Uniform horizontal motion: ˙X = V,

Uniform horizontal motion: ˙X = V, ˙Y = 0
This is like a pendulum inside a car moving with uniform velocity on a horizontal
road. The equation of motion is not changed from that of a simple pendulum, but the
energy is not constant. This is because there is a force of the vehicle on the pendulum,
reacting to the motion of the pendulum itself. Small oscillations of the pendulum
have the same frequency !2 = g/l, and the energy change dE/dt  lV ¨ = −mgV 
is also an oscillating function with the same frequency.
• Uniform vertical motion: ˙X = 0, ˙Y = V
This is like a pendulum moving in an elevator moving with uniform velocity. The
equations of motion are unchanged, but the energy is not constant. Small oscillations
have the same frequency !2 = g/l, but now dE/dt  −mgV : there is a constant
increase or decrease of energy, depending on whether the support is going up (and
energy is increasing), or down (and energy is decreasing). This can also be interpreted
as the change in gravitational potential energy due to the vertical motion.
• Horizontal periodic motion: X = X0 cos(
t), Y = 0
The equation of motion for small oscillations is l¨ + g =
2X0 cos(
t). This is a
driven oscillation, and after initial transients, the pendulum will oscillate with the
same frequency
as the support point:  = 0 cos(
t), with amplitude 0 given by
the equation of motion:
l¨ + g =
2X0 cos(
t)
(−l
2 + g)0 =
2X0
0 = X0

2
g − l
2 = X0
l

2
!2
0 −
2
with !2
0 = g/l. The horizontal displacement of the pendulum with respect to the
inertial frame is x = X + l. The ratio of amplitude of the horizontal motion of the
pendulum mass, x, to the amplitude of the horizontal motion of the top, X0, is called
the “transfer function” (a function of driving frequency) of the pendulum to support
motion:
F(
) = x
X0
= X0 + l0 = X0

1 +

2
!2
0 −
2

= X0
!2
0
!2
0 −
2
If driven at low frequencies (
2  g/l), the pendulum will follow the support, with
a small angle , ans x  X: the rod is almost vertical (although the maximum
pendulum displacement is larger than the top’s maximum displacement). At driving
frequencies near the natural pendulum frequency,
 !0, the motion will grow very
large: the system is near “resonance”. At driving frequencies higher than !0, the
pendulum motion is out of phase with respect to the motion of the support, since

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ยูนิฟอร์มแนวเคลื่อนไหว: ˙X = V, ˙Y = 0นี้เป็นเหมือนลูกตุ้มภายในรถย้าย ด้วยความเร็วสม่ำเสมอในแนวนอนเป็นถนน สมการของการเคลื่อนไหวจะไม่เปลี่ยนแปลงจากที่เป็นลูกตุ้มอย่างง่าย แต่พลังงานไม่คง ทั้งนี้เนื่องจากมีกองทัพของยานพาหนะบนลูกตุ้มปฏิกิริยาการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเอง แกว่งของลูกตุ้มเล็กมีความถี่เดียว! 2 = g/l และพลังงานเปลี่ยนแปลง dE/dt lV เลขจด = −mgVยังมีฟังก์ชันการสั่นได้ ด้วยความถี่เดียวกัน•รูปแนวเคลื่อนไหว: ˙X = 0, ˙Y = Vนี้เป็นเหมือนลูกตุ้มที่ย้ายในลิฟท์เคลื่อนย้าย ด้วยความเร็วสม่ำเสมอ ที่สมการของการเคลื่อนไหวจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่พลังงานไม่คง แกว่งเล็กมีความถี่เดียว! 2 = g/l แต่ตอนนี้ −mgV dE/dt: มีค่าคงเพิ่ม หรือลดพลังงาน ขึ้นอยู่กับว่ามีการสนับสนุนกำลังขึ้น (และพลังงานเพิ่มขึ้น), หรือลง (และลดพลังงาน) นี้สามารถยังสามารถตีความเป็นการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ความโน้มถ่วงเนื่องจากการเคลื่อนไหวในแนวตั้ง•เคลื่อนไหวเป็นระยะแนวนอน: X = X 0 cos (t) Y = 0สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับแกว่งเล็ก ๆ เป็น l¨ + g = 2 X 0 cos (t) โดยการขับเคลื่อนสั่น และหลังแม้แต่ผู้เริ่มต้น ลูกตุ้มจะ oscillate ด้วยการความถี่เดียวกัน เป็นจุดสนับสนุน: = 0 cos (t) กับคลื่น 0 โดยสมการของการเคลื่อนไหว:l¨ + g = 2 X 0 cos (t)(−l2 + g) 0 = 2X00 = X02g − l2 = X0l2!20 − 2with !20 = g/l. The horizontal displacement of the pendulum with respect to theinertial frame is x = X + l. The ratio of amplitude of the horizontal motion of thependulum mass, x, to the amplitude of the horizontal motion of the top, X0, is calledthe “transfer function” (a function of driving frequency) of the pendulum to supportmotion:F() = xX0= X0 + l0 = X01 +2!20 − 2= X0!20!20 − 2If driven at low frequencies (2  g/l), the pendulum will follow the support, witha small angle , ans x  X: the rod is almost vertical (although the maximumpendulum displacement is larger than the top’s maximum displacement). At drivingfrequencies near the natural pendulum frequency,  !0, the motion will grow verylarge: the system is near “resonance”. At driving frequencies higher than !0, thependulum motion is out of phase with respect to the motion of the support, since

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การเคลื่อนไหวในแนวนอนชุด: X = V, y = 0 นี้เป็นเหมือนลูกตุ้มภายในรถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่สม่ำเสมอในแนวถนน สมการของการเคลื่อนไหวจะไม่เปลี่ยนแปลงจากที่ของลูกตุ้มที่เรียบง่าย แต่พลังงานที่ไม่คงที่ นี้เป็นเพราะมีแรงของรถบนลูกตุ้มที่ทำปฏิกิริยากับการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มของตัวเอง การแกว่งของลูกตุ้มขนาดเล็กมีความถี่เดียวกัน! = 2 กรัม / ลิตรและการเปลี่ยนแปลงพลังงาน dE / dt? LV ¨? ? = -mgV นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่นการสั่นด้วยความถี่เดียวกัน. •การเคลื่อนไหวเครื่องแบบแนวตั้ง: x = 0, y = V นี้เป็นเหมือนลูกตุ้มเคลื่อนไหวในลิฟท์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่สม่ำเสมอ สมการการเคลื่อนที่มีการเปลี่ยนแปลง แต่พลังงานที่ไม่คงที่ แนบแน่นขนาดเล็กมีความถี่เดียวกัน! = 2 กรัม / ลิตร แต่ตอนนี้ / dt? -mgV: มีค่าคงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงของพลังงานขึ้นอยู่กับว่าการสนับสนุนที่เกิดขึ้น(และพลังงานเพิ่มขึ้น) หรือลง (และพลังงานจะลดลง) นอกจากนี้ยังสามารถตีความการเปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้นในการใช้พลังงานแรงโน้มถ่วงอันเนื่องมาจากการเคลื่อนไหวในแนวตั้ง. •การเคลื่อนไหวเป็นระยะ ๆ แนวนอน: X = X 0 cos (t) Y = 0 สมการของการเคลื่อนไหวเพื่อแนบแน่นขนาดเล็กเป็น l? + G? = 2X0 cos (t) นี่คือการสั่นขับเคลื่อนและหลังจากชั่วคราวเริ่มต้นลูกตุ้มจะแกว่งด้วยความถี่เดียวกันเป็นจุดสนับสนุน: ? = 0 cos (t) มีความกว้าง 0 ได้รับจาก? สมการของการเคลื่อนไหว: L? + G? = 2X0 cos (t) (-l 2 + g) 0 = 2X0 = 0 X 0? 2 กรัม - ลิตร2 = X0 ลิตร2 2! 0 - 2! 2 0 = g / l แทนที่แนวนอนของลูกตุ้มที่เกี่ยวกับกรอบเฉื่อยคือ x = X + L ?. อัตราส่วนของความกว้างของการเคลื่อนไหวในแนวนอนของมวลลูกตุ้ม, x เพื่อความกว้างของการเคลื่อนไหวในแนวนอนของด้านบน X0 เรียกว่า "การถ่ายโอนฟังก์ชั่น" (ฟังก์ชั่นของความถี่ในการขับรถ) ของลูกตุ้มเพื่อสนับสนุนการเคลื่อนไหว: F () = x 0 X = X 0 + L = 0 X 0?? 1 + 2 2! 0 - 2? = 0 X 2! 0 2! 0 - 2 หากการขับเคลื่อนที่มีความถี่ต่ำ (2 กรัม / ลิตร) ลูกตุ้มจะปฏิบัติตาม การสนับสนุนที่มีมุมเล็กๆ ? ans x? X: คันเกือบจะเป็นแนวตั้ง (แม้ว่าสูงสุดแทนที่ลูกตุ้มมีขนาดใหญ่กว่าการกระจัดสูงสุดด้านบนของ) การขับรถที่ความถี่ใกล้กับความถี่ลูกตุ้มธรรมชาติ? 0 การเคลื่อนไหวจะเติบโตมากขนาดใหญ่: ระบบอยู่ใกล้ "เสียงสะท้อน" การขับรถที่มีความถี่สูงกว่า! 0 เคลื่อนไหวลูกตุ้มจะออกจากขั้นตอนที่เกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของการสนับสนุนตั้งแต่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การเคลื่อนไหวในแนวนอนชุด : ˙ x = V , Y = 0 =
˙นี้เป็นเหมือนลูกตุ้มภายในรถเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอบนถนนราบ

สมการของการเคลื่อนไหวคือการเปลี่ยนแปลงจากที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย แต่
พลังงานไม่คงที่ นี้เป็นเพราะมีกำลังของยานพาหนะบนลูกตุ้ม
ตอบสนองต่อการเคลื่อนไหวของลูกตุ้มนั้นเอง การแกว่งของลูกตุ้ม
ขนาดเล็กมีความถี่เดียวกัน 2 = g / L และพลังงานเปลี่ยน de / DT  LV ตั้ง  = − mgv 
ยังสั่นฟังก์ชันที่มีความถี่เดียวกัน
- เครื่องแบบแนวตั้งเคลื่อนไหว : ˙ x = 0 , ˙ Y = V
มันเหมือนลูกตุ้มเคลื่อนที่ในลิฟต์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอ
สมการของการเคลื่อนไหวจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่พลังงานที่ไม่คงที่ การสั่นเล็กน้อย
มีความถี่เดียวกัน 2 = g / Lแต่ตอนนี้เดอ / DT  − mgv : มีการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
หรือลดพลังงานได้ ขึ้นอยู่กับว่าสนับสนุนขึ้น (
พลังงานเพิ่มขึ้น ) หรือลง ( และพลังงานจะลดลง ) นี้ยังสามารถตีความ
เป็นการเปลี่ยนพลังงานศักย์โน้มถ่วงเนื่องจากการเคลื่อนไหวตามแนวตั้ง แนวนอน แบบเคลื่อนไหว :
- x0 cos ( x =
0
= , t ) Yสมการของการเคลื่อนไหวสำหรับขนาดเล็กที่ด้านในเป็น L ตั้ง  กรัม  =
2x0 cos (
t ) นี่คือ
ขับเคลื่อนนี้ และหลังจากชั่วคราวเริ่มต้น ลูกตุ้มจะแกว่งไปมาด้วยเหมือนกันค่า

เป็นจุดสนับสนุน :  =  cos (
0 t ) กับขนาด  0 กำหนดโดยสมการของการเคลื่อนไหว :

ผมตั้ง  กรัม  =
2x0 cos (

) ( − l
2 g )  0 = 0 =

2x0  x0

2
G − l
2 = x0
L

2
! 2
0
− 2
! 2
0 = กรัม / ลิตรการเคลื่อนที่ในแนวนอนของลูกตุ้มด้วยความเคารพ
กรอบอ้างอิงเฉื่อยคือ x = x L  . อัตราส่วนของแอมปลิจูดของการเคลื่อนไหวในแนวนอนของ
ลูกตุ้มมวล x , แอมพลิจูดของการเคลื่อนไหวในแนวนอนของด้านบน x0 เรียกว่า
" ฟังก์ชันถ่ายโอน " ( ฟังก์ชันของการขับความถี่ ) ของลูกตุ้มเพื่อสนับสนุนการเคลื่อนไหว

: F (
) = x

= x0 x0 ผม  0 = x0

1
2
! 2
0

 − 2 = x0

! ! 2
0
! 2