ
ทฤษฎีบท 1.1 ลำดับ ( 22 ) ไม่สุด ๆ .
3 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1.1 . สมมติก่อนว่า  ( P ∗ ) ≤  ( P ) โดยนิยามของ 
( P ∗ ) สำหรับทุก  > 0 มีโมนิกพหุนาม Q ( z ) = ZM b1zm − 1
··· BM กับสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อน L ( P ∗ q ) ≤  ( P ∗ )  . ชัดเจน ,
L ( P ∗ q ) = L ( p q ∗ ) ซึ่ง∗ Q ( Z ) = bmzm ··· b1z 1 ใส่ R : = P Q ∗และเพื่อความสะดวกของโน้ต
B0 : = 1 ,