They also proved that the recurrenc

They also proved that the recurrence relation for balancing numbers is
Bn+1 = 6Bn ? Bn?1, n > 2, (1.1)
where Bn is the nth balancing number with B1 = 1 and B2 = 6.
It is well known that (see [1]), n is a balancing number if and only if n2 is a
triangular number, that is 8n2 + 1 is a perfect square. In [10], Lucas-balancing
numbers are defined as follows: If n is a balancing number, Cn = ?8n2 + 1 is
called a Lucas-balancing number. The recurrence relation for Lucas-balancing
numbers is same as that of balancing numbers, that is
Cn+1 = 6Cn ? Cn?1, n > 2, (1.2)
where Cn is the nth Lucas-balancing number with C1 = 3 and C2 = 17. Liptai
[4], showed that the only balancing number in the sequence of Fibonacci num-
bers is 1. In [11] and [12], Ray obtain nice product formulas for both balancing
and Lucas-balancing numbers. Panda and Ray [8], link balancing numbers
with Pell and associated Pell numbers. They shown that balancing numbers
are indeed the product of Pell and associated Pell numbers. Many interesting
properties and important identities are available in the literature. Interested
readers can follow [2, 3, 5, 6, 7, 13, 14].
The closed form of both balancing and Lucas-balancing numbers are re-
spectively given by

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นอกจากนี้ยังพิสูจน์ว่า เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดดุลหมายเลขพัน + 1 = 6Bn พัน? 1, n > 2, (1.1)ที่พันเป็นหมายเลขที่ดุลกับ B1 = 1 และบี 2 = 6มันเป็นที่รู้จักนั้น (ดู [1]), n คือ ตัวเลขดุลถ้าและเฉพาะถ้า n2 เป็นสามเหลี่ยมหมายเลข 8n2 + 1 เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะ ใน [10], ดุล Lucasหมายเลขถูกกำหนดเป็นดังนี้: ถ้า n เป็นจำนวนดุล Cn =? 8n2 + 1เรียกว่าตัวเลขดุล Lucas ความสัมพันธ์เวียนเกิดดุล Lucasตัวเลขจะเหมือนที่สมดุลนั่นคือหมายเลขCn + 1 = 6Cn Cn ? 1, n > 2, (1.2)Cn อยู่จำนวนดุล Lucas ที่ มี C1 = 3 และ C2 = 17 Liptai[4], พบว่าหมายเลขดุลเฉพาะในลำดับของเลขฟีโบนัชชี -bers คือ 1 ใน [11] และ [12], เรย์ได้รับผลิตภัณฑ์ดีสูตรทั้งดุลและตัวเลขดุล Lucas แพนด้าและเรย์ [8], เชื่อมโยงตัวเลขดุลPell และ Pell หมายเลขที่เกี่ยวข้อง จะแสดงหมายเลขที่ดุลมีแน่นอนผลิตภัณฑ์ Pell และ Pell หมายเลขที่เกี่ยวข้อง น่าสนใจมากคุณสมบัติและเอกลักษณ์ที่สำคัญมีในวรรณคดี สนใจผู้อ่านสามารถติดตาม [2, 3, 5, 6, 7, 13, 14]แบบปิดทั้งดุลและดุล Lucas เลข re-โดย spectively

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พวกเขายังพิสูจน์ให้เห็นว่าความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีกสำหรับตัวเลขที่สมดุลเป็น
พันล้าน + 1 = 6BN? พันล้าน? 1, n> 2 (1.1)
ที่พันล้านเป็นจำนวนสมดุลกับที่ n = 1 B1 และ B2 = 6.
มันเป็นที่รู้จักกันดีว่า (ดู [1]), n คือจำนวนสมดุลและถ้าหาก n2 เป็น
จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่เป็น 8n2 + 1 เป็นตารางที่สมบูรณ์ ใน [10], ลูคัสสมดุล
หมายเลขที่กำหนดไว้ดังต่อไปนี้ถ้า n เป็นจำนวนสมดุล Cn = 8n2 + 1?
เรียกว่าลูคัสจำนวนสมดุล ความสัมพันธ์ระหว่างการเกิดซ้ำสำหรับลูคัสสมดุล
เป็นหมายเลขเดียวกับที่ของตัวเลขสมดุลนั่นคือ
Cn + 1 = 6Cn? Cn? 1, n> 2 (1.2)
ที่ Cn เป็นที่ n จำนวนลูคัสสมดุลกับ C1 = 3 และ C2 = 17. Liptai
[4] แสดงให้เห็นว่าจำนวนสมดุลเฉพาะในลำดับของจานวน Fibonacci
Bers 1 . ใน [11] และ [12] เรย์ได้รับสูตรผลิตภัณฑ์ที่ดีสำหรับทั้งสองสมดุล
และหมายเลขลูคัสสมดุล หมีแพนด้าและเรย์ [8] เชื่อมโยงหมายเลขสมดุล
กับเพลล์และหมายเลขเพลล์ที่เกี่ยวข้อง พวกเขาแสดงให้เห็นว่าตัวเลขที่สมดุล
เป็นจริงผลิตภัณฑ์ของเพลล์และตัวเลขที่เกี่ยวข้องเพลล์ ที่น่าสนใจมากมาย
คุณสมบัติและเอกลักษณ์ที่สำคัญที่มีอยู่ในวรรณคดี สนใจ
ผู้อ่านสามารถทำตาม [2, 3, 5, 6, 7, 13, 14].
รูปแบบปิดของทั้งสองสมดุลและหมายเลขลูคัสสมดุลมีการทบทวน
ให้ spectively โดย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พวกเขายังพิสูจน์ให้เห็นว่าความสัมพันธ์ของการทรงตัวตัวเลข
3 1 = 6bn ? BN ? 1 - > 2 ( 1.1 )
ที่ BN เป็นสมดุลแลกหมายเลข B1 และ B2 = 1 = 6 .
มันเป็นที่รู้จักกันดีว่า ( ดู [ 1 ] ) n เป็นจํานวนสมดุล ถ้าและเพียงถ้า N2 เป็น
จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ 8n2 1 เป็นตารางที่สมบูรณ์แบบ ใน [ 10 ] , ลูคัส สมดุล
ตัวเลขเป็นดังนี้ : ถ้า n เป็นจํานวนสมดุล , CN = ?8n2 1
เรียกว่าลูคัสสมดุลหมายเลข ความสัมพันธ์ของลูคัส
ตัวเลขเป็นเช่นเดียวกับที่สมดุลสมดุลของตัวเลขที่
CN 1 = 6cn ? CN ? 1 - > 2 ( 1.2 )
ที่ CN เป็นครั้งที่ร้อย ลูคัส สมดุลจำนวนกับ C1 = 3 และ C2 = 17 liptai
[ 4 ] พบว่าตัวเลขดุลเฉพาะในลำดับ Fibonacci NUM -
bers เป็น 1 [ 11 ] และ [ 12 ]เรย์ได้รับสูตรผลิตภัณฑ์ที่ดีสำหรับทั้งสองสมดุล
และลูคัสสมดุลตัวเลข หมีแพนด้าและเรย์ [ 8 ] ลิงค์สมดุลตัวเลข
กับเพลเพลและตัวเลขที่เกี่ยวข้อง พวกเขาแสดงให้เห็นว่าสมดุลตัวเลข
แน่นอนผลิตภัณฑ์ของเพลเพลและตัวเลขที่เกี่ยวข้อง คุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย และที่สำคัญ
ตัวตนมีอยู่ในวรรณคดี ผู้ที่สนใจสามารถติดตาม
[ 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 13 , 14 ] .
ปิดฟอร์มทั้งความสมดุลและลูคัสสมดุลตัวเลขจะ re -
spectively ได้รับโดย