It is known that the Fredholm type

It is known that the Fredholm type equations behave more or less like a boundary
value problem (see, e.g., Delves and Mohanmed (1985)). As a result, some ef-
ficient numerical methods useful for boundary values problems (such as spectral
methods) can be used directly to handle the Fredholm type equations (cf. Delves
and Mohanmed (1985)). However, the Volterra equation (5.1) behaves like an initial
value problem. Therefore, it is not straightforward to apply spectral methods
to the Volterra type equations. On the other hand, an essential difference between
(5.1) and a standard initial value problem is that numerical methods for the former
require storage of values at all the grid points, while they only requires information
at a fixed number of previous grid points for the latter.
This chapter is organized as follows. We devote the first two sections to describing
spectral algorithms, including one with Legendre-collocation method

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป็นที่ทราบกันว่า สมการชนิด Fredholm ทำงานมากหรือน้อยเช่นขอบเขตค่าปัญหา (ดู เช่น Delves และ Mohanmed (1985)) เป็นผล ef บาง-มีประโยชน์สำหรับปัญหาค่าขอบเขตวิธีเชิงตัวเลข ficient (เช่นสเปกตรัมสามารถใช้วิธี) โดยตรงการจัดการสมการชนิด Fredholm (เทียบ Delvesและ Mohanmed (1985)) อย่างไรก็ตาม Volterra สมการ (5.1) ทำงานเช่นมีการเริ่มต้นปัญหาค่า ดังนั้น มันไม่ตรงกับวิธีสเปกตรัมสมการชนิดวอลเทอร์รา ในทางกลับกัน เป็นความแตกต่างระหว่าง(5.1) และปัญหาค่าเริ่มต้นมาตรฐานคือตัวเลขที่วิธีอดีตต้องเก็บค่าทั้งหมดเส้นตาราง ในขณะที่พวกเขาต้องการข้อมูลเท่านั้นในจำนวนคงที่ของเส้นตารางก่อนหน้าสำหรับหลังบทนี้มีการจัดระเบียบดังนี้ เราอุทิศส่วนสองจะอธิบายอัลกอริทึมสเปกตรัม รวมทั้งหนึ่ง ด้วยวิธีจัดระเบียบเลอฌ็องดร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป็นที่รู้จักกันว่าสมประเภท Fredholm ทำงานมากขึ้นหรือน้อยเช่นขอบเขต
ปัญหาค่า (ดูเช่นขุดคุ้ยและ Mohanmed (1985)) เป็นผลให้บางประสิทธิผล
วิธีการเชิงตัวเลข ficient ประโยชน์สำหรับปัญหาค่าขอบเขต (เช่นสเปกตรัม
วิธีการ) สามารถนำมาใช้โดยตรงในการจัดการชนิดสม Fredholm (cf ขุดคุ้ย
และ Mohanmed (1985)) อย่างไรก็ตามสม Volterra (5.1) พฤติกรรมเช่นเริ่มต้น
ปัญหาค่า ดังนั้นจึงเป็นเรื่องไม่ตรงไปตรงมาใช้วิธีการสเปกตรัม
เพื่อสมประเภท Volterra บนมืออื่น ๆ , ความแตกต่างที่สำคัญระหว่าง
(5.1) และปัญหาค่าเริ่มต้นมาตรฐานคือว่าวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับอดีต
จำเป็นต้องมีการจัดเก็บค่าที่ทุกจุดกริดในขณะที่พวกเขาจะต้องมีข้อมูล
ที่คงที่จำนวนจุดกริดก่อนหน้านี้สำหรับ หลัง.
ในบทนี้จะมีการจัดระเบียบดังต่อไปนี้ เราอุทิศทั้งสองส่วนแรกที่จะอธิบาย
ขั้นตอนวิธีการสเปกตรัมรวมเป็นหนึ่งเดียวกับช็-จัดระเบียบวิธีการ