Mountain Pass solutions for non-loc

Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators ✩
Raffaella Servadei a,∗, Enrico Valdinoci b
a Dipartimento di Matematica, Università della Calabria, Ponte Pietro Bucci 31 B, 87036 Arcavacata di Rende, Cosenza, Italy
b Dipartimento di Matematica, Università di Milano, Via Cesare Saldini 50, 20133 Milano, Italy
article info abstract
Article history:
Received 27 September 2011
Available online 21 December 2011
Submitted by V. Radulescu
Keywords:
Mountain Pass Theorem
Variational techniques
Integrodifferential operators
Fractional Laplacian
The purpose of this paper is to study the existence of solutions for equations driven by
a non-local integrodifferential operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions.
These equations have a variational structure and we find a non-trivial solution for them
using the Mountain Pass Theorem. To make the nonlinear methods work, some careful
analysis of the fractional spaces involved is necessary. We prove this result for a general
integrodifferential operator of fractional type and, as a particular case, we derive an
existence theorem for the fractional Laplacian, finding non-trivial solutions of the equation

(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn Ω.
As far as we know, all these results are new.
© 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
Contents
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
2. Some preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.1. Preliminary estimates on the nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.2. The functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
3. Mountain Pass solutions in a non-local framework: proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
4. An equation driven by the fractional Laplacian: proof of Theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
1. Introduction
One of the most celebrated applications of the Mountain Pass Theorem (see [1,5,6,8]) consists in the construction of
non-trivial solutions of semilinear equations of the type
−u = f (x, u) in Ω,
u = 0 on ∂Ω. (1.1)
✩ The first author was supported by the MIUR National Research Project Variational and Topological Methods in the Study of Nonlinear Phenomena, while the
second one by the ERC grant (Elliptic Pde’s and Symmetry of Interfaces and Layers for Odd Nonlinearities) and the FIRB project A&B (Analysis and Beyond).
* Corresponding author.
E-mail addresses: servadei@mat.unical.it (R. Servadei), valdinoci@mat.uniroma2.it (E. Valdinoci).
0022-247X/$ – see front matter © 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
doi:10.1016/j.jmaa.2011.12.032
888 R. Servadei, E. Valdinoci / J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 887–898
In this framework, the solutions are constructed with a variational method by a minimax procedure on the associated
energy functional.
We think that a natural question is whether or not these Mountain Pass techniques may be adapted to the fractional
analogue of Eq. (1.1), namely
(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn Ω.
Here, s ∈ (0, 1) is fixed and (−)s is the fractional Laplace operator, which (up to normalization factors) may be defined as
−(−)s
u(x) = 1
2

Rn
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
|y|
n+2s dy, x ∈ Rn. (1.2)
For instance, when s = 1/2, the above operator is the square root of (minus) the Laplacian (the minus sign is needed to
make the operator positive definite, see [4] and references therein for a basic introduction to the fractional Laplace operator).
Recently, a great attention has been focused on the study of fractional and non-local operators of elliptic type, both for
the pure mathematical research and in view of concrete real-world applications. This type of operators arises in a quite
natural way in many different contexts, such as, among the others, the thin obstacle problem, optimization, finance, phase
transitions, stratified materials, anomalous diffusion, crystal dislocation, soft thin films, semipermeable membranes, flame
propagation, conservation laws, ultra-relativistic limits of quantum mechanics, quasi-geostrophic flows, multiple scattering,
minimal surfaces, materials science and water waves.
The literature on non-local operators and on their applications is, therefore, very interesting and, up to now, quite large
(see, e.g., [4] f

(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn  Ω.
As far as we know, all these results are new.
© 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
Contents
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
2. Some preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.1. Preliminary estimates on the nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.2. The functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
3. Mountain Pass solutions in a non-local framework: proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
4. An equation driven by the fractional Laplacian: proof of Theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
1. Introduction
One of the most celebrated applications of the Mountain Pass Theorem (see [1,5,6,8]) consists in the construction of
non-trivial solutions of semilinear equations of the type
−u = f (x, u) in Ω,
u = 0 on ∂Ω. (1.1)
✩ The first author was supported by the MIUR National Research Project Variational and Topological Methods in the Study of Nonlinear Phenomena, while the
second one by the ERC grant  (Elliptic Pde’s and Symmetry of Interfaces and Layers for Odd Nonlinearities) and the FIRB project A&B (Analysis and Beyond).
* Corresponding author.
E-mail addresses: servadei@mat.unical.it (R. Servadei), valdinoci@mat.uniroma2.it (E. Valdinoci).
0022-247X/$ – see front matter © 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
doi:10.1016/j.jmaa.2011.12.032
888 R. Servadei, E. Valdinoci / J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 887–898
In this framework, the solutions are constructed with a variational method by a minimax procedure on the associated
energy functional.
We think that a natural question is whether or not these Mountain Pass techniques may be adapted to the fractional
analogue of Eq. (1.1), namely
(−)s
u = f (x, u) in Ω,
u = 0 in Rn  Ω.
Here, s ∈ (0, 1) is fixed and (−)s is the fractional Laplace operator, which (up to normalization factors) may be defined as
−(−)s
u(x) = 1
2

Rn
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
|y|
n+2s dy, x ∈ Rn. (1.2)
For instance, when s = 1/2, the above operator is the square root of (minus) the Laplacian (the minus sign is needed to
make the operator positive definite, see [4] and references therein for a basic introduction to the fractional Laplace operator).
Recently, a great attention has been focused on the study of fractional and non-local operators of elliptic type, both for
the pure mathematical research and in view of concrete real-world applications. This type of operators arises in a quite
natural way in many different contexts, such as, among the others, the thin obstacle problem, optimization, finance, phase
transitions, stratified materials, anomalous diffusion, crystal dislocation, soft thin films, semipermeable membranes, flame
propagation, conservation laws, ultra-relativistic limits of quantum mechanics, quasi-geostrophic flows, multiple scattering,
minimal surfaces, materials science and water waves.
The literature on non-local operators and on their applications is, therefore, very interesting and, up to now, quite large
(see, e.g., [4] f

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators ✩Raffaella Servadei a,∗, Enrico Valdinoci ba Dipartimento di Matematica, Università della Calabria, Ponte Pietro Bucci 31 B, 87036 Arcavacata di Rende, Cosenza, Italyb Dipartimento di Matematica, Università di Milano, Via Cesare Saldini 50, 20133 Milano, Italyarticle info abstractArticle history:Received 27 September 2011Available online 21 December 2011Submitted by V. RadulescuKeywords:Mountain Pass TheoremVariational techniquesIntegrodifferential operatorsFractional LaplacianThe purpose of this paper is to study the existence of solutions for equations driven bya non-local integrodifferential operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions.These equations have a variational structure and we find a non-trivial solution for themusing the Mountain Pass Theorem. To make the nonlinear methods work, some carefulanalysis of the fractional spaces involved is necessary. We prove this result for a generalintegrodifferential operator of fractional type and, as a particular case, we derive anexistence theorem for the fractional Laplacian, finding non-trivial solutions of the equation(−)su = f (x, u) in Ω,u = 0 in Rn Ω.As far as we know, all these results are new.© 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.Contents1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8872. Some preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8902.1. Preliminary estimates on the nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8902.2. The functional analytic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913. Mountain Pass solutions in a non-local framework: proof of Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8944. An equation driven by the fractional Laplacian: proof of Theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8981. IntroductionOne of the most celebrated applications of the Mountain Pass Theorem (see [1,5,6,8]) consists in the construction ofnon-trivial solutions of semilinear equations of the type−u = f (x, u) in Ω,u = 0 on ∂Ω. (1.1)✩ The first author was supported by the MIUR National Research Project Variational and Topological Methods in the Study of Nonlinear Phenomena, while thesecond one by the ERC grant (Elliptic Pde’s and Symmetry of Interfaces and Layers for Odd Nonlinearities) and the FIRB project A&B (Analysis and Beyond).* Corresponding author.E-mail addresses: servadei@mat.unical.it (R. Servadei), valdinoci@mat.uniroma2.it (E. Valdinoci).0022-247X/$ – see front matter © 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.doi:10.1016/j.jmaa.2011.12.032888 R. Servadei, E. Valdinoci / J. Math. Anal. Appl. 389 (2012) 887–898In this framework, the solutions are constructed with a variational method by a minimax procedure on the associatedenergy functional.We think that a natural question is whether or not these Mountain Pass techniques may be adapted to the fractionalanalogue of Eq. (1.1), namely(−)su = f (x, u) in Ω,u = 0 in Rn Ω.Here, s ∈ (0, 1) is fixed and (−)s is the fractional Laplace operator, which (up to normalization factors) may be defined as−(−)su(x) = 12Rnu(x + y) + u(x − y) − 2u(x)|y|n+2s dy, x ∈ Rn. (1.2)For instance, when s = 1/2, the above operator is the square root of (minus) the Laplacian (the minus sign is needed tomake the operator positive definite, see [4] and references therein for a basic introduction to the fractional Laplace operator).Recently, a great attention has been focused on the study of fractional and non-local operators of elliptic type, both forthe pure mathematical research and in view of concrete real-world applications. This type of operators arises in a quitenatural way in many different contexts, such as, among the others, the thin obstacle problem, optimization, finance, phasetransitions, stratified materials, anomalous diffusion, crystal dislocation, soft thin films, semipermeable membranes, flamepropagation, conservation laws, ultra-relativistic limits of quantum mechanics, quasi-geostrophic flows, multiple scattering,minimal surfaces, materials science and water waves.The literature on non-local operators and on their applications is, therefore, very interesting and, up to now, quite large(see, e.g., [4] f

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

โซลูชั่นภูเขาสำหรับผู้ประกอบการรูปไข่นอกท้องถิ่น✩
Raffaella Servadei ที่ * Enrico Valdinoci B
Dipartimento Matematica, Università della Calabria สะพาน Pietro Bucci 31 B, 87036 Arcavacata di Rende, เซนซา, อิตาลี Di
B Dipartimento di Matematica, Università di Milano , Via Cesare Saldini 50, 20133 Milano, อิตาลี
ข้อมูลบทความนามธรรม
ประวัติศาสตร์บทความ
ที่ได้รับ 27 กันยายน 2011
พร้อมใช้งานออนไลน์ 21 ธันวาคม 2011
เขียนโดยโวลต์ Radulescu
คำสำคัญ:
ภูเขาทฤษฎีบท
เทคนิคแปรผัน
ประกอบ Integrodifferential
Fractional Laplacian
วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือการศึกษา การดำรงอยู่ของโซลูชั่นสำหรับสมการแรงหนุนจากการ
เป็นผู้ประกอบการที่ไม่ใช่ integrodifferential ท้องถิ่นที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นเนื้อเดียวกัน Dirichlet.
สมการเหล่านี้มีโครงสร้างแปรผันและเราหาทางออกไม่น่ารำคาญสำหรับพวกเขา
โดยใช้ทฤษฎีบทภูเขา เพื่อให้วิธีการที่ไม่เป็นเชิงเส้นการทำงานบางอย่างระมัดระวัง
การวิเคราะห์ช่องว่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการเป็นสิ่งที่จำเป็น เราพิสูจน์ผลนี้ได้ทั่วไป
ผู้ประกอบการ integrodifferential ประเภทเศษส่วนและเป็นกรณีเฉพาะอย่างยิ่งเราได้รับมา
ทฤษฎีบทชาติสำหรับเศษส่วน Laplacian, หาทางแก้ปัญหาที่ไม่น่ารำคาญของสมการ

(-) s
U = f (x, U) ใน Ω,
U = 0 ใน Rn Ω.
เท่าที่เรารู้ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านี้เป็นของใหม่.
© 2011 Elsevier Inc. สงวนลิขสิทธิ์.
สารบัญ
1 บทนำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
2. บางคนผลการศึกษาเบื้องต้น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.1 ประมาณการเบื้องต้นเกี่ยวกับการไม่เป็นเชิงเส้น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
2.2 การตั้งค่าการวิเคราะห์การทำงาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
3. การแก้ปัญหาภูเขาในกรอบนอกท้องถิ่น: พิสูจน์ทฤษฎีบท 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
4. สมการขับเคลื่อนด้วย Laplacian เศษส่วน: พิสูจน์ทฤษฎีบท 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
อ้างอิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
1. บทนำ
หนึ่งในโปรแกรมที่มีชื่อเสียงโด่งดังที่สุดของภูเขาทฤษฎีบท (ดู [1,5,6,8]) ประกอบด้วยในการก่อสร้างของ
การแก้ปัญหาที่ไม่น่ารำคาญของสม semilinear ประเภท
-u = f (x, U ) ในΩ,
U = 0 ใน∂Ω (1.1)
✩ผู้เขียนคนแรกที่ได้รับการสนับสนุนโดย MIUR แห่งชาติโครงการวิจัยแปรผันและวิธีการทอพอโลยีในการศึกษาเชิงปรากฏการณ์ในขณะที่
คนที่สองโดย ERC ให้? (รูปไข่ Pde และสมมาตรของอินเตอร์เฟซและชั้นสำหรับแปลก nonlinearities) และโครงการ FIRB A & B (การวิเคราะห์ and Beyond).
* ผู้รับผิดชอบ.
ที่อยู่ E-mail: servadei@mat.unical.it (ร Servadei) valdinoci @ เสื่อ . uniroma2.it (อี Valdinoci)
. 0022-247X / $ - เห็นหน้าเรื่อง© 2011 Elsevier Inc. สงวนลิขสิทธิ์
ดอย: 10.1016 / j.jmaa.2011.12.032
888 อาร์ Servadei อี Valdinoci / เจคณิตศาสตร์ . ทางทวารหนัก Appl 389 (2012) 887-898
ในกรอบนี้การแก้ปัญหาที่ถูกสร้างด้วยวิธีการแปรผันโดยขั้นตอนใน Minimax ที่เกี่ยวข้อง
พลังงานการทำงาน.
เราคิดว่าเป็นคำถามที่ธรรมชาติเป็นหรือไม่เหล่านี้เทคนิคภูเขาอาจจะปรับให้เข้ากับเศษส่วน
แบบอะนาล็อก ของสมการ (1.1) คือ
(-) s
U = f (x, U) ในΩ,
. U = 0 ใน Rn Ω
นี่, S ∈ (0, 1) การแก้ไขและ (-) คือผู้ประกอบการ Laplace เศษส่วน ซึ่ง (ขึ้นอยู่กับการฟื้นฟูปัจจัย) อาจจะกำหนดเป็น
- (-) s
U (x) = 1
2

Rn
U (x + y) + U (x - y) - 2U (x)
| Y |
n + 2s DY, x ∈ Rn (1.2)
ตัวอย่างเช่นเมื่อ s = 1/2, ผู้ประกอบการดังกล่าวข้างต้นเป็นรากที่สองของ (ลบ) เดอะ Laplacian (เครื่องหมายลบเป็นสิ่งจำเป็นที่จะ
ทำให้ผู้ประกอบการในเชิงบวกที่ชัดเจนให้ดู [4] และการอ้างอิงในนั้นสำหรับการแนะนำขั้นพื้นฐาน เพื่อผู้ประกอบการ Laplace เศษส่วน.)
เมื่อเร็ว ๆ นี้ความสนใจที่ดีได้รับการมุ่งเน้นไปที่การศึกษาของผู้ประกอบการเศษส่วนและท้องถิ่นที่ไม่ใช่ประเภทรูปไข่ทั้งสำหรับ
การวิจัยทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และในมุมมองของการใช้งานจริงของโลกที่เป็นรูปธรรม ประเภทของผู้ประกอบการนี้เกิดขึ้นในค่อนข้าง
วิธีธรรมชาติในบริบทที่แตกต่างกันเป็นจำนวนมากเช่นในหมู่คนอื่น ๆ ที่เป็นปัญหาอุปสรรคบางเพิ่มประสิทธิภาพ, การเงิน, ขั้นตอน
การเปลี่ยนวัสดุแซดแพร่ผิดปกติคริสตัลคลาดเคลื่อนฟิล์มบางนุ่มเยื่อเลือกผ่าน, เปลวไฟ
ขยายพันธุ์กฎหมายอนุรักษ์ จำกัด พิเศษความสัมพันธ์ของกลศาสตร์ควอนตัมกระแสกึ่ง geostrophic กระจัดกระจายหลาย
พื้นผิวน้อยที่สุดคลื่นวัสดุศาสตร์และน้ำ.
วรรณกรรมเกี่ยวกับผู้ประกอบการที่ไม่ใช่ในท้องถิ่นและในการใช้งานของพวกเขาจึงเป็นที่น่าสนใจมากและ ถึงตอนนี้มีขนาดใหญ่มาก
(ดูเช่น [4] F

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

โซลูชั่นผ่านภูเขาไม่ใช่ท้องถิ่น ผู้ประกอบการ✩อิลลิปติกservadei Raffaella , ∗ เอนริโก้ valdinoci Bเป็น dipartimento di คณิตศาสตร์ , มหาวิทยาลัยล่าสุดเดลลา Calabria , ปอนเต เปียโตร bucci 31 บี 87036 arcavacata di Rende โคเซนซา , อิตาลี ,B dipartimento di คณิตศาสตร์ , มหาวิทยาลัยล่าสุด di Milano , Via Cesare saldini 50 , 20133 Milano , อิตาลีข้อมูลบทความบทคัดย่อบทความ : ประวัติได้รับ 27 กันยายน 2011ออนไลน์ 21 ธันวาคม 2011ส่งโดย radulescu Vคำสำคัญ :ทฤษฎีบทผ่านภูเขาเทคนิคการintegrodifferential จำกัดเศษส่วน Laplacianการวิจัยครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการดำรงอยู่ของโซลูชั่นสำหรับสมการขับเคลื่อนโดยไม่ integrodifferential ผู้ประกอบการท้องถิ่นที่มีเนื้อเดียวกัน ดีริชเลต์ขอบเขตเงื่อนไขสมการเหล่านี้มีโครงสร้างการเปลี่ยนแปลงและเราพบไม่ใช่ trivial โซลูชั่นสำหรับพวกเขาใช้ผ่านภูเขาทฤษฎีบท เพื่อให้วิธีการทำงานระวังบางเชิงเส้นการวิเคราะห์ของเศษส่วนเป็นมีส่วนร่วมเป็นสิ่งที่จำเป็น เราพิสูจน์ผลนี้เป็นทั่วไปผู้ประกอบการ integrodifferential ของเศษส่วนประเภท เป็นกรณีพิเศษ เราสร้างทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับเศษส่วน การหาคำตอบของสมการที่ไม่ไร้สาระ( − ) ของu = F ( x , u ) Ωใน ,u = 0 ใน Rn Ω .เท่าที่เรารู้ผลทั้งหมดเหล่านี้ใหม่สงวนลิขสิทธิ์ 2011 Elsevier Inc สงวนสิทธิ์ทั้งหมดเนื้อหา1 . แนะนำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 .2 . ผลเบื้องต้นบ้าง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 .2.1 . ประมาณการเบื้องต้นในค่า . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8902.2 . การตั้งค่าไวยากรณ์หน้าที่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8913 . ภูเขาผ่านโซลูชั่นในกรอบไม่ใช่ท้องถิ่น : ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8944 . สมการที่ขับเคลื่อนด้วย Laplacian เศษส่วน : การพิสูจน์ทฤษฎีบท 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 .เอกสารอ้างอิง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012 .1 . แนะนำหนึ่งในชื่อเสียงมากที่สุดโปรแกรมของผ่านภูเขาทฤษฎีบท ( ดู [ 1,5,6,8 ] ) ประกอบด้วย การก่อสร้างไม่ใช่ trivial โซลูชั่นของ semilinear สมการประเภท− u = F ( x , u ) Ωใน ,u = 0 ∂Ω . ( 1.1 )✩ผู้เขียนได้รับการสนับสนุนโดย miur แห่งชาติ โครงการวิจัยการและวิธีการ รูปแบบในการศึกษาปรากฏการณ์ไม่เชิงเส้น ในขณะที่ที่สองโดยแกรนท์ ( ราคาปิด PDE และสมมาตรของอินเตอร์เฟซและชั้นแปลก nonlinearities ) และเงื่อนไขของโครงการ A และ B ( การวิเคราะห์และเกิน )* ผู้ที่สอดคล้องกันที่อยู่ : servadei@mat.unical.it ( R . servadei ) valdinoci@mat.uniroma2.it ( เช่น valdinoci )0022-247x / $ –ดูเรื่องหน้า© 2011 Elsevier Inc สงวนสิทธิ์ทั้งหมดดอย : 10.1016/j.jmaa.2011.12.032888 . servadei คณิตศาสตร์ เช่น valdinoci / เจ. ทวารหนัก แอปเปิ้ล 389 ( 2012 ) มีการจำกัดในกรอบนี้ โซลูชั่น ถูกสร้างขึ้นด้วยวิธีการแปรผันโดย Minimax ขั้นตอนที่เกี่ยวข้องพลังงานในการทํางานเราคิดว่าคำถามธรรมชาติหรือไม่เทคนิคผ่านภูเขาเหล่านี้อาจถูกดัดแปลงไปบางส่วนอนาล็อกของอีคิว ( 1.1 ) คือ( − ) ของu = F ( x , u ) Ωใน ,u = 0 ใน Rn Ω .ที่นี่เป็น∈ ( 0 , 1 ) จะคงที่และ ( − ) เป็นผู้ดำเนินการ ส่วนลาปลาส ซึ่งขึ้นกับปัจจัย normalization ) อาจหมายถึง− ( − ) ของu ( x ) = 12RnU ( x + y ) u ( x + y −− ) 2U ( X )| | YN + 2S ดี้ , x ∈ RN . ( 1.2 )ตัวอย่างเช่นเมื่อ S = 1 / 2 , ผู้ประกอบการข้างต้นเป็นรากที่สองของ ( ลบ ) Laplacian ( เครื่องหมายลบคือต้องการให้ผู้ประกอบการเป็นบวกแน่นอน เห็น [ 4 ] อ้างอิงสำหรับการแนะนำพื้นฐานให้ผู้ประกอบการลาปลาสติค )เมื่อเร็ว ๆนี้ความสนใจมากได้เน้นการศึกษาบางส่วนและไม่ใช่ผู้ประกอบการท้องถิ่นของรูปแบบ ทั้งสำหรับการวิจัยทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และในมุมมองของการใช้งานจริง เป็นรูปธรรม ของผู้ประกอบการประเภทนี้เกิดขึ้นในค่อนข้างวิธีธรรมชาติในบริบทต่าง ๆ มากมาย เช่น ในหมู่ผู้อื่น บางอุปสรรคปัญหา , การเพิ่มประสิทธิภาพ , การเงิน , เฟสการเปลี่ยนวัสดุที่กระจายและนุ่ม คริสตัลหลุด , ฟิล์ม , ยาผิว , ไฟการขยายพันธุ์ กฏหมายเกี่ยวกับการอนุรักษ์ , Ultra แสงขอบเขตของกลศาสตร์ควอนตัม กึ่งยีโอสโทรฟิกไหลหลายการหว่านพื้นผิวน้อยที่สุด วัสดุศาสตร์ และน้ำคลื่นวรรณกรรมไม่ใช่ผู้ประกอบการท้องถิ่นและโปรแกรมของพวกเขาจึงน่าสนใจมาก และถึงตอนนี้ค่อนข้างใหญ่( ดูเช่น [ 4 ] F

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.