Hortensia Soto-Johnson3.2 MULTIPLIC

Hortensia Soto-Johnson
3.2 MULTIPLICATION OF COMPLEX NUMBERS
It is not very easy to create a geometric interpretation
of two complex numbers by simply having students plot two
complex numbers and their product, which is required to
create the functions f(z) = zw (see Appendix II). A much
more insightful activity (also part of the lab) that assists
complex numbers 0, 1, i, 1 + i, which are the vertices of a
square (smaller square on Figure 3) and the input for
fiz) = zw. After multiplying each of these complex numbers
by w = 1 + /, the products, which create the vertices of
another square, (larger square on Figure 3) can be also be
graphed on the complex plane. Students quickly noticed that
the smaller square was rotated and dilated to produce the
With GSP, students can produce these
measurements, without much effort. In fact, the students
quickly commented that the original square was rotated
counterclockwise 45°, about the origin. With some probing
students determined that the scale factor is 4 l . There are a
couple of ways in which students deciphered the scale factor.
The first method entailed noticing that the vector is
mapped to the vector ; thus a vector of length one is
transformed into a vector of length J l . Students also
recognized that the original square has an area of 1 square
unit and the new square has an area of 2 square units,
implying that the scaling factor is 42 ■ After students
determined the rotation and scale factor it was natural to ask
them how these results relate to the complex number
w = 1 + i, since the new square was obtained by multiplying
the vertices (i.e. z) by w = 1 + /. Students remarked that
has a magnitude of 42 and that it creates a 45° angle
with the positive real axis. This naturally led to the question,
“What if w is something different?”
By dragging the point w, students conjectured that (1)
if w lies on the unit circle, then the size of the image will not
be effected, (2) if w is outside the unit circle, the image will
be bigger, and (3) if w is inside the unit circle, the image will
be smaller (see figure 4). By playing with different values of
w, the girls generalized that multiplying a complex number
c + di by a + bi causes the vector to be dilated by a
factor of 4 a 1 +b2 (i.e. the modulus of a + bi) and rotated
counterclockwise by tan~‘^—j° > magnitude and the
direction of respectively. Of course, one needs to be
careful to recognize that the angle of rotation is not the
principal value of tan-1 ^ ^ene^]t ^SP is that
students who are not familiar with the trigonometric
functions are still able to articulate the geometric behavior of
multiplying two complex numbers. All the girls discovered
that: a geometric interpretation for the multiplication of
complex numbers is that it results in a dilation and rotation of
the complex plane. This discovery can lead to a dialogue
regarding the powers of i.
© 2014 Research Information Ltd. All rights reserved. www.technologyinmatheducation.com
Visualization the Arithmetic of Complex Numbers 107]
Figure 4 Sample student work foxflzw’) where w is inside the unit circle
Once students recognize that multiplying a complex
number (a + bi) by i results in rotating that complex number
90° counterclockwise, about the origin, then i2 = i x i implies
that the point (0, 1) will rotate 90° counterclockwise, about
the origin, to the point (-1, 0). Similarly, z3 = z x z'2 = / x — 1,
can be interpreted as rotating the pre-image point, (-1, 0), 90°
counterclockwise, about the origin, to obtain the image point
(0, -1). Continuing with the same argument, one can reason
that i4 is the same as rotating the point (0, -1)
90°counterclockwise, about the origin, to obtain the point
(1, 0). This reasoning offers an opportunity for students to
simultaneously work with complex numbers as ordered pairs,
as points, and in the Cartesian fonn of a + bi. This
description of repeated rotations, as shown in Figure 5, can
also be used to explore the value of /", where n is a natural
number. It allows students to discover why, to calculate f
we simply find the remainder of n divided by 4.
1 5 . . Imaginary Component
1 n i = i5
0.5 - -
-I M l !
-1 = i2 = i6
H ...I t i I I I I i - i—l—I.....I.....1.....i ....!■
1 = l 4 = l S
- e - n - i -M ...t...i...i ...i...?...H ' ; t~ 1 2
Real Component
- 0 . 5 - -
; = R = ; 7
Figure 5 Powers of i
www.technologj'inmatheducation.com International Journal of Technology in Mathematics Education Vol 21, No 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Hortensia Soto Johnson3.2 การคูณของจำนวนเชิงซ้อนไม่ง่ายมากที่จะสร้างการตีความทางเรขาคณิตของสองจำนวนเชิงซ้อนก็มีแผนการเรียน 2จำนวนเชิงซ้อนและผลิตภัณฑ์ของพวกเขา ซึ่งจะต้องสร้าง f(z) ฟังก์ชัน = zw (โปรดดูภาคผนวก II) มากมายอย่างลึกซึ้งกิจกรรม (ยังส่วนของห้องปฏิบัติการ) ที่ช่วยเหลือเชิงตัวเลข 0, 1, i, 1 + ซึ่งเป็นจุดยอดของการสแควร์ (สี่เหลี่ยมเล็กลงในรูปที่ 3) และป้อนข้อมูลสำหรับfiz) = zw หลังจากการคูณของจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้โดย w = 1 + /, ผลิตภัณฑ์ การสร้างจุดยอดของอีกสี่เหลี่ยม, (ใหญ่สี่เหลี่ยมในรูปที่ 3) จะสามารถใช้สร้างกราฟบนระนาบเชิงซ้อน นักเรียนได้อย่างรวดเร็วสังเกตเห็นที่สี่เหลี่ยมขนาดเล็กหมุน และขยายการผลิตด้วย GSP นักเรียนสามารถผลิตเหล่านี้วัด คุ้มค่า ในความเป็นจริง นักเรียนอย่างรวดเร็วความเห็นสี่เหลี่ยมต้นฉบับถูกหมุนทวนเข็มนาฬิกา 45 องศา เกี่ยวกับต้นกำเนิด มีการตรวจสอบพื้นบางนักเรียนกำหนดว่าตัวขนาด 4 l มีการคู่ของวิธีที่นักเรียนฮิตัวคูณสเกลวิธีการแรก entailed ซักถามที่เวกเตอร์ < 1.0 >แม็ปกับเวกเตอร์ < 1.1 > ดังนั้น เวกเตอร์ของความยาวหนึ่งเป็นเปลี่ยนเป็นเวกเตอร์ของความยาว J l นักเรียนยังรู้ว่า สี่เหลี่ยมเดิมมีพื้นที่ 1 ตารางหน่วยและสี่เหลี่ยมใหม่มีพื้นที่ 2 ตารางหน่วยหน้าที่ตัวประกอบมาตราส่วน 42 ■นักเรียนกำหนดวาระและตัวคูณสเกลมันเป็นธรรมชาติขอพวกเขาวิธีการที่ผลลัพธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนw = 1 + i ตั้งแต่สี่เหลี่ยมใหม่ได้รับคูณจุดยอด (เช่น z) โดย w = 1 + / นักเรียนกล่าวที่< 1.1 > มีขนาด 42 และสร้างเป็นมุม 45 องศากับแกนจริงบวก ซึ่งธรรมชาตินำไปสู่คำถาม"ถ้า w คือแตกต่างโดยการลากจุด w นักเรียน conjectured ที่ (1)ถ้า w อยู่บนวงกลมหน่วย แล้วขนาดของภาพจะไม่มีผล, (2) ถ้า w อยู่นอกวงกลมหน่วย ภาพจะมีขนาดใหญ่ และ (3) ถ้า w อยู่ภายในวงกลมหน่วย ภาพจะจะมีขนาดเล็กลง (ดูรูปที่ 4) โดยเล่นกับค่าต่าง ๆ ของw หญิงตั้งค่าทั่วไปที่คูณจำนวนเชิงซ้อนc + di โดยการ + bi ทำให้เวกเตอร์ การจะขยายโดยการปัจจัย 4 1 + b2 (เช่นโมดูลัสของ a + bi) และหมุนทวนเข็มนาฬิกา โดย tan ~'^ — เจ° > ขนาดและทิศทางของ ตามลำดับ แน่นอน หนึ่งต้องระมัดระวังในการรับรู้ว่า มุมของการหมุนไม่ได้ค่าหลักของตาล 1 ^ ^ ene ^] t ^ SP คือนักเรียนที่ไม่คุ้นเคยกับตรีโกณมิติที่เป็นฟังก์ชันจะยังคงสามารถบอกลักษณะทางเรขาคณิตของคูณจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน หญิงทั้งหมดที่พบที่: การตีความทางเรขาคณิตของการคูณของเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ส่งผล dilation และการหมุนของเครื่องบินคอมเพล็กซ์ ค้นพบนี้สามารถนำไปสู่การพูดคุยกันเกี่ยวกับอำนาจของฉัน© 2014 วิจัยข้อมูล จำกัด สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมด www.technologyinmatheducation.comแสดงภาพประกอบเพลงเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อนจำนวน 107]รูป 4 ตัวอย่างนักเรียนทำงาน foxflzw') ซึ่ง w อยู่ภายในวงกลมหน่วยเมื่อนักเรียนรู้จักการคูณที่ซับซ้อนหมายเลข (a + bi) โดยฉันผลหมุนจำนวนเชิงซ้อนที่90° ทวนเข็มนาฬิกา เกี่ยวกับจุดเริ่มต้น แล้ว i2 =ฉัน x ผมหมายถึงที่จุด (0, 1) จะหมุน 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา เกี่ยวกับจุดเริ่มต้น จุด (-1, 0) ในทำนองเดียวกัน z3 = z x z'2 = / x-1สามารถตีความเป็นการหมุนภาพก่อนจุด, (-1, 0), 90°ทวนเข็มนาฬิกา เกี่ยวกับจุดเริ่มต้น จุดภาพที่ได้รับ(0, -1) ต่อ ด้วยอาร์กิวเมนต์เดียวกัน หนึ่งสามารถเหตุผลi4 ที่เป็นเหมือนกับการหมุนจุด (0, -1)90 °ทวนเข็มนาฬิกา เกี่ยวกับจุดเริ่มต้น จุดรับ(1, 0) เหตุผลนี้เสนอโอกาสสำหรับนักเรียนการใช้งานกับจำนวนเชิงซ้อนเป็นคู่สั่งคะแนน และ ใน fonn คาร์ทีเซียนของ a + bi นี้คำอธิบายของหมุนเวียนซ้ำ ดังที่แสดงในรูปที่ 5 สามารถยัง สามารถใช้ในการสำรวจค่า/ " ซึ่ง n เป็นธรรมชาติหมายเลข จะช่วยให้นักเรียนได้ทำไม คำนวณ fเราเพียงแค่ค้นหาส่วนเหลือของ n หาร ด้วย 41 5 . คอมโพเนนต์จินตภาพ1 n ฉัน = i50.5--ฉัน M l-1 = i2 = i6H ... ฉันทีฉันฉันฉันฉันฉันฉัน - ฉัน — l — ฉัน... I..... 1.....i ....! ■1 = l 4 = l S-e - n - ฉัน -M... t...i.....ฉัน... ... H ' ; t ~ 1 2ส่วนประกอบที่แท้จริง- 0 . 5 - -; = R = ; 7รูปที่ 5 อำนาจของฉันwww.technologj'inmatheducation.com นานาชาติสมุดเทคโนโลยีในคณิตศาสตร์ศึกษา Vol 21, 3 ไม่มี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Hortensia Soto จอห์นสัน
3.2
คูณของตัวเลขที่ซับซ้อนมันไม่ได้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะสร้างการตีความทางเรขาคณิตสองตัวเลขที่ซับซ้อนโดยเพียงแค่การมีพล็อตนักเรียนสองตัวเลขที่ซับซ้อนและผลิตภัณฑ์ของพวกเขาซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นในการสร้างฟังก์ชั่นf (ซี) = ZW (ดู ภาคผนวก II) มากกิจกรรมที่ชาญฉลาดมากขึ้น (ยังเป็นส่วนหนึ่งของห้องปฏิบัติการ) ที่ช่วยให้ตัวเลขที่ซับซ้อน0, 1, i, 1 + i ซึ่งเป็นจุดของที่ตาราง(ตารางที่มีขนาดเล็กในรูปที่ 3) และใส่สำหรับFiz) = ZW หลังจากที่แต่ละคูณของตัวเลขที่ซับซ้อนเหล่านี้โดย w = 1 + / ผลิตภัณฑ์ซึ่งสร้างจุดของตารางอื่น(ตารางที่มีขนาดใหญ่ในรูปที่ 3) ยังสามารถกราฟบนเครื่องบินที่ซับซ้อน นักเรียนได้อย่างรวดเร็วสังเกตเห็นว่าตารางที่มีขนาดเล็กถูกหมุนและขยายการผลิตด้วยGSP นักเรียนสามารถผลิตเหล่านี้วัดโดยไม่ต้องใช้ความพยายามมาก ในความเป็นจริงนักเรียนได้อย่างรวดเร็วเห็นว่าตารางเดิมถูกหมุนทวนเข็มนาฬิกา45 องศา, เกี่ยวกับการกำเนิด กับบางแหย่นักเรียนระบุว่าปัจจัยระดับคือ 4 ลิตร มีอยู่สองวิธีที่นักเรียนถอดรหัสปัจจัยขนาด. วิธีแรกว่าความสังเกตเห็นว่าเวกเตอร์ <1,0> ถูกแมปไปยังเวกเตอร์<1,1>; เวกเตอร์จึงมีความยาวหนึ่งคือการเปลี่ยนเป็นเวกเตอร์ของความยาว J ลิตร นอกจากนี้นักศึกษายังได้รับการยอมรับว่าตารางเดิมมีพื้นที่ตาราง 1 หน่วยและตารางใหม่ที่มีพื้นที่ 2 ตารางหน่วยที่หมายความว่าปัจจัยปรับเป็น42 ■หลังจากที่นักเรียนกำหนดวาระและปัจจัยระดับมันเป็นธรรมชาติที่จะถามพวกเขาวิธีการเหล่านี้ผลเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนW = 1 + i เนื่องจากตารางใหม่ที่ได้รับจากการคูณจุด(เช่นซี) โดย w = 1 + / นักเรียนตั้งข้อสังเกตว่า<1,1> มีขนาด 42 และที่จะสร้างมุม 45 °กับแกนจริงบวก นี้นำไปสู่ธรรมชาติที่คำถามที่ว่า"เกิดอะไรขึ้นถ้าน้ำหนักเป็นสิ่งที่แตกต่างกัน?" โดยการลากจุด W, นักเรียนสันนิษฐานว่า (1) ถ้าน้ำหนักอยู่ในวงกลมหน่วยแล้วขนาดของภาพจะไม่ได้รับผลกระทบ (2) ถ้าน้ำหนักอยู่นอกวงกลมหน่วยภาพจะมีขนาดใหญ่และ(3) ถ้าน้ำหนักอยู่ภายในวงกลมหน่วยภาพจะมีขนาดเล็ก(ดูรูปที่ 4) โดยการเล่นที่มีค่าที่แตกต่างกันของW, สาวทั่วไปที่คูณจำนวนเชิงซ้อนC + ดิ + โดยสองสาเหตุที่ทำให้เวกเตอร์




































ที่จะพองโดยปัจจัย 4 1 + b2 (เช่นโมดูลัสของสอง +) และหมุนทวนเข็มนาฬิกาโดยตาล~ ^ - เจ°> ขนาดและทิศทางของ


ตามลำดับ แน่นอนหนึ่งจะต้องระมัดระวังในการรับรู้ว่ามุมของการหมุนไม่ได้เป็นค่าหลักของผิวสีแทน-1 ^ ^ ene ^] t ^ SP คือการที่นักเรียนที่ไม่คุ้นเคยกับตรีโกณมิติฟังก์ชั่นจะยังคงสามารถที่จะเป็นปล้องเรขาคณิตพฤติกรรมของคูณสองตัวเลขที่ซับซ้อน สาว ๆ ทุกคนค้นพบว่าการตีความทางเรขาคณิตคูณของตัวเลขที่ซับซ้อนก็คือว่ามันจะส่งผลให้การขยายตัวและการหมุนของเครื่องบินที่ซับซ้อน การค้นพบนี้สามารถนำไปสู่การเจรจาเกี่ยวกับอำนาจของฉัน. © 2014 การวิจัยข้อมูล Ltd. สงวนลิขสิทธิ์ www.technologyinmatheducation.com การสร้างภาพทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขที่ซับซ้อน 107] รูปที่ 4 ตัวอย่างการทำงานของนักเรียน foxflzw) ที่น้ำหนักอยู่ภายในวงกลมหน่วยเมื่อนักเรียนตระหนักดีว่าการคูณที่ซับซ้อนจำนวน(A + สอง) โดยผลฉันในการหมุนที่จำนวนเชิงซ้อน90 °ทวนเกี่ยวกับต้นกำเนิดแล้ว i2 = iXi หมายถึงที่จุด(0, 1) จะหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 °เกี่ยวกับต้นกำเนิดไปยังจุด(-1, 0) ในทำนองเดียวกัน z3 = ZX z'2 = / x - 1, สามารถตีความได้ว่าการหมุนจุดภาพก่อน (-1, 0), 90 °ทวนเกี่ยวกับต้นกำเนิดเพื่อให้ได้ภาพที่จุด(0, -1 ) ต่อเนื่องกับอาร์กิวเมนต์เดียวกันหนึ่งสามารถเหตุผลi4 ที่เป็นเช่นเดียวกับการหมุนจุด (0, -1) 90 °ทวนเกี่ยวกับต้นกำเนิดเพื่อให้ได้จุด(1, 0) เหตุผลนี้มีโอกาสสำหรับนักเรียนไปยังพร้อมกันทำงานกับตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นคู่สั่งเป็นจุดและในFonn คาร์ทีเซียนของ + สอง ซึ่งรายละเอียดของการหมุนซ้ำดังแสดงในรูปที่ 5 สามารถยังสามารถใช้ในการสำรวจค่าของ/ "โดยที่ n เป็นธรรมชาติจำนวน. จะช่วยให้นักเรียนที่จะค้นพบว่าทำไมการคำนวณฉเราก็พบว่าที่เหลือของ n หารด้วย 4 1 5 ชิ้นจินตนาการ.. 1 พรรณี = i5 0.5 - -! -IM ลิตร-1 = i2 = i6 H ... ฉัน Ti IIII ฉัน - ฉัน-l-ฉัน ..... ฉัน ..... 1 ..... ผม .... ■! = 1 ลิตร 4 = ลิตร S - e - n? - ฉัน -M ... เ ... ฉัน ... ฉัน ... ฉัน ... .. .H '; เสื้อ ~ 1 2 ชิ้นจริง- 0 5 - -.; = R = 7 รูปที่ 5 อำนาจของฉันwww.technologj'inmatheducation.com วารสารนานาชาติของเทคโนโลยีในการศึกษาคณิตศาสตร์ฉบับที่ 21 ฉบับที่ 3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

hortensia โซโตจอห์นสัน
3.2 คูณของตัวเลขที่ซับซ้อน
ไม่ง่ายมากที่จะสร้างการตีความทางเรขาคณิตของตัวเลขที่ซับซ้อน
2 โดยมีนักเรียนพล็อตสอง
จำนวนเชิงซ้อนและผลิตภัณฑ์ของตนซึ่งจะต้อง
สร้างฟังก์ชัน f ( z ) = ZW ( ดูภาคผนวก 2 ) มาก
ลึกซึ้งมากขึ้นกิจกรรม ( ส่วนหนึ่งของห้องทดลอง ) ที่ช่วย
ซับซ้อนตัวเลข 0 , 1 , 1 ชั้นซึ่งเป็นจุดของตาราง ( ตารางเล็ก
ในรูปที่ 3 ) และการป้อนข้อมูลสำหรับ
ฟิซ ) = ZW . หลังจากคูณตัวเลขเหล่านี้แต่ละซับซ้อน
โดย W = 1 / ผลิตภัณฑ์ที่สร้างจุดของ
ตารางอื่น สี่เหลี่ยม ขนาดใหญ่ ในรูปที่ 3 ) ยังสามารถ
กราฟบนระนาบเชิงซ้อน นักเรียนได้อย่างรวดเร็วสังเกต
เล็กสี่เหลี่ยมหมุนและขยายการผลิตด้วย GSP
,นักเรียนสามารถสร้างวัดเหล่านี้
, โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมาก ในความเป็นจริงนักเรียน
อย่างรวดเร็วให้ความเห็นว่าตารางเดิมหมุนทวนเข็มนาฬิกา 45 องศา
เกี่ยวกับต้นกำเนิด มีการระบุว่า ปัจจัยระดับนักศึกษา
4 L . มี
2 วิธีที่นักเรียนถอดรหัสปัจจัยมาตราส่วน .
วิธีแรก ( สังเกตว่าเวกเตอร์ >
< 1,0แผนที่ในเวกเตอร์เวกเตอร์ > < 1 , 1 ; ดังนั้นความยาวหนึ่ง
แปลงเป็นเวกเตอร์ความยาว J L . นักเรียนยังได้รับการยอมรับว่าตาราง
เดิมมีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย
และตารางใหม่ มีพื้นที่ 2 หน่วยตาราง
หมายความว่าตำแหน่ง 42 ■หลังจากนักเรียน
ตัดสินใจหมุนสเกลแฟคเตอร์และมันเป็นธรรมชาติที่จะถาม
พวกเขาว่าผลลัพธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับ
จำนวนเชิงซ้อน W = 1 เนื่องจากตารางใหม่ได้โดยคูณ
จุด ( เช่น Z ) W = 1 / นักเรียนกล่าวว่า
< 1 , 1 มีขนาด 42 และมันสร้าง 45 องศามุม
จริงบวกกับแกน นี้เป็นธรรมชาติที่นำไปสู่คำถาม
" ถ้า W เป็นบางสิ่งบางอย่างที่แตกต่างกัน ? "
โดยการลากจุด W , นักเรียน conjectured ( 1 )
ถ้า w ตั้งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วขนาดของภาพจะไม่
ได้ผล ( 2 ) ถ้า W อยู่ด้านนอกวงกลมหนึ่งหน่วย , ภาพจะ
จะใหญ่กว่า และ ( 3 ) ถ้าน้ำหนักอยู่ภายในวงกลมหนึ่งหน่วย , ภาพจะ
มีขนาดเล็กลง ( ดูรูปที่ 4 ) โดยเล่นกับค่าแตกต่างของ
W , หญิงทั่วไปที่ซับซ้อนคูณจำนวน
C di โดยบีสาเหตุเวกเตอร์ < C , D > จะพองโดย
ปัจจัย 4 1 B2 ( เช่นโมดูลัสของบี ) และหมุนทวนเข็มนาฬิกาโดย tan
~ '
-
) / > J และทิศทางของ < a , b > ตามลำดับ แน่นอนหนึ่งต้องถูก
ระมัดระวังที่จะยอมรับว่ามุมหมุนไม่ได้เป็นหลักของ tan-1 ค่า




] T ใน SP ที่
นักเรียนที่ไม่คุ้นเคยกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ยังประกบพฤติกรรม
ทางเรขาคณิต