MATHEMATICS OF COMPUTATION, VOLUME

MATHEMATICS OF COMPUTATION, VOLUME 30, NUMBER 135
JULY 1976, PAGES 646-648
Triples of Sixth Powers With Equal Sums
By Simcha Brudno
Abstract. The diophantine equation x + y + z = u + v + w is shown
to have a two-parameter solution which is homogeneous of degree four. The solution
2 2 2 also satisfies x + y + z — u 2 + v 2 + w 2 ; and in addition, 3x + y + z = 3u +
v + w.
The diophantine equation
(1) x6 +y6 +z6 =u6 +v6 + w6
is a particular instance of the much-studied problem of finding equal sums of like
powers of integers, surveyed by Lander, Parkin and Selfridge in 1967 [4]. The smallest
nontrivial solution was published by Subba Rao in 1934 [5], namely, 36 + 196 +
226 = 106 + 156 + 236. Early editions of Hardy and Wright [3] referred to this result
as "an isolated curiosity". However, Lander, Parkin and Selfridge [4] discovered
that (1) has ten primitive solutions in the range up to 2.5 x 1014, and that all but
one of these also satisfy
(2) x2 +y2 +z2 =u2 +v2+w2.
In [1] it was shown that there are infinitely many primitive solutions to (1),
each also satisfying (2) and
(3) v = y - z, w = y + z.
Subsequently, in [2] the complete solution to (1), (2) and (3) was obtained in terms
of an infinite cyclic group of rational points on a cubic curve. (Regrettably, the
solution 5P appeared in [2] with transcription errors in the values of x and w; it
should readx = 165809277507,y = 151561337462, z = 23038103009, u =
63175337782,v = 128523234453 and w = 174599440471.)
The principal aim of this paper is to exhibit the following explicit solution to
(1) in terms of parameters m, n:
x = 2zn4 + 4zn3n - 5«z2«2 - 12zn«3 - 9«4,
y = 3m4 + 9m3n + 18zn2«2 + 21/nn3 + 9«4,
z = -zn4 - 10«z3n - 17m2«2 - 12zn«3,
(4) u = m4 - 3zn3« - 14zn2«2 - 15«zn3 - 9«4,
v = 3«z4 + 8zn3« +9zn2«2,
w = 2m, + 2m3n + I9m2n2 + 18/n«3 + 9«4.
This solution also satisfies (2); and in addition,
(5) 3x +y + z = 3u + v + w.
Received July 28, 1975.
AMS (MOS) subject classifications (1970). Primary 10B15; Secondary 10B10, 10C10, 10J05.
Copyright © 1976, American Mathem.r..cal Society
646

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณิตศาสตร์คำนวณ ปริมาตร 30 หมายเลข 1351976 กรกฎาคม หน้า 646-648Triples หกอำนาจมีผลรวมเท่าโดย Simcha Brudnoบทคัดย่อ สมการ diophantine x + y + z = u + v + w จะแสดงมีปัญหาสองพารามิเตอร์ซึ่งเป็นเหมือนปริญญา 4 การแก้ปัญหา2 2 2 ยังตรง x + y + z — u 2 + v 2 + 2; w และในการนี้ 3 x + y + z = 3u +v + wสมการ diophantine(1) x 6 y6 + z6 = u6 v6 + w6เป็นอินสแตนซ์เฉพาะของปัญหาเรียนมากเท่ากับผลรวมของเช่นค้นหาอำนาจของจำนวนเต็ม สำรวจ โดยแลนเดอร์ Parkin Selfridge ใน 1967 [4] น้อยที่สุดโซลูชั่น nontrivial เผยแพร่ โดย Subba ราวใน 1934 [5], ได้แก่ 36 + 196 +226 = 106 + 156 + 236 รุ่นแรก ๆ ของ Hardy และไรท์ [3] อ้างอิงถึงผลลัพธ์นี้เป็น "การแยกอยาก" อย่างไรก็ตาม การค้นพบของแลนเดอร์ Parkin และ Selfridge [4](1) ที่มีโซลูชั่นดั้งเดิมสิบช่วงถึง 2.5 x 1014 และที่จะอันนี้ยังตอบสนอง(2) x 2 + y2 + z2 = u2 + v2 + w2ใน [1] มันถูกแสดงว่า มีโซลูชั่นดั้งเดิมหลายเพียบ (1),แต่ละที่ยัง พอใจ (2) และ(3) v = y - z, w = y + zในเวลาต่อมา ใน [2] โซลูชั่นที่สมบูรณ์ (1), (2) และ (3) ถูกรับในเงื่อนไขมีกลุ่มอนันต์วัฏจักรของจุดเชือดบนเส้นโค้งลูกบาศก์ (ล้วน การโซลูชัน 5P ปรากฏใน [2] มีข้อผิดพลาด transcription ค่าของ x และ w มันควร readx = 165809277507, y = 151561337462, z = 23038103009, u =63175337782, v = 128523234453 และ w = 174599440471.)จุดประสงค์หลักของเอกสารนี้จะแสดงโซลูชันที่ชัดเจนต่อไป(1) ในแง่ของพารามิเตอร์ m, n:x = 2zn4 + 4zn3n - 5 « z2 «2 - 12zn «3-9 «4y = 3m 4 + 9m3n + 18zn2 «2 + 21/nn3 + 9 «4z = - zn4 - 10 « z3n - 17 ม. 2 « 2 - 12zn «3(4) u = m4 - 3zn3 «-14zn2 « 2 15 « zn3 - 9 «4v = 3 « z4 + 8zn3 « + 9zn2 «2w = 2m, + 2m3n + I9m2n2 + 18/n « 3 + 9 «4วิธีนี้เป็นไปตาม (2); และนอกจาก นี้(5) 3 x + y + z = 3u + v + wรับวันที่ 28 ก.ค. 2518AMS (MOS) เรื่องการจัดประเภท (1970) หลัก 10B15 รอง 10B10, 10C 10, 10J05สงวนลิขสิทธิ์ © 1976, Mathem.r อเมริกัน...cal สังคม646

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์การคำนวณปริมาณ 30 จำนวน 135
กรกฎาคม 1976 หน้า 646-648
อเนกประสงค์อำนาจที่หกกับผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน
โดย Simcha Brudno
บทคัดย่อ สม Diophantine x + y + Z = u + V + W มีการแสดง
ที่จะมีการแก้ปัญหาสองพารามิเตอร์ซึ่งเป็นเนื้อเดียวกันของระดับสี่ การแก้ปัญหา
2 2 2 นอกจากนี้ยังตอบสนอง x + y + Z - ยู 2 + v 2 + W 2; และนอกจาก 3x + y + Z = 3U +
V + ก.
สม Diophantine
(1) x6 + Y6 + z6 = u6 + v6 + W6
เป็นตัวอย่างหนึ่งของปัญหามากการศึกษาในการหาผลรวมเท่ากันเช่น
อำนาจ ของจำนวนเต็มสำรวจโดย Lander, Parkin และซุปเปอร์มาร์เก็ตในปี 1967 [4] ขนาดเล็กที่สุดใน
การแก้ปัญหาขี้ปะติ๋วได้รับการตีพิมพ์โดย Subba ราวในปี 1934 [5] คือ 36 + 196 +
226 = 106 + 156 + 236 รุ่นแรกของฮาร์ดี้และไรท์ [3] อ้างถึงผลนี้
ว่า "อยากรู้อยากเห็นที่แยก" อย่างไรก็ตาม Lander, Parkin และซุปเปอร์มาร์เก็ต [4] พบ
ว่า (1) มีสิบโซลูชั่นดั้งเดิมในช่วงถึง 2.5 x 1014 และที่ทั้งหมด แต่
หนึ่งในจำนวนนี้ยังตอบสนอง
(2) x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + . w2
ใน [1] มันก็แสดงให้เห็นว่ามีโซลูชั่นดั้งเดิมหลายอย่างมากมายที่จะ (1),
ความพึงพอใจของแต่ละคน (2) และ
(3) v = y -. Z w, y = + Z
ต่อมาใน [2] โซลูชั่นที่สมบูรณ์เพื่อ (1), (2) และ (3) ที่ได้รับในแง่
ของวงจรกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจุดเหตุผลในโค้งลูกบาศก์ (แต่น่าเสียดายที่
การแก้ปัญหา 5P ปรากฏใน [2] มีข้อผิดพลาดในการถอดความค่าของ x และ W มัน
ควร readx = 165809277507, y = 151561337462, Z = 23038103009, u =
63175337782, v = 128523234453 และ W = 174599440471. )
จุดมุ่งหมายหลักของการวิจัยนี้คือการแสดงวิธีการแก้ปัญหาที่ชัดเจนต่อไปนี้เพื่อ
(1) ในแง่ของพารามิเตอร์ M, N:
x = 2zn4 + 4zn3n - 5 « z2 « 2 - 12zn « 3-9 « 4,
y = 3M4 9m3n + + 18zn2 « 2 + 21 / NN3 + 9 « 4,
Z = -zn4 - 10 « z3n - 17m2 « 2 - 12zn « 3
(4) u = M4 - 3zn3 « - 14zn2 « 2-15 « zn3 - 9 « 4 ,
v = 3 « z4 + 8zn3 « + 9zn2 « 2,
W = 2m + 2m3n + I9m2n2 + 18 / n « 3 + 9 « 4.
นอกจากนี้ยังมีการแก้ปัญหานี้น่าพอใจ (2); และนอกจากนี้
(5) 3x + y + Z = 3U + v + W.
ที่ได้รับ 28 กรกฎาคม 1975.
AMS (MOS) การจำแนกประเภทของเรื่อง (1970) ประถม 10B15; รอง 10B10, 10C10, 10J05.
ลิขสิทธิ์© 1976 อเมริกัน Mathem.r..cal สังคม
646

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คณิตศาสตร์คำนวณ 30 เล่ม หมายเลข 135
กรกฎาคม 2519 หน้า 646-648
อเนกประสงค์ 6 พลังกับเท่ากับผลรวม brudno

โดย simcha นามธรรม ส่วนสมการไดโอแฟนไทน์ X Y Z = U V W แสดง
ที่มีสองพารามิเตอร์ โซลูชั่น ซึ่งเป็นเนื้อเดียวกัน ระดับ 4 โซลูชั่น
2 2 2 X Y Z - U ยังเข้าตา 2 v 2 W ; และนอกจากนี้ , 3 x y z 3U
v
= wส่วนสมการไดโอแฟนไทน์
( 1 ) x6 y6 ชั้นยอด = u6 V6 w6
เป็นอินสแตนซ์โดยเฉพาะของนักศึกษาปัญหาที่พบเท่ากับผลรวมของชอบ
พลังของจำนวนเต็มที่สํารวจโดย Lander , เซลฟริดจ์ ใน พ.ศ. 2510 และรถยนต์ [ 1 ] โซลูชั่นนอนทริเวียลน้อยที่สุด
ถูกตีพิมพ์โดย Subba ราวใน 1934 [ 5 ] คือ 36 196
226 = 106 156 236 . รุ่นแรกของฮาร์ดี้และไรท์ [ 3 ] เจ้าตัวนี้ผล
เป็น " แยกความอยากรู้ " อย่างไรก็ตาม , Lander , รถยนต์ และ เซลฟริดจ์ [ 4 ] ค้นพบ
( 1 ) มีสิบแบบดั้งเดิมโซลูชั่นในช่วงถึง 2.5 x 1 , และทั้งหมด แต่หนึ่งในเหล่านี้ยังตอบสนอง

( 2 ) x2 Y2 U2 v2 W2 กขึ้น = .
[ 1 ] พบว่ามีเพียบหลาย แบบดั้งเดิมโซลูชั่น ( 1 )
แต่ละยังพอใจ ( 2 ) และ ( 3 )
v = y - Z , W = y Z .
ในภายหลังใน [ 2 ] โซลูชั่นที่สมบูรณ์ ( 1 ) , ( 2 ) และ ( 3 ) ได้ในแง่
จำนวนอนันต์ของการสรุปคะแนนในกลุ่มเป็นเส้นโค้งลูกบาศก์ ( น่าเสียดายที่
โซลูชั่น 5P ปรากฏใน [ 2 ] กับถอดความข้อผิดพลาดในค่าของ x และ W ;
ควร readx = 165809277507 , Y = 151561337462 , Z = 23038103009 u =
= 128523234453 63175337782 V และ W =
174599440471 )จุดมุ่งหมายหลักของบทความนี้คือการจัดแสดงโซลูชั่นชัดเจน

ต่อไปนี้ ( 1 ) ในแง่ของค่า m , n :
x = 2zn4 4zn3n - 5 «กขึ้น« 2 - 12zn « 3 - 9 « 4
y = 3m4 9m3n 18zn2 « 2 21 / nn3 9 «
Z = 4 - zn4 - 10 « z3n - 17m2 « 2 - 12zn « 3
( 4 ) U = M4 - 3zn3 « - 14zn2 « 2 - 15 « zn3 - 9 « 4
5 = 3 « Z4 8zn3 « 9zn2 « 2
w = 2 , 2m3n i9m2n2 18 / N « 3 9 « 4 .
วิธีนี้ยังตรง ( 2 ) ; และนอกจากนี้
( 5 ) 3 x y z = 3U v W .
ได้รับ 28 กรกฎาคม 1975
AMS ( MOS ) หมวดหมู่หัวข้อ ( 1970 ) 10b15 ประถมศึกษา มัธยมศึกษา 10c10 10b10 , , 10j05 .
ลิขสิทธิ์ สงวนลิขสิทธิ์ พ.ศ. 2519 อเมริกัน mathem . . . สังคม
พวกแคล